北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_11
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通过对定理条件不成立的情况探讨，画图像，深入准确理解定理
教师恰当引导学生理解函数零点存在性定理，指出定理中关键词的作用。引导学生分组作图，探讨定理的条件。
分组合作，解决问题，探究定理条件不成立的情况，画图，准确理解定理中条件的作用和定理使用的限制。
在探究定理条件不成立的情况时，学生直接上白板作图，方便、清楚、直观、形象，利于学生准确理解定理。
完成例题2。应用定理，巩固定理，体会转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想。
在例题2的解答过程中，学生在白板上直接画图像，清楚，方便，直观。
当堂训练
巩固深化
39’35”-43’34”
通过完成练习题，巩固所学的知识
通过学生的主体参与，让学生巩固所学的知识，实现对知识再认识，感受数学思想方法的作用与含义。
教学设计表
一、基本信息
利用函数性质判定方程解的存在
刘龙强
学科（版本）
高中数学(北师大版 必修1)
章节
第四章 第一节
第一课时
学时
1课时
年级
高一
二、教学目标
知识与技能：理解方程的解与函数的零点之间的关系，学会将求方程解的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数的零点所在的大致区间。
变式延伸
布置作业
44’28”-45’00”
分层布置作业，提出拓展探究题让学生思考
巩固学生所学的新知识，拓展探究题将学生的思维向外延伸。作业采用分层布置，让不同层次的同学在数学上有不同的发展。
记下作业，下去完成，思考拓展套就题目：区间，前面说是闭，后面说是开，原因？
白板展示布置的作业，清楚，利于学生完成作业
解决措施：在本节课的教学中，我将从学生已有的知识和生活经验出发，结合认知主义发现法基本理念，运用新课程倡导积极主动勇于探索的学习方式，依据学生最近发展区组织教学，将学生置于主体地位。具体上，在得出零点存在性定理时采用引导发现法，通过补温度变化曲线的活动，引导学生发现零点存在性定理及其条件；在理解零点存在性定理时采用合作探究法，通过引导学生积极思考、热情参与举例探究活动，将定理中条件成立或不成立的所有情况举例分析清楚，让学生能更好地理解和掌握定理。
过程与方法：通过对二次函数与一元二次方程的关系探究，归纳概括零点概念和函数与方程的关系；通过补温度变化曲线和探究小马过河问题，抽象出零点存在性定理；经历从特殊到一般的认知的过程，体会转化与化归、函数与方程、数形结合思想的含义与作用。
情感态度与价值观：在探索解决问题的过程中，获得学习的成就感，提高学生数学学习的兴趣和能力，认识数学的应用价值，体会不同事物之间的内在联系及可以转化的辩证思想。
体会新知
初步应用
33’8”-39’34”
通过例题2的解决，应用定理，巩固定理，体会转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想
例题2以零点定理为基础， 作出零点的存在性和所在区域的判断。
引导学生利用等价关系，将方程根的问题转化为函数零点问题或两个函数图像交点问题，用几何画板画图，体现了“转化与化归”和“数形结合”的数学思想。
展示问题，方便直接在白板上作答。
启发引导
形成概念
1’42”-9’34”
引导发现，形成零点概念，应用概念
把同学们最熟悉的一元二次方程解和相应的二次函数图像与x轴的交点的关系推广到一般方程,引出零点的概念，得到方程与函数的关系。向学生渗透“从最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的研究方法。
例题1用来加深学生对零点概念的理解，目的要学生应用函数与方程关系，明确零点是一个实数，不是一个点。
设问，学生通过具体一元二次方程解和相应的二次函数图像与x轴的交点的关系探究，总结推广，形成零点概念。
完成例题1，应用函数与方程关系，明确零点是一个实数，不是一个点。
展示二次函数图像，让学生直观、清楚地看出函数与方程关系。
在例题1解答时，学生在白板上直接画图像，清楚，方便，直观。
讨论探究
揭示定理
9’35”-18'30”
通过补温度变化曲线、小马过河两个探究活动，抽象出零点存在性定理
学生通过讨论完成探究，得出函数零点存在性的判定方法。这样设计符合学生的认知特点。
完成探究活动：补温度变化曲线、小马过河，概括出定理。
在补温度变化曲线活动中，学生直接在白板上作图，方便、清楚、直观，有助于学生得出定理。
分组作图
理解定理
18’31”-33’8”
五、教学设计
教学环节
课堂实录
起止时间（’”-’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
创设情境
提出问题
0’04”-1’41”
提出问题
引入课题
让学生思考所给方程是否有解。学生利用以前的知识经验无法解决，进而产生强烈的求知欲，引出当前学习的新知识，激发学习的兴趣。
学生找方程的解，发现有些方程无法解，进而进而产生强烈的求知欲，激发学习的兴趣。
三、学习者分析
高一学生年龄多处于15-16岁，心理学上把这个年龄称为“逻辑思维定型年龄”，他们的思维较初中生具有更高的抽象性、概括性，并且开始形成辩证思维，能够发现事物现象和本质间的联系，但抽象概括能力有所欠缺，思维习惯有待加强。
从知识上看学生刚学习了函数，函数又是非常有用的数学工具，从情感上会对这个新工具的使用有兴趣。但高一学生刚进入高中不久，部分学生学习还依赖于老师讲授，动手动脑能力较弱、观察总结能力不强，语言表达能力不够全面准确，在学习中肯定会遇到一些问题。
完成练习题，巩固所学的知识
学生在做练习时，可利用图像找交点解决，在白板上直接作图，方便，直观，易于理解。
归纳总结Байду номын сангаас
优化结构
43’35”-44’28”
总结反思，优化认知结构，
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识转化为学生的素养。
反思总结本节课所学
白板展示总结、反思的知识、方法，省时、清楚、明了，有助于学生深化所学。
四、教学重难点分析及解决措施
重点：函数零点与方程的解的关系、函数零点存在性定理及应用
确立依据：函数与方程思想是高中数学中非常重要的数学思想，零点存在性定理及其应用是函数应用价值的重要体现，也是后面二分法的基础。
难点：对零点存在性定理的准确理解。
确立依据：定理只为零点的存在提供充分不必要条件，由于连续性、简单逻辑用语未学习，学生对定理的理解常常不够准确。这就要求教师引导学生探讨各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围，从而化解难点，准确理解函数零点存在性定理。
教师恰当引导学生理解函数零点存在性定理，指出定理中关键词的作用。引导学生分组作图，探讨定理的条件。
分组合作，解决问题，探究定理条件不成立的情况，画图，准确理解定理中条件的作用和定理使用的限制。
在探究定理条件不成立的情况时，学生直接上白板作图，方便、清楚、直观、形象，利于学生准确理解定理。
完成例题2。应用定理，巩固定理，体会转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想。
在例题2的解答过程中，学生在白板上直接画图像，清楚，方便，直观。
当堂训练
巩固深化
39’35”-43’34”
通过完成练习题，巩固所学的知识
通过学生的主体参与，让学生巩固所学的知识，实现对知识再认识，感受数学思想方法的作用与含义。
教学设计表
一、基本信息
利用函数性质判定方程解的存在
刘龙强
学科（版本）
高中数学(北师大版 必修1)
章节
第四章 第一节
第一课时
学时
1课时
年级
高一
二、教学目标
知识与技能：理解方程的解与函数的零点之间的关系，学会将求方程解的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数的零点所在的大致区间。
变式延伸
布置作业
44’28”-45’00”
分层布置作业，提出拓展探究题让学生思考
巩固学生所学的新知识，拓展探究题将学生的思维向外延伸。作业采用分层布置，让不同层次的同学在数学上有不同的发展。
记下作业，下去完成，思考拓展套就题目：区间，前面说是闭，后面说是开，原因？
白板展示布置的作业，清楚，利于学生完成作业
解决措施：在本节课的教学中，我将从学生已有的知识和生活经验出发，结合认知主义发现法基本理念，运用新课程倡导积极主动勇于探索的学习方式，依据学生最近发展区组织教学，将学生置于主体地位。具体上，在得出零点存在性定理时采用引导发现法，通过补温度变化曲线的活动，引导学生发现零点存在性定理及其条件；在理解零点存在性定理时采用合作探究法，通过引导学生积极思考、热情参与举例探究活动，将定理中条件成立或不成立的所有情况举例分析清楚，让学生能更好地理解和掌握定理。
过程与方法：通过对二次函数与一元二次方程的关系探究，归纳概括零点概念和函数与方程的关系；通过补温度变化曲线和探究小马过河问题，抽象出零点存在性定理；经历从特殊到一般的认知的过程，体会转化与化归、函数与方程、数形结合思想的含义与作用。
情感态度与价值观：在探索解决问题的过程中，获得学习的成就感，提高学生数学学习的兴趣和能力，认识数学的应用价值，体会不同事物之间的内在联系及可以转化的辩证思想。
体会新知
初步应用
33’8”-39’34”
通过例题2的解决，应用定理，巩固定理，体会转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想
例题2以零点定理为基础， 作出零点的存在性和所在区域的判断。
引导学生利用等价关系，将方程根的问题转化为函数零点问题或两个函数图像交点问题，用几何画板画图，体现了“转化与化归”和“数形结合”的数学思想。
展示问题，方便直接在白板上作答。
启发引导
形成概念
1’42”-9’34”
引导发现，形成零点概念，应用概念
把同学们最熟悉的一元二次方程解和相应的二次函数图像与x轴的交点的关系推广到一般方程,引出零点的概念，得到方程与函数的关系。向学生渗透“从最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的研究方法。
例题1用来加深学生对零点概念的理解，目的要学生应用函数与方程关系，明确零点是一个实数，不是一个点。
设问，学生通过具体一元二次方程解和相应的二次函数图像与x轴的交点的关系探究，总结推广，形成零点概念。
完成例题1，应用函数与方程关系，明确零点是一个实数，不是一个点。
展示二次函数图像，让学生直观、清楚地看出函数与方程关系。
在例题1解答时，学生在白板上直接画图像，清楚，方便，直观。
讨论探究
揭示定理
9’35”-18'30”
通过补温度变化曲线、小马过河两个探究活动，抽象出零点存在性定理
学生通过讨论完成探究，得出函数零点存在性的判定方法。这样设计符合学生的认知特点。
完成探究活动：补温度变化曲线、小马过河，概括出定理。
在补温度变化曲线活动中，学生直接在白板上作图，方便、清楚、直观，有助于学生得出定理。
分组作图
理解定理
18’31”-33’8”
五、教学设计
教学环节
课堂实录
起止时间（’”-’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
创设情境
提出问题
0’04”-1’41”
提出问题
引入课题
让学生思考所给方程是否有解。学生利用以前的知识经验无法解决，进而产生强烈的求知欲，引出当前学习的新知识，激发学习的兴趣。
学生找方程的解，发现有些方程无法解，进而进而产生强烈的求知欲，激发学习的兴趣。
三、学习者分析
高一学生年龄多处于15-16岁，心理学上把这个年龄称为“逻辑思维定型年龄”，他们的思维较初中生具有更高的抽象性、概括性，并且开始形成辩证思维，能够发现事物现象和本质间的联系，但抽象概括能力有所欠缺，思维习惯有待加强。
从知识上看学生刚学习了函数，函数又是非常有用的数学工具，从情感上会对这个新工具的使用有兴趣。但高一学生刚进入高中不久，部分学生学习还依赖于老师讲授，动手动脑能力较弱、观察总结能力不强，语言表达能力不够全面准确，在学习中肯定会遇到一些问题。
完成练习题，巩固所学的知识
学生在做练习时，可利用图像找交点解决，在白板上直接作图，方便，直观，易于理解。
归纳总结Байду номын сангаас
优化结构
43’35”-44’28”
总结反思，优化认知结构，
通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识转化为学生的素养。
反思总结本节课所学
白板展示总结、反思的知识、方法，省时、清楚、明了，有助于学生深化所学。
四、教学重难点分析及解决措施
重点：函数零点与方程的解的关系、函数零点存在性定理及应用
确立依据：函数与方程思想是高中数学中非常重要的数学思想，零点存在性定理及其应用是函数应用价值的重要体现，也是后面二分法的基础。
难点：对零点存在性定理的准确理解。
确立依据：定理只为零点的存在提供充分不必要条件，由于连续性、简单逻辑用语未学习，学生对定理的理解常常不够准确。这就要求教师引导学生探讨各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围，从而化解难点，准确理解函数零点存在性定理。