中考数学 第十四讲 二次函数配套课件 北师大版

第十四讲 二次函数
1.理解：二次函数的概念. 2.掌握：二次函数的三种表示方法,二次函数的图象和性质. 3.会：画二次函数的图象,求二次函数的关系式. 4.能：灵活运用二次函数的有关性质解决实际问题.
一、二次函数的概念及其表达式 1.二次函数的概念 一般地,形如__y_=_a_x_2+_b_x_+_c__(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的 二次函数. 2.二次函数的表达式 (1)一般式：_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠__0_)_. (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是_(_h_,_k_)_.
右侧可得 - b > 0 ,因此b>0.从而可确定函数 y = ab 的图象在
2a
x
第二、四象限,函数y=acx的图象经过第一、三象限,因此只有
A项正确.
【对点训练】 1.(2012·重庆中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，对称轴为 x = - 1 .下列结论中，正确的是( )
【即时应用】 1.若函数y=(m+1) xm2+1 是二次函数,则m=_1_. 2.函数y=(a-b)x2+2x+1是二次函数的条件是_a_≠__b_. 3.二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a(x+h)2+k的形式是 __y_=_-_2_(_x_-_1_)_2_+_5__,其开口方向是_向__下__.
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
y=ax2+ bx+c
a＞0
a＜0
图象
开口方向 顶点坐标
对称轴
向上
b 4ac - b2
(- ,
)
2a 4a
直线x = - b 2a
向下
y=ax2+ bx+c
a＞0
增减 性
当 x < - b 时,y随x的增
2a
大而减小；当 x＞- b
2a
时,y随x的增大而增大.
x
与y=acx的图象在同一坐标系中大致
是( )
【思路点拨】 确定a,b,c的符号 → 确定ab的符号 →
确定双曲线的位置 → 确定ac的符号 →
判断直线所经过的象限 .
【自主解答】选A.先由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口
向下可得a<0,抛物线与y轴负半轴相交可得c<0,由对称轴在y轴
【记忆助手】 二次函数的图象与性质：二次函数抛物线,图象对称是关键， 开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与y 轴来相见,b的符号较特别,符号与a相关联；顶点位置先找见,y 轴作为参考线,左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最 重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见； 一般、顶点式,不同表达能互换.
◆中考指数：★★★★☆
确定a,b,c及b2-4ac的符号的方法 知 (1)a的符号由抛物线的开口方向确定,开口向上,则a为 识 正；开口向下,则a为负. 点 (2)b的符号由对称轴和开口方向共同确定,对称轴在y 睛 轴左侧,则a,b同号；对称轴在y轴右侧,则a,b异号；对
称轴为y轴,b为零.
◆中考指数：★★★★☆
【即时应用】 1.将y=x2的图象向右平移3个单位,则平移后的图象的关系式为 _y_=_(_x_-_3_)_2__. 2.将二次函数y=2(x-1)2-3的图象沿着y轴向上平移3个单位,那 么平移后的二次函数图象的顶点坐标是__(_1_,_0_)_. 3.抛物线y=－x2+2x－2经过平移得到y=－x2,平移方法是_向__左__ _平__移__1_个__单__位__,_再__向__上__平__移__1_个__单__位___.
1.a+b+c的符号决定于x=1时的函数值,即抛物线上点
特 别
(1,a+b+c)的纵坐标,a-b+c的符号决定于x=-1时的函数值,
提 即抛物线上点(-1,a-b+c)的纵坐标.
醒
2.2a±b的符号决定于对称轴与±1的关系以及抛物线的开 口方向.
【例1】(2011·莱芜中考)已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则函数y= ab
2
3.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是_1__.
三、图象的平移 将二次函数y=ax2(a≠0)的图象进行平移,可得到y=a(x-h)2+k的 图象. 将y=ax2的图象_向__左__(h＜0)或_向__右__(h＞0)平移_|_h_|_个单位,再 _向__上__(k＞0)或_向__下__(k＜0)平移_|_k_|_个单位,即可得到y=a(xh)2+k的图象,其顶点坐标是_(_h_,_k_)_,对称轴是直线_x_=_h__,形状、 开口方向与抛物线y=ax2相同.
a＜0
当 x < - b 时,y随x的增
2a
大而增大；当 x＞- b
2a
时,y随x的增大而减小.
最值
当 x = - b 时,y最小值=
2a 4ac - b2
. 4a
当 x = - b 时,
2a
y最大值= 4ac - b2 .
4a
【即时应用】
1.y=(x+1)2-2的顶点坐标是_(_-_1_,_-_2_)__. 2.二次函数 y = - 1 x2 + 2x 的对称轴为直线__x_=_2__.
【核心点拨】 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的形状只与a的取值有关,a 的符号决定开口方向,a的绝对值决定开口大小,a的绝对值越大, 开口越小. 2.二次函数的一般式和顶点式可以相互转化,利用配方法可以 将一般式化为顶点式,将顶点式的平方项的符号
(3)c的符号由抛物线与y轴的交点确定,与y轴交于正半轴, 知 则c为正；与y轴交于负半轴,则c为负；与y轴交于原点,则 识 c为零. 点 (4)b2-4ac的符号决定于抛物线与x轴的交点的个数,抛物线 睛 与x轴有两个交点,则b2-4ac为正；抛物线与x轴只有一个交
点,则b2-4ac为零；抛物线与x轴没有交点,则b2-4ac为负.
2
(A)abc>0 (C)2b+c>0
(B)a+b=0 (D)4a+c<2b
【解析】选D.观察图形可知，a>0,c<0,由对称轴可知b>0，所 以abc<0；由对称轴可知 - b = - 1，解得a=b；由对称轴可
2a 2
知，抛物线上横坐标为1的点与横坐标为-2的点，关于对称轴 对称，由图象可知，当x=1时，函数值小于0即a+b+c<0，又 a=b , 2b+c<0；把x=-2代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得，4a-2b+c<0, 即4a+c<2b.