中山大学概论统计第2章习题解

习题二(解)
1. 下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是,请写出它们的分布函数.
1) 2)
3)
解 1) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又0.50.30.21++=,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是
[1,3)[3,5)[5,)()0.5()0.8()()F x I x I x I x +∞=++.
2) 因为0.70.10.10.91++=≠,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.
3) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又121k k +∞
-==∑,所以满足命题 2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是
[,1)1()(12)()k k k k F x I x +∞
-+==-∑.
2. 设随机变量X 只取正整数值1,2,,且()P X n =与(1)n n +成反比,求X 的概率分布.
解 设()(1)
c
P X n n n ==
+,其中c 是待定常数.则根据命题2.1,
11
11111()lim lim 1(1)11l n n n l l c P X n c c c n n n n l ∞
∞
===→∞→∞⎛⎫⎛
⎫====-=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭∑∑∑. 因此1c =,
1
()(1)
P X n n n ==
+, 1,2,
n =.
3. 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p .设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.
解 在每次调整后前k 个产品都是及格品而第1k +个产品是废品的概率是
(1)k p p -, 1,2,
k =.
因而,设两次调整之间生产的合格品数为X ,则
()(1)k P X k p p ==-, 1,2,
k =.
4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,
k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现
反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布
11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,
k =.
5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.
第1个能正确回答的概率是5/8,
第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.
设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布
6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.
解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算
3
1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k
k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.
2) 用泊松近似律计算
331004
1000
04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!
k
k k k
k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑
∑
.
7. 设X 服从泊松分布,且已知(1)(2)P X P X ===,求(2)P X =和(2)P X ≥. 解 设X 服从参数为λ泊松分布,则
2
(1)(2)2!
e
P X P X e λ
λλλ--=====
,
解得2λ=.因而
22
22(2)20.27072!
P X e e --====,
22(2)1(0)(1)120.5940P X P X P X e e --≥=-=-==--=.
8. 设X 服从泊松分布,分布律为
(),0,1,2,
!
k
P X k e k k λλ-==
=.
问当k 取何值时{}P X k =最大？ 解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,
k =,则
1/!/(1)!k k k e k a k
e k λλλλλ+--==-,
数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.
若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得
1) 若1λ<,则(0)P X =最大.
2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有
[]
{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩不是整数最大或是整数
.
9. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形.
解 ()
(,0)[0,1)0
()()()0()
0x
x
x
F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞
-∞
-∞
==⋅+⋅+⎰
⎰⎰
⎰
()01
[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞
-∞
+⋅++-⎰⎰
⎰
()
12[2,)
1
2
()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞
+∞-∞
+⋅++-+⋅⎰
⎰⎰⎰
()()
1
1
2
[0,1)[1,2)[2,)0
1
1
()()
(2)()
(2)x x
I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰
⎰⎰
⎰
22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.
10. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.
解 10
2
100
1()502
cx p x dx cxdx c +∞
-∞
===
=⎰
⎰
, 1/50c =.
2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0
()()()()()()50100
x
x
v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞
==+=+⎰
⎰
. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤
8
28
8
2
22
()3/550100x x p x dx dx ====⎰⎰.
11. 地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.
解 园盘中心离木条的最近的边的距离X 服从[0,15]上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是1015X ≤≤,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是
1510
(1015)(1/15)1/3P X dx ≤≤==⎰
.
12. 随机变量X 有密度(1,1)()()p x x -=.求常数c 和概率(1/21/2)P X -≤≤.
解 sin 1
/2
/221
/2
/2
1()(sin )cos x t
p x dx t c tdt ππππ=+∞-∞
---===
=⎰
⎰⎰⎰
/2
/2
/2/21(1cos 2)(/2(sin 2)/4)/22
c t dt c t t c πππππ--=+=+=⎰
. 由上式得2/c π=.
sin 1/21/2
/6
1/2
1//2
(1/21/2)()(sin )x t
P X p x dx t πππ=----≤≤===
⎰
⎰
⎰
/6
/6
/6
2
/6/6/6
2
2
12
cos (1cos 2)(/2(sin 2)/4)1/3)2tdt t dt t t ππππππππππ---==+=+=+⎰⎰. 13. 设随机变量X 的密度为2
x x
ce -+.求常数c .
解 2
22
1/2(1/2)1/41/41/1x t x
x
x t ce dx c e dx ce e dt ce =++∞+∞+∞-+--+--∞
-∞-∞
====⎰
⎰
⎰
.
由上式得1/41/2c e π--=.
14. 设~(1,4)X N ,求(0)P X >和(23)P X <<. 解1 2221(1)/8
/2
1/(0)x t x t P X dx dt =++∞+∞---->==⎰
⎰
1(1/2)(1/2)0.6915=-Φ-=Φ=. 222131(1)/8/2
2
1/(23)x t x t P X dx dt =+---<<==⎰
⎰
(1)(1/2)0.84130.69150.1498=Φ-Φ=-=. 解2 设1
~(0,1)2
X Z N -=
,则~(0,1)Z N . 101(0)(1/2)1(1/2)(1/2)0.69152
2X P X P P Z --⎛⎫
>=>=>-=-Φ-=Φ= ⎪⎝⎭.
21131(23)(0)(1/21)2
22X P X P X P P Z ---⎛⎫
<<=>=<<=<< ⎪⎝⎭
(1)(1/2)0.84130.69150.1498=Φ-Φ=-=.
15. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,
10.9α=,20.95α=,30.99α=.
解1 22()/(2)()
i i k x i i i k P k X k dx μσμσμσ
αμσμσ+---=-<<+=⎰
2/2
()()2()1
i
i
x t k t i i i k
dt k k k σμ
=+--=
=Φ-Φ-=Φ-⎰. ()(1)/2i i k αΦ=+.
代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=. 解2 设1
~(0,1)2
X Z N -=
,则~(0,1)Z N . ()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμαμσμσσσσ--+--⎛⎫
=-<<+==<<
⎪⎝⎭
()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.
代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.
16. 随机变量X 服从二项分布(3,1/3)B ,求X 的分布函数和2(1)Y X =-的分布. 解 X 有分布
故X 有分布函数
[0,1)[1,2)[2,3)[3,)82026
()()()()()272727
F x I x I x I x I x +∞=
+++. Y 有分布
17. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度
/21/2(0,)/2
1()()2
(/2)
k x X k p x x e I x k --+∞=
Γ.
求Y . 解1
当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.
当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤==≤=, 222/21/22
(0,)
/21()()2()2()()2(/2)
k ky Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e I ky k --+∞'===⋅
Γ ()
()
2/2
1/22/2/2k k ky k y e k --=
Γ. 因而
()
()
2
/2
1/2
(0,)2/2()()/2k k ky
Y k p y y e I y k --+∞=
Γ.
解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.
设()y f x ==x V ∈,则f 有反函数
12()f y ky ϕ-==, y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=
22/21/22(0,)/212()()
2(/2)
k ky k ky ky e I ky k --+∞=⋅Γ()()2/2
1/22/2/2k k ky k y e k --=Γ. 18. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为
2
2
2
/(0,)
()()x
X p x I x α-+∞=
.
其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1
当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.
当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P mX y P X F =≤=≤=≤=,
22/()
(0,)
()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'===
222/()2/()
y m y m αα--=. 因而
22/()
(0,)()()y m Y p y I y α-+∞=
. 解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.
设2()/2y f x mx ==, x V ∈,则f 有反函数
1
()f y ϕ-==y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ϕϕ'=
22/()
(0,)
y m X p I α-+∞==
22/()
(0,)()y m I y α-+∞=
. 19. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布.
解1 X 有密度[1,2}1
()()3X P x I x -=.Y 有分布函数
()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤
[0,)()(I y P X +∞=≤
[0,)()()X
I y p x dx +∞=
[0,)[1,2]
()()I y x dx +∞-=
[0,1)[1,4)[4,)11()()()3
I y I y I y dy +∞--=++
[0,1)[1,4)[4,)()()()y y I y +∞=
+. 解2 X 有密度[1,2}1
()()3
X P x I x -=.Y 有分布函数
2
[0,)()()()(()Y F y P Y y P X y P X I y +∞=≤=≤=≤
[0,)[(()X X F F I y +∞=-.
[0,)[0,1)[1,4)()()(()()()
Y Y X X p y F y p p I y y y +∞'=+=
+
.
20. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.
解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度
[0,2]1
()()2p I πθθπ
Θ=
. 设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为
()()(cos )X F x P X x P R x =≤=Θ≤.
当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时
1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ⎛
⎫⎛⎫=Θ≤=≤Θ≤-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
因而落点的横坐标X 有概率密度
(1,1)
()()()X X
p x F x x -'=.
21. 设随机变量X 的概率密度为(0,1)()()p x I x =,求cos2Y R X π=的概率密度. 解
()()(cos 2)Y F y P Y y P R X y π=≤=≤.
当y R <-时,()0Y F y =.当y R >时,()1Y F y =.当R y R -≤≤时
1()(cos 2)arccos arccos Y y y F y P R X y P X R R πππ⎛
⎫⎛⎫=≤=≥=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
因而落点的横坐标X 有概率密度
(1,1)
()()()Y Y p y F y y -'==
.
22. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什
么范围内. 解 设200
~(0,1)X Z N σ
-=
,则~(0,1)Z N .
195200
205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1P X P Z σσσσσ--⎛⎫<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ⎪⎝⎭
.
{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥⇔Φ-≥
15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-⇔≥Φ=⇔≤=. 23. 设Z 在[0,1]上服从均匀分布,随机变量,X Y 满足方程组
41
21X Y Z X Y Z +=+⎧⎨
-=-⎩
, 求X 和Y 的分布和它们各自落在[0,1]中的概率.
解 解方程组得3X Z =,1Y Z =+.Z 有密度[0,1]()()Z p z I z =,由推论6.1可得: X 有密度
[0,1][0,3]111
()(/3)(/3)()333
X Z p x p x I x I x =
== (即X 服从[0,3]上的均匀分布). Y 有密度
[0,1][1,2]()(1)(1)()Y Z p y p y I y I y =-=-=
(即Y 服从[1,2]上的均匀分布).
24. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解 设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.设
()ln y f x x ==-, x V ∈,
则f 有反函数
1()y f y e ϕ--==, y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度
[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ϕϕ---+∞+∞'===.
25. 设随机变量X 服从指数分布(1)Ex ,求X Y e -=的分布.
解 X 有密度(0,)()()x X p x e I x -+∞=.设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.设
()x y f x e -==, x V ∈,
则f 有反函数
1()ln f y y ϕ-==-, y G ∈,
其中{():}(0,1)G y f x x V ==∈=.因而Y 有密度 (ln )
(0,)(0,1)(0,1)1()|()|(())()(ln )()()y Y X G p y y p y I y e I y I y I y y
ϕϕ--+∞'==
-=.
26. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:
Y X 0 1 2 3 0 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0 0.1 0.1 0.1 2
0.1
0.2
求边缘分布.解 X 有分布
k x
0 1 2 ()k P X x =
0.4
0.3
0.3
Y 有分布
k y 0 1 2 3 ()k P Y y =
0.1
0.2
0.3
0.4
因为
0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===⨯,
所以X ,Y 不独立.
27. 根据历史纪录,某地5月份晴天,阴天和雨天的日子各占1/2,1/3和1/6.在5月中随意地选择6天,求这6天当中恰好有三天晴天,两天阴天和一天雨天的概率.
解 设这6天中有X 天晴天和Y 天阴天,则由例4.2,(,)X Y 服从三项分布,所求的概率是
3216!
(3,2)(1/2)(1/3)(1/6)5/363!2!1!
P X Y ===
=.
28． 设随机向量(,)X Y 服从矩形{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.
解 1
()(622)/62/32P X Y ≤=-⨯⨯=,
1
(,1)(11)/61/122P X Y X ≤≥=⨯⨯=,
(,1)1/12
(1|)1/8()2/3
P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤=
==≤.
29. 设随机向量(,)X Y 有密度2(0,1)(0,2)(,)(3)()()f x y k x xy I x I y =+.求常数k ,边缘密度和条件概率(1/2|1)P X Y <>. 解 2
(0,1)(0,2)1(,)(3)()()f x y dxdy k x
xy I x I y dxdy +∞+∞
+∞+∞
-∞-∞-∞-∞
==+⎰⎰⎰⎰
()
21212220
(3)(3/2)k x xy dy dx k x y xy dx =+=+⎰
⎰
⎰
112320
(62)(2)3k x x dx x x k =+=+=⎰.
由上得1/3k =.
2(0,1)(0,2)1()(,)(3)()()3
X p x f x y dy x xy I x I y dy +∞+∞-∞
-∞
==+⎰
⎰
222(0,1)(0,1)0
1()(3)(22/3)()3
I x x xy dy x x I x =+=+⎰
.
2(0,1)(0,2)1()(,)(3)()()3
Y p y f x y dx x xy I x I y dx +∞+∞-∞
-∞
==+⎰
⎰
12(0,2)(0,2)01()(3)(1/3/6)()3
I y x xy dx y I y =+=+⎰.
2(0,1)(0,2)1/2
1
1
(1/2,1)(3)()()3X Y P X Y x xy I x I y dxdy <><>=
+⎰⎰
()
21/2
21/2222
1
111(3)(3/2)33x xy dy dx x y xy dx =+=
+⎰⎰
⎰
1/22
01(33/2)5/483
x x dx =
+=⎰, 2
1
1
(1)()(1/3/6)7/12Y P Y p y dy y dy +∞>==+=⎰⎰,
(1/2,1)5/48
(1/2|1)5/28(1)7/12
P X Y P X Y P Y <><>=
==>.
30. 设X 和Y 独立,且分别有密度2(0,3)1()9x I x 和(0,2)1
()2yI y ,求概率()P X Y ≥.
解 (,)X Y 有联合密度
22(0,3)(0,2)(0,3)(0,2)111
(,)()()()()9218
p x y x I x yI y x yI x I y =⋅=,
2
()
,03,02
1()(,)18x y x y x y P X Y p x y dxdy x ydxdy ≥≥<<<<≥==
⎰⎰
⎰⎰ ()
2
322
3
0111119(27)18183135
y
x ydx dy y y dy =
=
-=
⎰⎰
⎰. 31.设X 和Y 独立,都服从[2,2]-上的均匀分布,求概率22(1)P X Y +≤. 解 (,)X Y 有联合密度 2(2,2)(2,2)(2,2)(2,2)111
(,)()()()()4416p x y x I x yI y I x I y ----=⋅= ()
2322
3
0111119(27)18183135y
x ydx dy y y dy =
=
-=
⎰⎰
⎰. 32. 随机向量(,)X Y 有联合密度
(,)(,)E p x y x y ,
其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率.
解
()
222
cos
sin2
00
1(,)2
x r
y r R
x y R
p x y dxdy d cdr cR
θ
θπ
θπ
=
=
+∞+∞
-∞-∞
<+≤
====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
因而
1
2
c
R
π
=.而
222
{(,)}(,)
D x y r
P X Y D p x y dxdy
+≤
∈==
⎰⎰⎰⎰
()
cos
sin2
00
1
/
2
x r
y r r
d dr r R
R
θ
θπ
θ
π
=
=
==
⎰⎰.
33.设随机向量(,)
X Y的联合密度是[0,)
2
(,)()
1
x
c
p x y e I x
y
-
+∞
=
+
.求系数c和(,)
X Y落在正方形{(,):11,11}
D x y x y
=-≤≤-≤≤内的概率.又问,X Y是否独立？
解
2
1(,)
1
x
c
p x y dxdy e dx dy
y
+∞+∞+∞+∞-
-∞-∞-∞
⎛⎫
== ⎪
+
⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
2
1
arctg2
1
c dy c y c
y
π
+∞+∞
-∞
-∞
===
+
⎰.
因而1/(2)
cπ
=.而
21
[0,)
22
20
11,11
1111
{(,)}()
22
11
x x
x y
P X Y D e I x dxdy dy e dx
y y
ππ
--
+∞-
-≤≤-≤≤
∈==
++
⎰⎰⎰⎰
1
1
111
2
101
1
1111
arctg()(1)
222
1
x x
dy e dx y e e
y
ππ
---
-
-
==⨯-=-
+
⎰⎰.
34. 设(,)
X Y的联合密度是
(,)sin()(,)
D
p x y c x y I x y
=+,
其中{(,):0/2,0/2}
D x y x y
ππ
=<<<<.求系数c和边缘密度.
解()
/2/2
00
1(,)sin()
p x y dxdy c x y dy
ππ
+∞+∞
-∞-∞
==+
⎰⎰⎰⎰
/2
[cos(/2)cos][sin sin(/2)][sin(/2)sin0]2
c y y dy c c c
π
ππππ
=-+-=--+-=
⎰.
因而1/2
c=.而
/2
(0,/2)(0,/2)
11
()(,)()sin()(sin cos)()
22
X
p x p x y dy I x x y dy x x I x
π
ππ
+∞
-∞
==+=+
⎰⎰,
/2
(0,/2)(0,/2)
11
()(,)()sin()(sin cos)()
22
Y
p y p x y dx I y x y dx y y I y
π
ππ
+∞
-∞
==+=+
⎰⎰.
35.设X和Y独立,密度分别为[0,1]
()()
X
p x I x
=和(0,)
()()
y
Y
p y e I y
-
+∞
=,求Z X Y
=+的密度.
解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞-∞=-⎰
()[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞--+∞-∞=-⎰ ()[0,1](,)()()z x z I x e I x dx +∞---∞-∞
=⎰
1
()()[0,1)[1,)0
()()z
z x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+⎰⎰ [0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.
36. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别有密度
(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接
方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.
解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数
(0,)()(1)()x X F x e I x α-+∞=-
和
(0,)()(1)()y Y F y e I y β-+∞=-.
1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->
()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-,
()(0,)()()()()zs Z Z
p z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,
(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,
()(0,)()()(())()z z z Z Z
p z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()(0,)(0,)()()()()()x z x Z X Y p z p x p z x dx e I x e I z x dx αβαβ+∞+∞---+∞+∞-∞-∞
=-=⋅-⎰
⎰
()()(0,)(0,)0
()()z
z x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==⎰⎰.
因此,
(0,)2(0,)()()()()z
z Z z e
e I z p z ze I
z αβααβαββαααβ
--+∞-+∞⎧-≠⎪-=⎨
⎪=⎩
.
37. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1
110
(,)(1)s t B s t u u dx --=-⎰为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)
解 (见命题A .2.1)
38. ,X Y 相互独立,分别服从自由度为12,k k 的2χ分布,即
11/21/2(0,)/2
11()()2
(/2)
k x X k p x x e I x k --+∞=
⋅Γ,
22/21/2(0,)/221()()2(/2)
k y Y k p y y e I y k --+∞=
⋅Γ.
利用上题的结论证明X Y +也服从2χ分布,自由度为12k k +.
证 1~(/2,1/2)X k Γ,2~(/2,1/2)Y k Γ,由上题知,12~(,1/2)X Y k k +Γ+,即X Y +服从自由度为12k k +2χ分布.
39. 某种灯具的使用寿命T 是随机变量,有密度[0,)()()t p t e I t λλ-+∞=.每次使用一个灯具,如果损坏了则换上同种的新灯具,分别求两个灯具和三个灯具能够使用的时间的分布.
解1 设三个灯具的使用寿命分别为1T ,2T 和3T ,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为
R 和S ,则12R T T =+,1233S T T T R T =++=+.
R 有密度 ()[0,)[0,)()()()()()t r t R p r p t p r t dt e I t e I r t dt λλλλ+∞+∞---+∞+∞-∞
-∞
=-=⋅-⎰
⎰
()(0,)0
()r t r t I r e e dt λλλλ---+∞=⋅⎰
22(0,)(0,)0()()r
r r e I r dt re I r λλλλ--+∞+∞==⎰.
即~(2,)R λΓ.S 有密度 2()[0,)[0,)()()()()()r s r S R p s p r p s r dr re I r e I s r dt λλλλ+∞+∞---+∞+∞-∞
-∞
=-=⋅-⎰
⎰
2()332(0,)(0,)(0,)001
()()()2
s s r s r s s I s re e dr e I r rdr s e I s λλλλλλλλ-----+∞+∞+∞=⋅==⎰⎰.
即~(3,)S λΓ.
解2 设三个灯具的使用寿命分别为1T ,2T 和3T ,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为
R 和S ,则12R T T =+,123S T T T =++.由于~(1,)i T λΓ,1,2,3i =,由上面的习题37知
~(2,)R λΓ,~(3,)S λΓ.
40. 设22
111222
~(,),~(,)X N X N μσμσ,且12,X X 相互独立,证明 22121212~(,)X X N μμσσ+++.
证1 由(6.5)式得
2
2
22121222221
2
12
1()()()()22222
1()2x z x x z x Z p z dx e
dx μμμμσσσσπσσ------∞
∞-
-
--
-∞
==
⎰
⎰.
由于
22
1222
12
()()22x z x μμσσ----- 2222222
21112222212
1
[(2)(222)]2x x z x xz z x σμμσμμμσσ=--++++--+
2222222222222
1221112211211222
12
1
[()2()2]2x z x z z σσσμσσμσμσμσσμσσ=-
++--++++- 22
2222222222212
211122112112
22
2222
12
12122()222z x z z x σσσμσσμσμσμσσμσσσσσσ⎡⎤+--+++-=-+-⎢⎥+⎣⎦
2
222221212112222212122z x σσσσμσμσσσσ⎛⎫++-=-- ⎪ ⎪+⎝⎭
2
222222222222
12121122112112
222222*********z z z σσσσμσμσμσμσσμσσσσσσ⎛⎫++-++-+- ⎪ ⎪+⎝⎭ 22222
22
121211212222222121212
()22()z z x σσσσμσμμμσσσσσσ⎛⎫++---=--- ⎪ ⎪++⎝⎭. 故
122222221212112122222222121212()1
()exp 222()Z z z p z x dx σσσσμσμμμπσσσσσσσσ∞
-∞⎧⎫⎛⎫++---⎪⎪=--- ⎪⎨⎬ ⎪++⎝⎭⎪⎪⎩⎭
⎰
2
1222
12()22222
22()
12
12112222212122z z x dx μμσσσσσσμσμσσσσ--∞-
+⎧⎫
⎛⎫++-⎪⎪
-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪
⎪⎩
⎭
⎰
. 上式的被积函数
2222221212112222212122z x σσσσμσμσσσσ⎧⎫⎛⎫++-⎪
⎪-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是正态分布22222121121222221212,z N σσμσμσσσσσσ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭
的密度函数，故上式的定积分为1，因而
2
1222
12()2()
()z Z p z μμσσ---
+，
由此知22
1212
~(,)Z N μμσσ++. 证2 设111Y X μ=-,222Y X μ=-,由推论6.2知,211~(0,)Y N σ,2
22
~(0,)Y N σ.设 12Z Y Y =+,
则由(6.5)式得
2
2
2
2
22221
2
1
2
1()()22222
1()2z x z x x x Z p z dx e dx σσσσπσσ--∞
∞-
-
-
-
-∞
=
=
⎰
⎰
.
由于
222222
2212222
1212
()1[(2)]222x z x x z x xz σσσσσσ---=-++- 22
222
22222221211121122222222
12
12121221
[()2]222zx z x zx z x σσσσσσσσσσσσσσσσ⎡⎤+=-
+-+=
---⎢⎥+⎣
⎦ 2
2
2
2
222222
121121122222222221212121212
222z z z x σσσσσσσσσσσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫++=-
-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 2
2222
121222
222121212
22()z z x σσσσσσσσσ⎛⎫+=--- ⎪ ⎪++⎝⎭. 故
12222212122222221212121
()exp 222()Z z z p z x dx σσσπσσσσσσσσ∞
-∞⎧⎫⎛⎫+⎪⎪=--- ⎪⎨⎬ ⎪++⎝⎭⎪⎪⎩⎭
⎰
2
22
1222222()
12
1222212122z z x dx σσσσσσσσσ∞-
+⎧⎫
⎛⎫+⎪⎪
=
-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪
⎪⎩
⎭
⎰
. 上式的被积函数
222212
1222212122z x σσσσσσσ⎧⎫
⎛⎫+⎪⎪
-- ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪
⎪⎩
⎭
是正态分布222112
22221212,z N σσσσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭
的密度函数，故上式的定积分为1，因而
2
22
122()
()z Z p z σσ-
+=
，
由此知22
1
2~(0,)Z N σσ+.由推论6.2知, 22121212121212~(,)X X Y Y Z N μμμμμμσσ+=+++=++++.
41. 设12,,
,n X X X 相互独立,且2~(,)i X N μσ,1,2,
,i n =,证明:
212~(,/)n
X X X N n n
μσ++
+.
(提示:应用上题的结论.) 证 有上题知,
212~(2,2)X X N μσ+,
2123123()~(3,3)X X X X X X N μσ++=++,
2111()~(,)n n n X X X X X N n n μσ-+
+=+
++.
因而由推论6.2可得
212~(,/)n
X X X N n n
μσ++
+.
42. 证明推论6.3. 证
1) 由推论6.2有2211~(,)aX N a a μσ,22
22
~(,)bY c N b c b μσ+++.因而由命题6.1有 2222
1212~(,)aX bY c N a b c a b μμσσ++++++
2) 上题已证
212()/~(,/)n X X X n N n μσ++
+.
由推论6.2知
2
)/~(0,1)/n X n N n
σ+
+.
43. 设12,,
,n X X X 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度
()
/1(0,)()()m
x m m
m
p x x
e
I x ηη--+∞=
.
证明12min(,,,)n X X X 仍服从威布尔分布.
证 i X 1,
i n =有分布函数
()/1(0,)0
()()m
x v m m
m
F x I x v e dv ηη
--+∞=⎰
, ()()()///(0,)(0,)0
()(1)()m m
m
v t
x x t I x e dt e I x ηηη
=--+∞+∞=
=-⎰
.
设
12min(,,,)n Z X X X =,
则Z 有分布函数
11()()(min(,,))1(min(,
,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤
11()
()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=--.
()()//(,0](0,)(0,)1()()1()m
mn n
x x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭
,
接下来的证明过程可以有两种。

其一：()Z F z 与()F x 有相同的形式，从而12min(,,,)n Z X X X =仍服从威布尔分布.
其二： 因而Z 有密度函数
()
1
/(0,)()()()mn x Z Z
p z F z mne I x η--+∞'==,
从而12min(,,,)n Z X X X =仍服从威布尔分布.
44. 设~(,)U B n α,~(,)V B n β,αβ≤.证明对0,1,,k n =都有()()P U k P V k ≥≤≥.
(提示:在例4.2中设p α=,q βα=-,Z X Y =+,则Z 是n 次试验中事件A
B 出现的次数,因
而有~(,)X B n α,~(,)Z B n β,()()P X k P Z k ≥≤≥)
证 在例4.2中设p α=,q βα=-,Z X Y =+,则~(,)X B n α，Z 是这n 次试验中事件A B 出
现的次数。

因为在每次试验中事件A
B 出现的概率是()αβαβ+-=，因而~(,)Z B n β。

又
因为X Z ≤，故()()P X k P Z k ≥≤≥)。

因而有
()()()()P U k P X k P Z k P V k ≥=≥≤≥=≥。

45. 设(,)~(0,0,1,1,0)X Y N ,U X Y =+,V X Y =-,求(,)U V 的分布. 解1 变换
u x y
v x y
=+⎧⎨
=-⎩ 的反变换为
()/2
()/2
x u v y u v =+⎧⎨
=-⎩。

1/21/2
(,)1/21/21/2
(,)x y u v ∂==--∂。

(,)X Y 有密度22()/2
1(,)2x y XY p x y e
π
-+=
，(,)U V 有密度 2222[()/4()/4]/2()/4
111(,)224u v u v u v UV p u v e e
ππ
-++--+=⋅=，
22=
因而(,)~U V N 。

解2 010~,001X N Y ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，1111U X V Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由定理A.1.1, 110111011~,110110111T U N V ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即020~,002U N V ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭。

46. 设随机向量(,)X Y 有联合密度(,)8(,)D f x y xyI x y =,其中{(,):01}D x y x y =<<<.又设
/U X Y =和V Y =,求(,)U V 分布.
解 {(,)}1P X Y D ∈=，变换
/u x y
v y
=⎧⎨
=⎩，(,)x y D ∈ 的反变换为
x uv
y v
=⎧⎨
=⎩，(,)u v G ∈， 其中{(,):01,01}G u v u v =<<<<
(,)01
(,)v u
x y v u v ∂==∂。

(,)X Y 有密度(,)8(,)D f x y xyI x y =，(,)U V 有密度
23(,)8(,)8(,)UV G G p u v v uv I u v uv I u v =⋅=。