中证培训-金融衍生品高级研修班课堂笔记四

中证培训——“金融衍生品高级研修班”课堂笔记（四）
衍生品定价模型、参数估计与风险管理
2015年5月26日至5月31日，中国证券业协会在厦门举办了《金融衍生品高级研修班》。

由国务院学科评议组成员、厦门大学金融学国家重点学科学术带头人、厦门大学证券研究中心主任郑振龙教授和厦门大学金融工程研究中心主任陈蓉教授担任主讲，并邀请了三位业界专家——中证报价系统衍生品业务部高级经理肖华、华泰证券金融创新部副总经理李升东和招商证券衍生投资部期权做市业务负责人邓林进行交流。

来自全国51家证券公司及系统相关单位共计70名学员参加了培训。

培训班为期六天，课程内容包含5个模块：《期权基本原理与期权交易策略》、《奇异期权与结构型产品》、《金融衍生品与金融创新》、《衍生品定价模型、参数估计与风险管理》和《期权交易与做市商实务》。

本部分内容主要为衍生品定价模型、参数估计与风险管理：
一、衍生品定价模型
对于普通欧式期权，最常使用的就是Black-Scholes模型，而该模型有以下几个假设。

一是股票价格服从几何布朗运动，即dS Sdt Sdz
μσ
=+，二是允许卖空标的证券，三是假设
没有交易费用和税收，所有证券都完全可分，四是衍生证券的有效期内标的证券没有现金收益支付，五是不存在无风险套利机会，六是假设证券交易是连续的，价格变动也是连续的，七是假设无风险利率为常数。

基于以上假设，BSM 偏微分方程的推导，具体如下。

设f 是依赖于股价的衍生证券，根据伊藤引理可得，
222212f f f f df S S dt Sdz S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ，在中，f 的价值变化
满足222212f f f f f S S t S z S t S S μσσ⎛⎫∂∂∂∂∆=++∆+∆ ⎪∂∂∂∂⎝⎭
，由于假设了股票价格服从几何布朗运动，同时为了消除风险源
，因此构建一个包括1单位衍生证券的空头和f S ∂∂单位标的证券的多头组
合，令∏代表该组合的价值，则f f S S ∂∏=-+∂，该组合在后
组合变化为f
f S S ∂∆∏=-∆+∆∂，带入和服从的随机微分方程
即可得222212f f S t t S σ⎛⎫∂∂∆∏=--∆ ⎪∂∂⎝⎭
，由于消除了风险，组合价值应该获得无风险收益，即
r t ∆∏=∏∆，因此可得222212f f f S t r f t t S S σ⎛⎫∂∂∂⎛⎫+∆=-∆ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭
，化简就有222212f f f S rS rf t S S σ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭，这就是著名的BSM 微分方程，它
适用于其价格取决于S 的所有衍生证券的定价。

二、风险中性定价原理
风险中性定价原理是衍生品定价中的基本原理，可以看到BSM 偏微分方程中，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率并未出现，这就意味着无论风险收益偏好状态如何，都不会对f 的价格产生影响，因而可以做出一个大大简化我们工作的假设——在对衍生证券定价的时候，所有投资者都是风险中性的。

在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r ，因为风险中性测度不需要额外的收益来吸引投资者承担风险，同样，在风险中性条件下，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现以求得现值，这就是风险中性定价原理。

在风险中性定价原理下，欧式期权的价格可以写为未来回报的风险中性期望的无风险现值，例如对于欧式看涨期权有()()ˆmax ,0r T t T c e E S X --轾=-犏臌 。

在几何布朗运动dS rSdt Sdz σ=+的
模型假设下，就可以相应推出BSM 欧式期权定价公式。

对于欧式看涨期权，有
BSM 期权定价公式具有丰富的金融含义。

例如，利用BSM 公式来复制期权时，投资组合中股票的数量就是1()N d ；如果从金融工程角度看，欧式看涨期权可以分拆成或有资产看涨期权多头和X 份的或有现金看涨期权空头之和。

此外，BSM 公式中2()N d 是在风险中性测度下T S X > 的概率，即欧式看涨期权的执行概率。

陈教授还对BSM 公式进行了进一步
扩展，分别讲解了无收益资产的欧式看跌期权、无收益资产的美式看涨期权、有收益资产的欧式期权的定价等。

三、衍生品定价的一般方法和原理。

第一种是构造偏微分方程的方法，主要是构造无风险组合，类似于构造BSM 偏微分方程，可以在一般的随机过程模型下，应用标的资产及其衍生品构造无风险组合，再根据产品的特征设定边界条件求解PDE ，这样就可以为衍生品进行定价了。

求解PDE 其实就是找到一个函数，其求偏导的结果满足这个方程和边界条件，该函数就是用标的资产所满足的随机微分方程来表达的。

边界条件本质上是数学概念，在金融上就是把合约条款数学化，比如期权价格的到期回报，期货价格在到期的时候收敛于现货价格，零息债价格到期等于100等等。

第二种是衍生品定价的鞅方法。

对于鞅定价，关键是找到等价鞅测度。

假设两种资产在风险中性测度下分别服从以下过程：()()()()()()dP t r t P t dt t P t dz t σ=+，()()()()()()dN t r t N t dt t N t dz t σ=+，则用N (t )做计价单位的资产价格()()()N P t P t N t =，在测度N
Q 是鞅过程，即()()()()N P t P T E N t N T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

紧接着，陈教授又介绍了这类鞅定价的一些例子，包括以货币市场账户为记账单位、以股票为记账单位和资产交换期权的定价思路。

在上述两大定价原理之下，对于回报复杂的衍生品或随机过程设定比较复杂时，在数学上无法求得解析解的，就只能通过数值方法进行分析，数值方法主要有三种，一是二叉树，二是蒙特卡洛模拟，三是有限差分法，
二叉树模型的思想其实是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动，在树图的构造中，主要是构造标的资产价格的树图，树上每一步所服从的分布和参数都一致。

最简单的二叉树方法通常设定参数股价向上运动概率p 、股价向上运动的倍数u 和向下运动的倍数d 满足以下三个等式： 则由以上条件可得，,r t
e d p u e d e u d ∆--===- ，期权的价格为
(1)r t u d f e pf p f -∆⎡⎤=+-⎣⎦。

在得到参数之后，每个节点上期权价格的计算方法由倒推定价而得。

即对于欧式期权而言，将T 时刻期权价值的预期值在t ∆时间长度内以无风险利率r 贴现求出每一个节点上的期权价值；对于美式期权而言，在树形结构的每一个节点上，都要比较在本时刻提前行权和继续持有t ∆的时间到下一个时刻再执行期权的价值，选择较大者作为本节点的期权价值。

其他构造树图的方法还有三叉树、控制变量技术和适应性网状模型等。

第二种数值方法是蒙特卡洛模拟，其基本思路是尽可能的模拟风险中性世界中标的资产的多种运动路径，计算每种
路径下期权回报的均值，之后贴现就可以得到期权价值。

例如，在风险中性世界中为了模拟路径()dS r q Sdt Sdz σ=-+，我们可以把期权有效期分为N 个长度为t ∆的时间段，则上式的近似方程为2
ln ()ln ()2S t t S t r q t σ⎛⎫+∆-=--∆+ ⎪⎝⎭S(t)是t 时
刻S 的价值，ε是从标准正态中抽取的一个随机样本，通过N 个正态分布的随机抽样就可以构建一条资产价格的蒙特卡洛模拟样本路径，并得到相应的回报值。

重复以上的模拟至足够大的次数，贴现后就得到了期权的期望值。

操作中，尤其需要关注蒙特卡洛的效率——由于蒙特卡洛涉及到大量计算机运算，如何权衡效率和精度也是需要注意的。

第三种数值方法就是有限差分，其核心思想是用离散算子逼近BSM 偏微分方程中的各项，有限差分方法和树图方法相当近似，可以解决相同类型的衍生证券定价问题，尤其是那些具有提前执行特征的期权，而且可以进一步推广到多个标的变量的情形。

有限差分与树图的不同之处在于，树图方法包含了资产价格的扩散和波动率情绪，而有限差分方法中的个点则是固定和均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形，而且有限差分法要比树图更加灵活。

具体来说，树图方法和有限差分方法最适合具有提前行权特征的期权，而蒙特卡罗方法最适合路径依赖期权和高维
度衍生品。

四、BSM 定价公式的扩展
由于BSM 定价公式存在一些不足，因此后来学者对于一些假设做了放松，例如交易成本为零、波动率为常数、资产价格的连续变动等，都做了一定的修正。

就波动率一点而言，后人建立了更为复杂的随机波动率模型，其基本形式为2,,()s s s s V V dS dt dz V dV V V dz S αμσσκθσ=+==-- 其中最为常见的是
Heston 模型，即认为波动率服从CIR 过程，避免了波动率出现负数的情况。

五、数据处理
数据处理一般涉及到异常值的剔除和缺漏值补充，完成第一步之后，还需要对数据做基本的描述统计，包括最大值、最小值、均值、方差、峰度、偏度等，需要检验数据是否服从正态分布，即JB 检验是否显著。

对于时间序列数据，还需要做平稳性检验、自相关检验和ARCH 效应的检验。

在数据分析上，需要做到以下几点，一是明确分析目标，确定用于分析的模型，考虑参数的选取和限制条件，二是收集数据，对数据的精度和来源要有一定要求，进一步要对数据进行预处理，得到能够作为输入量的“干净的”数据，三是参数估计，四是估计量的检验，包括能否在经济意义上说的通、统
计上是否显著、样本外预测能力是否较好、模型是否稳健等等。

六、波动率估计与预测模型
金融资产收益的波动率描述和预测是现代金融学界和实务界研究的热点和难点问题，同时，这也与资产定价理论的检验、最优资产组合的选择、衍生产品套期保值策略的设计以及金融风险的测度和管理密不可分。

无论是对即将正式进入市场的各类参与者还是我国的金融监管当局而言，对金融市场的波动特征和风险状况进行准确的刻画和科学的预测，进而探索有效的市场风险防范和监控手段，都具有非常重要的理论和现实意义。

波动率的特征一般有：聚类性。

即高波动率后跟着高的波动，低的波动后面跟着低的波动；均值回复。

即在固定范围内变动；连续性，即波动率一般很少有跳跃等等。

波动率主要可分为历史波动率和隐含波动率。

历史波动率的估计量有很多，大致上分成三种，一是最常见的标准差，二是极差波动率，三则是已实现波动率，这里仍假设股价过程服从集合布朗运动，t t t t dS S dt S dZ μσ=+，标准差算法，即方差的平方根，方差计算为2
211()1N
i i s x x N ==--∑ ，这里i x 通常为对数收益率，一般在样本不是特别大的情况下，设平均收益率x 为0。

对于极差波动率一般有以下几种估计
方法，一是Parkinson 估计量，
表达式为：
σ= ，这里的i h 是交易时段的最高价，i l 是交易时段的最低价格；二是
Garman-Klass 估计量，表达式
为σ=；三是Rogers-Satchell 估计量，表达式
为σ=；四是
Yang-Zhang
估计量，表达式为σ=22111ln()1N i o i i o N c σ=-=-∑，22111ln()1N i c i i c N c σ=-=-∑，
211ln()ln()ln()ln()1N i i i i rs i i i i i h h l l N c o c o σ==+-∑，0.34111k N N =++-；
五是GK-YangZhang extension
估计量，表达式
为GKYZ σ=。

第三类是已实现
波动率，即日内收益率平方和的加总，计算方法为
2,1n t i t
i RV r ==∑，1,,,ln i t
i t i t P r P +⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 。

已实现波动率被认为是提高了度量波动率的准确性，但可能受到市场微观结构的噪音干扰，对时间间隔的选取依赖性较高，同时也忽略的每日之间的价格变化。

对于波动率的预测模型，主要有以下几种，一是EWMA 模型，其模型基本框架是
222122111(1)(1)N i N t t t t i t N i u u σλσ
λλλλσ-----==+-=-+∑，其中， 2
211,1N N t i t i
i i i u σαα-====∑∑，该模型的有点是所需的参数很少，同时波
动率权重随时间下降符合波动率长记忆的特点，但缺点也在于此，权重的选择是关键，可以用极大似然估计方法得到权重估计值。

第二类波动率预测模型就是GARCH 类， GARCH 模型全称为广义自回归条件异方差模型，具体形式为22211t L t t V u σγαβσ--=++，其中，01,01,0,1L V αβγαβ<<<<>+<。

GARCH 模型在估计和运用中需要注意以下几点，一是建模之前首先需要判断是否存在GARCH 效应，进行ARCH-LM 检验，即平方的自相关检验；二是估计GARCH 的参数，需要用极大似然法进行估计；三是需要对模型的残差项进行ARCH-LM 检验，检验是否已经消除了GARCH 效应；第四步才是利用GARCH 来进行波动率预测。

第三类波动率预测模型为HAR-RV 模型，全称是异质性自回归的已实现波动率模型。

模型的主要结构为：σβββ+=+++()()()()()()()1d d d w w m m t d t t t c RV RV RV ，即预测的已实现波动率受到日波动率、周波动率和月波动率的影响。

隐含波动率则是采用每时每刻的期权价格，倒推出其中隐含的波动率，在定价合理时，其代表了市场投资者对未来波动率的一种预期。

目前主要包括在BSM 模型下推出的BS 隐含波动率，以及无模型的隐含波动率，后者的典型代表是
CBOE 推出的VIX 指数。

七、参数估计与校准
随机过程模型的参数估计就是利用过去某段时间内的历史数据直接对随机过程模型进行拟合，求出模型的参数，并通过均方根误差、残差平方和、似然比等统计指标对模型的优劣进行检验，这一估计得到的参数用于定价时，往往误差较大，因为估计得到的是在现实测度下的参数，但定价的时候往往需要得到风险中性测度下的参数。

所以在参数估计中，往往使用的是“校准”方法，即利用市场的价格数据，通过令模型定价结果与市场价格的误差最小倒推出参数的最优取值，校准所得到的参数反映了市场的实际信息，因而是目前金融市场为衍生品定价时主要使用的参数估计方法。

参数校准一般需要使用校准函数：
11(,...,)arg min [()]n n i i i i i w g l l market θθ=⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
∑，同时参数的校准是一个最小化的过程，需要猜测参数向量的初始值，比较计算结果与市场数据的差，再对参数值进行修正，最后需要反复迭代以上几步，得到稳健的估计值。

八、风险管理的基础知识
本知识点主要分为三个部分，其一是风险管理概述，其二是风险的度量和计算，三是衍生品交易的风险管理。

1.风险管理概述。

风险大体上分成市场风险、信用风险、流动性风险和操作风险。

市场风险又称价格风险，是市场波动而引起的风险，包括利率风险、汇率风险、股票价格风险和商品价格风险。

2.风险度量
一个完整的市场风险度量体系所需包含以下内容，包括敏感性分析、VaR的计算。

敏感性分析是指在保持其他条件不变的前提下，研究单个市场峰因子的变化对金融产品或资产组合的收益或经济价值产生的可能影响，常见的敏感性指标包括衡量股价系统性风险的贝塔系数、衡量利率风险的久期和凸性、衡量期权风险的希腊字母等；
对于VaR，是指在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失，该概念是金融市场风险管理中的主流方法和主要指标。

直观的解释，就是计算公司最糟糕的情况是什么。

其数学表达为{}(100)%
=∆∏<-=-，本质上是∆∏的(100)%
VaR P VaRα
α
-分位数。