2019中考压轴精品--动态几何5(抛物线中动形存在性)--数学

2019中考压轴精品--动态几何5(抛物线中动形存在性)--数学
要点分析：
抛物线的解析式有以下三种形式：
一般式：2
y ax bx c =++（A ≠0）；
2、顶点式：Y ＝A （X —H ）2-＋K ；
3、交点式：Y ＝A （X —X1）（X —X2），这里X1、X2是方程AX2＋BX ＋C ＝0的两个实根。

解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

题型解析：
1.抛物线中三角形
例1.如图、抛物线2
12y ax ax b =-+经过A 〔－1，0〕
，C 〔2，3
2〕两点，与X 轴
交于另一点B 、
（1）求此地物线的解析式；
（2）假设抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点（不与点B 重合），点Q 在线
段MB 上移动，且∠MPQ ＝45°，设线段OP ＝X ，MQ
＝2
2y ，求Y2与X 的函数关系式，
并直接写出自变量X 的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线X ＝M ，X ＝N 分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，H 、问四边形EFHG 能否为平行四边形？假设能，求M ，N 之间的数量关系；假设不能，请说明理由、
备用图
解：（1）∵拋物线Y1＝AX2（2AX （B 经过A （（1，0），C （0，23）两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，
∴A ＝（21
，
B ＝23，∴拋物线的解析式为Y1＝（21X2（X （23。

（2）作MN （AB ，垂足为N 。

由Y1＝（21X2（X （23
易得M （1，2）， N （1，0），A （（1，0），B （3，0），∴AB ＝4，MN ＝BN ＝2，MB ＝22， （MBN ＝45（。

根据勾股定理有BM2（BN2＝PM2（PN2。

∴（22）2（22＝PM2＝（（1（X ）2…（，又（MPQ ＝45（＝（MBP ， ∴△MPQ ～△MBP ，∴PM2＝MQ （MB ＝22
Y2（22…（。

由（、（得Y2＝21X2（X （25。

∵0（X 《3，∴Y2与X 的函数关系式为Y2＝21
X2（X （25
（0（X 《3）。

（3）四边形EFHG 可以为平行四边形，M 、N 之间的数量关系是
M （N ＝2（0（M （2，且M （1）。

∵点E 、G 是抛物线Y1＝（21X2（X （23
分别与直线X ＝M ，X ＝N 的交点，∴点E 、G 坐标为
E （M ，（21M2（M （23），G （N ，（21N2（N （23）。

同理，点
F 、H 坐标 为F （M ，21M2（M （25），H （N ，21N2（N （25）。

∴EF ＝21M2（M （25（（（21M2（M （23）＝M2（2M （1， GH ＝21N2（N （25（（（21N2（N （23）＝N2（2N （1。

∵四边形EFHG 是平行四边形，EF ＝GH 。

∴M2（2M （1＝N2（2N （1，∴（M （N （2）（M （N ）＝0。

由题意知M （N ，∴M （N ＝2（0（M （2，且M （1）。

因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，M 、N 之间的数量关系是M （N ＝2（0（M （2，且M （1）。

练习1：如图，抛物线Y ＝AX2＋BX ＋C 〔A ≠0〕的对称轴为X ＝1，且抛物线经过A 〔－1，0〕、C 〔0，－3〕两点，与X 轴交于另一点B 、
〔1〕求这条抛物线所对应的函数关系式；
〔2〕在抛物线的对称轴X ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；
〔3〕设点P 为抛物线的对称轴X ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标、
抛物线中四边形：
例2.抛物线2
y x bx c =++交X 轴于A （1，0）、B （3，0）两点，交Y 轴于点C ，
其顶点为D 、
〔1〕求B 、C 的值并写出抛物线的对称轴；
〔2〕连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E 、 求证：四边形ODBE 是等腰梯形；
〔3〕抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31
？假
设存在，求点Q 的坐标；假设不存在，请说明理
由、
【答案】〔1〕求出：
4-=b ，3=c ，抛物线的
对称轴为：X ＝2
（2）抛物线的解析式为
342+-=x x y ，易得C 点坐标为〔0，
3〕，D 点坐标为〔2，－1〕
设抛物线的对称轴DE 交X 轴于点F ，易得F
点坐标为〔2，0〕，连接OD ，DB ，BE
∵∆OBC 是等腰直角三角形，
∆DFB 也是等腰
直角三角形，E 点坐标为〔2，2〕，
∴∠BOE ＝∠OBD ＝
45∴OE ∥BD
∴四边形ODBE 是梯形………………5分
E
在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中，
OD ＝5122222=+=+DF OF ，BE ＝5122
222=+=+FB EF
∴OD ＝BE
∴四边形ODBE 是等腰梯形………………7分 （3）存在，………………8分
由题意得：
29332121=⨯⨯=⋅=
DE OB S ODBE 四边形………………9分
设点Q 坐标为〔X ，Y 〕，
由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=
三角形＝23293131=⨯=ODBE S 四边形
∴
1
±=y
当Y ＝1时，即1342
=+-x x ，∴221+=x ，222-=x ，
∴Q 点坐标为〔2＋2，1〕或（2－2，1）………………11分
当Y ＝－1时，即1342
-=+-x x ，∴X ＝2，
∴Q 点坐标为〔2，－1〕
综上所述，抛物线上存在三点Q 1〔2＋2，1〕，Q 2（2－2，1），Q 3〔2，－1〕
使得OBQ S 三角形＝ODBE
S 四边形31
、………………12分
练习2：如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数
2
14y x
=
在第一象限内的图象上
的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 〔1〕求证：H 点为线段AQ 〔2〕求证：①四边形APQR ②平行四边形APQR 为菱形；
〔3〕除P 点外，直线PH 与抛物线
214y x
=
有无其它公共点？并说明理由、
x
抛物线中圆：
例3、如图，在直角坐标系中，⊙C 过原点O ，交X 轴于点A 〔2，0〕，交Y 轴于点B 〔0
，。

⑴求圆心的坐标；⑵抛物线Y ＝AX2＋BX ＋C
过O 、A 两点，且顶点在正比例函数Y
＝－3X 的图象上，
求抛物线的解析式；⑶过圆心C 作平行于X 轴的直线DE ，交⊙C 于D 、E 两点，试判断D 、E 两点是否在⑵中的抛物线上；⑷假设⑵中的抛物线上存在点P 〔X0，Y0〕，满足∠APB 为钝角，求X0的取值范围。

解：〔1〕∵⊙C 经过原点O ，∴AB 为⊙C 的直径。

∴C 为AB 的中点。

过点C 作CH 垂直X 轴于点H ，那么有CH ＝12OB
OH ＝1
2OA ＝1。

∴圆心C 的坐标为〔1。

∵抛物线过O 、A 两点，∴抛物线的对称轴为X ＝1。

∵抛物线的顶点在直线Y
＝－X 上，
∴顶点坐标为〔1
，－3〕把这三点的坐标代入抛物线抛物线Y ＝AX2＋BX ＋C ，得
0420
3c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪
⎪++=-
⎪⎩
解得330a b c ⎧=⎪
⎪
⎪⎪
=-⎨⎪=⎪⎪⎪⎩
∴抛物线的解析式为
2y x x =。

∵OA ＝2，OB ＝
4AB ==.
即⊙C 的半径R ＝2。

∴D 〔3
，E 〔－1
233y x x =
-
检验，知点D 、E 均在抛物线上.
∵AB 为直径，∴当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角。

∴－1《X0《0，或2《X0《3。

练习3：：如图，抛物线
m x x y +-=
33
2312与X 轴交于A 、B 两点，与Y 轴交于C
点，∠ACB ＝90°.
⑴求M 的值及抛物线顶点坐标；
⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交Y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交X 轴、Y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；
⑶在条件⑵下，设P 为上的动点〔P 不与C 、D 重合〕，连结PA 交Y 轴于点H ，问是否存在一个常数K ，始终满足AH ·AP ＝K ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.
【三】课堂小结：
抛物线与几何综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与相关图形的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。

【四】作业训练：
1.抛物线b ax ax y ++-=22
与x 轴的一个
交点为A （－1，0），与Y 轴的正半轴交于点C 、
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由、
2、在平面直角坐标系中给定以下五个
17(30)(14)(03)(10)
24A B C D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，、
〔1〕请从五点中任选三点，求一条以平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式；
〔2〕求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图；
〔3〕点1514F ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭，在抛物线的对称轴上，直线174y =
过点1714G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且垂直于对称轴、验
x
证：以
(10)
E，为圆心，EF为半径的圆与直线
17
4
y=
相切、请你进一步验证，以抛物线
上的点
17
24
D
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
为圆心DF为半径的圆也与直线
17
4
y=
相切、由此你能猜想到怎样的
结论、
3.如图，抛物线经过原点O和X轴上另一点A，它的对称轴X＝2与X轴交于点C，直线Y＝－2X－1经过抛物线上一点B（－2，M），且与Y轴、直线X＝2分别交于点D、E.
〔1〕求M的值及该抛物线对应的函数关系式；
〔2〕求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；
是否存在这样的点P，使得PB＝PE，
P的坐标；假设不存在，请说明理由
4.如图，在平面直角坐标系中，顶点为〔4，1-〕的抛物线交y轴于A点，交x轴
于B，C两点〔点B在点C的左侧〕.A点坐标为〔0，3〕.
〔1〕求此抛物线的解析式；
〔2〕过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
〔3〕点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC
∆的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC
∆的最大面积.。