2022高考数学一轮复习课时规范练47抛物线文含解析北师大版202103232157

课时规X 练47 抛物线
基础巩固组
1.(2020某某某某一模)若抛物线x 2=ay 的焦点到准线的距离为1,则a=()
A.2
B.4
C.±2
D.±4
2.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=4√2x 的焦点,P 为抛物线C 上一点,若|PF|=4√2,则△POF 的面积为()
A.2
B.2√2
C.2√3
D.4
3.(2020某某某某一模,文8)抛物线x 2=2py (p>0)上一点A 到其准线和坐标原点的距离都为3,则
p=()
A.8
B.6
C.4
D.2
4.F 是抛物线y 2=2x 的焦点,点P 在抛物线上,点Q 在抛物线的准线上,若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FQ
⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|PQ|=() A.92B.4C.7
2D.3
5.
(2020某某某某一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为5 m,跨径为12 m,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()
A.2512 m
B.256 m
C.95 m
D.18
5 m
6.已知抛物线E :y 2=2px (p>0)的准线为l ,圆C :(x -p 2)2
+y 2=4,l 与圆C 交于A ,B 两点,圆C 与E 交于
M ,N 两点.若A ,B ,M ,N 为同一个矩形的四个顶点,则E 的方程为()
A.y 2=x
B.y 2=√3x
C.y 2=2x
D.y 2=2√3x
7.(2020某某某某三模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线为l ,l 与x 轴的交点为P ,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ,垂足为A'.若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=3
5,则抛物线C
的方程为 ()
A.y 2=x
B.y 2=2x
C.y 2=4x
D.y 2=8x
8.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作y 轴的垂线,垂足分别为
C ,
D ,则|AC|+|BD|的最小值为.
9.(2020某某某某一模)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l :x=-1,点M 在抛物线C 上,点
M 在准线l 上的射影为A ,且直线AF 的斜率为-√3,则△AMF 的面积为.
10.已知F 为抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,曲线C 1是以F 为圆心,p
4为半径的圆,直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,则
|RS||PQ|
=.
综合提升组
11.(2020某某某某一模)已知F 为抛物线C :y 2=6x 的焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,且|AF|=3|BF|,则|AB|=()
A.6
B.8
C.10
D.12
12.已知抛物线C 1:y 2=2px (p>0)与圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0交于A ,B ,C ,D 四点.若BC ⊥x 轴,且线段
BC 恰为圆C 2的一条直径,则点A 的横坐标为()
A.116
B.3
C.11
3
D.6
13.(2020某某某某中学三模,理14)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点M (1,1)的直线与C 交于
A ,
B 两点,若M 恰好为AB 的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB 的斜率为.
14.设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F 在y 轴的正半轴上,点A 是抛物线上的一点,以A 为圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)设直线m 在y 轴上的截距为6,且与抛物线交于P ,Q 两点,连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ,当直线PR 恰与抛物线相切时,求直线m 的方程.
创新应用组
15.(2020某某某某二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF 并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB最大时,|AD|=()
A.4
B.8
C.16
D.16
3
16.
(2020某某某某三模,理20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的点到准线的最小距离为1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线C交于A,B两点,l2与抛物线C交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.
参考答案
课时规X练47抛物线
=1,∴a=±2.故选C.
1.C∵x2=ay,∴p=a
2
|OF|·|y P|=2√3.故选C.
2.C利用|PF|=x P+√2=4√2,可得x P=3√2.∴y P=±2√6.∴S△POF=1
2
=3,即p=6-2y0,又因为x02=2py0,
3.C设A(x0,y0),由题意得y0+p
2
所以x02=2(6-2y0)y0,化简得x02+4y02=12.
又因为点A到原点的距离为3,
所以x02+y02=9,解得x02=8,y02=1.
又由题可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故选C.
4.A记抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△
QPM,得|FK|
|MP|=|QF|
|QP|
,即1
|MP|
=1
3
,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=3
2
,所以|PQ|=|PF|+|QF|=9
2
.故选A.
5.D建立平面直角坐标系如图所示.
设抛物线的解析式为x2=-2py,p>0,
因为抛物线过点(6,-5),所以36=10p,解得p=18
5
.所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为
18
5
m.故选D.
6.C如图,圆C:(x-p
2)
2
+y2=4的圆心C(p
2
,0)是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点.
∵圆C:(x-p
2)
2
+y2=4的半径为2,∴|NC|=2,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.∵A,B,M,N为同
一个矩形的四个顶点,
∴点A,N关于直线x=p
2
对称,
即x N+x A=p
2×2=p,∴x N=3
2
p,
∴|NA|=32p-(-p
2
)=2,即2p=2,则E 的方程为y 2=2x.故选C .
7.C 过点F 作FF'⊥AA',垂足为F'.
设|AF'|=3x ,因为cos ∠FAA'=3
5,所以|AF|=5x ,|FF'|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA'|=5x ,则
|A'F'|=2x=p ,故x=p
2.四边形AA'PF 的面积S=
(|PF|+|AA'|)·|FF'|
2
=
(p+52
p)·2p
2
=14,解得p=2,故抛物线C 的方程为y 2=4x.
8.2由题意知F (1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.
依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
9.4√3设准线l 与x 轴交于点N ,
则|FN|=2.
∵直线AF 的斜率为-√3,
∴∠AFN=60°,
∴∠MAF=60°,|AF|=4.
由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,
∴△AMF 是边长为4的等边三角形.
∴S △AMF =√3
4×42=4√3.
10.21
5 {x 2=2py,
2√3x -6y +3p =0
⇒12y 2-20py+3p 2=0.
因为直线2√3x-6y+3p=0与曲线C ,C 1从左至右依次相交于P ,Q ,R ,S ,所以y P =p 6,y S =3
2p.
由直线2√3x-6y+3p=0过抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点F ,
所以|RS|=|SF|-p 4
=y S +p 2
−p 4
=y S +p 4
,|PQ|=|PF|-p 4
=y P +p 2
−p 4
=y P +p 4,
|RS||PQ|
=
|SF|-
p 4|PF|-p 4
=3p 2+p 4p 6+p 4
=74512
=
215
.
11.B 由已知得抛物线C :y 2=6x 的焦点坐标为
32
,0,准线方程为x=-3
2
.
设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
因为|AF|=3|BF|,所以x 1+32
=3x 2+
32
,|y 1|=3|y 2|.
所以x 1=3x 2+3,x 1=9x 2,
所以x 1=92
,x 2=1
2
.
所以|AB|=x 1+
32
+x 2+3
2=8.故选B .
12.A 圆C 2:x 2+y 2-12x+11=0可化为(x-6)2+y 2=52,
故圆心为(6,0),半径为5,由于BC ⊥x 轴,且线段BC 恰为圆C 2的一条直径,故B (6,-5),C (6,5).
将B 点坐标代入抛物线方程得25=12p ,故p=2512,抛物线方程为y 2=25
6x.
联立{y 2=25
6
x,
x2+y2-12x+11=0,
消去y得x2-47
6
x+11=0,
解得x=11
6
或x=6(舍去),
故A点横坐标为11
6
.故选A.
13.42过点A,B,M分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.
根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.
根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为
k=y1-y2
x1-x2=4
y1+y2
=4
2×1
=2.
14.解(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0).
∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)由题知直线m的斜率存在,
设其方程为y=kx+6,
由{y =kx +6,x 2=4y 消去y 整理得x 2-4kx-24=0,显然,Δ=16k 2+96>0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则{x 1+x 2=4k,x 1·x 2=-24. 由
x 2=4y ,得
y=x 2
4,∴y'=x
2.
抛物线在点P (x 1,x 1
24)处的切线方程为y-x 1
24
=x 12
(x-x 1),令y=-1,得x=
x 1
2-42x 1
,可得点R (
x 1
2-42x 1
,-1),
由Q ,F ,R 三点共线得k QF =k FR ,
∴
x 224
-1
x 2
=
-1-1
x 12-42x 1
,
即(x 12-4)(x 22-4)+16x 1x 2=0,
整理得(x 1x 2)2-4[(x 1+x 2)2-2x 1x 2]+16+16x 1x 2=0,∴(-24)2-4[(4k )2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k 2=1
4
,即k=±1
2
,
∴所求直线m 的方程为y=12
x+6或y=-1
2
x+6.
15.C 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y 1+y 2+2,
因为
y 1+y 22
=|AB|-1,
所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cos ∠AFB=
|AF|2+|BF|2-|AB|2
2|AF||BF|
=
3(|AF|2+|BF|2)-2|AF||BF|
8|AF||BF|
≥6|AF||BF|-2|AF||BF|
8|AF||BF|=1
2
,
当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.
所以当∠AFB最大时,△AFB为等边三角形,AB∥x轴.
不妨设此时直线AD的方程为y=√3x+1,由{y=√3x+1,
x2=4y,
消去y,得x2-4√3x-4=0,所以x1+x3=4√3,
所以y1+y3=√3(x1+x3)+2=14.
所以|AD|=16.故选C.
16.解(1)∵抛物线C上的点到准线的最小距离为1,∴p
2
=1,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)可知焦点为F(1,0).
由已知可得AB⊥CD,∴两直线AB,CD的斜率都存在且均不为0.
设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为-1
k
,
∴直线AB的方程为y=k(x-1).
联立{y2=4x,
y=k(x-1),
消去x得ky2-4y-4k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4
k .设M(x M,y M),由y M=k(x M-1),得x M=y M
k
+1=2
k2
+1,∴M(2
k2
+
1,2
k
).
同理可得N(2k2+1,-2k).
∴|NF|=√(2k2+1-1)2+(-2k)2=2√k2(k2+1),|MF|=2√1+k2
k2
,
∴|MF|·|NF|=2√1+k2
k ×2√k2(1+k2)=4×1+k2
|k|
≥4×2√|k|·1
|k|
=8,
当且仅当|k|=1
|k|
,即k=±1时,等号成立.∴|MF|·|NF|的最小值为8.。