第五章：平面向量与解三角形(模块综合调研卷)(A4版-教师版)-2025版高中数学一轮复习考点帮

第五章：平面向量与解三角形（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．已知向量a 与b
能作为平面向量的一组基底，若a kb +r r 与()1k a b ++ 共线（R k ∈），则k 的值是（
）
A B C D 【答案】B
【分析】引入参数λ，由平面向量基本定理建立方程组即可求解.
【详解】若a kb +r r 与()1k a b ++ 共线，则设()()11a kb k a b k a b λλλ⎡⎤+=++=++⎣⎦ ，
因为向量a 与b
能作为平面向量的一组基底，
所以()11k k λλ⎧=+⎨=⎩
，所以210k k +-=，解得k =
故选：B.
2．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知9,8,5a b c ===，则ABC 的外接圆的面积为（
）A ．
225
π11
B ．
125
π11
C ．
123
π6
D ．
113
π6
【答案】A
【分析】由余弦定理先求出cos C ，结合同角平方关系求出sin C ，再由正弦定理求出外接圆半径为R ，即可得解．
【详解】因为9a =，8b =，5c =，
所以2228164255
cos 22986
a b c C ab +-+-=
==⨯⨯，
所以sin C =设ABC 的外接圆半径为R ，
则2sin
c
R
C
=
ABC
的外接圆的面积2
225π
11
π
S R
==．
故选：A．
3．已知单位向量a ，b 满足()12
a b a
-⋅=
，则2
a b
-
与
b
的夹角为（）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
【答案】D
【分析】根据题意结合数量积的运算律可得
1
2
a b⋅=
，进而可得2
a b
-
()3
2
2
a b b
-⋅=-
r r
r
，结合夹角公式分析求解.
【详解】由题意可知：1
==
a b
r
r
，
因为()21
1
2
a b a a a b a b
-⋅=-⋅=-⋅=
r r r
r r r r r
，解得
1
2
a b⋅=
，
则()222
2443
a b a a b b
-=-⋅+=
r r r r
r
r
，即2
a b
-=
，
()23
22
2
a b b a b b
-⋅=⋅-=-
r r r r
r r
，
可得
(
)3
22
cos2,
2
2
a b b
a b b
a b b
-
-⋅
-==-
-
r r
r
r r
r
r r
r，
且[]
2,0,π
a b b
-∈
r r
r
，所以2
a b
-
与
b
的夹角为
5π
6．
故选：D．
4．在ABC
中，2
AB
=，BC=120
BAC
∠=︒，D是BC边一点，AD是BAC
∠的角平分线，则AD=（）
A．2
3
B．1C．2
D
【答案】A
【分析】由余弦定理得到1
AC=，由正弦定理和BC
=
3
BD
=，求出cos ABC
∠
sin
14
ABC
∠=，在ABD
△中，由正弦定理得到答案.
【详解】在ABC
中，由余弦定理得
222
cos
2
AB AC BC
BAC
AB AC
+-
∠=
⋅
，
即
2
471
42
AC
AC
+-
=-，解得1
AC=或3-（舍去），
在ABD
△中，由正弦定理得
sin sin
AB BD
ADB BAD
=
∠∠
，
在ACD 中，由正弦定理得
sin sin AC CD
ADC CAD
=∠∠，
其中180ADB ADC ∠+∠=︒，60BAD CAD ∠=∠=︒，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠，故
2
1
AB BD AC CD ==，
又BC =
3
BD =
，在ABC
中，由余弦定理得222cos 214
AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅，
故sin 14ABC ∠=，在ABD △中，由正弦定理得
sin sin AD BD
ABC BAD
=∠∠，
3142
=，解得2
3AD =
.故选：A
5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ．已知()()222
32cos b c b c a abc C -+-=．则tan A =
（）A
B
．C
D
．【答案】B
【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.
【详解】，因为222
cos 2b c a A bc
+-=，得2222cos b c a bc A
+-=又因为()()222
32cos b c b c a abc C
-+-=得()32cos 2cos b c bc A abc C -=整理得()3cos cos -=b c A a C
由正弦定理可得3sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=得3sin cos sin cos sin cos B A C A A C
=+得()3sin cos sin sin B A A C B =+=，因为sin 0
B ≠
所以1cos 3
A =
所以sin tan cos A A A ===故选:B
6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c 若22tan tan b B
c C
=，则ABC 的形状是（
）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.【详解】在ABC 中，由2
2tan tan b B
c C
=及正弦定理得2
2sin sin cos sin sin cos B C B C C
B =，而sin 0,sin 0A B >>，
整理得sin cos sin cos B B C C =，即sin 2sin 2B C =，而0π,0πB C <<<<，则022π,022πB C <<<<，因此22B C =或22πB C +=，即B C =或π2
B C +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形.故选：C
7．已知,,a b c
为单位向量，且357a b -= ，则22a c b c -+- 的最小值为（
）
A ．2B
．C ．4D ．6
【答案】B
【分析】由357a b -= ，得1
2
a b ⋅=-r r ，
可得a b -= ，
由2222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-= ，
当等号成立时可得最小值.
【详解】,,a b c 为单位向量，有1a b c === ，得222
1a b c === ，
由357a b -= ，得()
2
22359302549a b
a a
b b -=-⋅+=
，
有12a b ⋅=-r r ，所以2π,3a b = ，
a b -=
1b c == ，,,b c c b = ，有
22b c b c -=-
，
则2222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-=
，
当且仅当2a c -
与2b c - 方向相反时“=”成立，
如取(
)111,0,,22a b c ⎛⎛==-= ⎝⎭⎝⎭
时，可使“=”成立.
所以(
)
min
22a c b c
-+-=
故选：B ．
【点睛】关键点点睛：
本题关键点是由已知条件得22b c b c -=- ，这样就能得到222222a c b c a c b c a b -+-=-+-≥-
.
8．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7
cos 8
A =
.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=
，若AM x AB y AC =+ ，则x y +的最大值为（
）
A ．
45
B ．
54
C ．
56
D ．
12
【答案】A
【分析】把已知等式中,MB MC 向量用,,AB AC AM
表示后可求得,x y ，由余弦定理得,,a b c 的关系，求出a
b c
+的最值，再由不等式性质得结论．【详解】∵0aMA bMB cMC ++=
，
∴()()a AM bMB cMC b AB AM c AC AM =+=-+- ，
∴b c AM AB AC a b c a b c
=
+++++ ，又AM x AB y AC =+ ，
∴,b c x y a b c a b c
==++++，1
1b c
x y a a b c
b c ++==
++++，
由余弦定理得222222
7152cos ()44
a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，
由2()4b c bc +≤（当且仅当b c =时取等号），得2222
15()()()4416b c b c a b c ++≥+-⨯=
，∴14
a b c ≥+，∴14
1514
x y +≤=+，即x y +的最大值是4
5．
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把,x y 用,,a b c 表示出来．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．已知向量a ，b 的夹角为π
3
，且1a = ，2b = ，则（）
A ．()
-⊥
a b a
B
．a b +=
C ．22a b b
+=
D ．a 在b
的方向上的投影向量为4
b
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．【详解】π1cos 12132
a b a b ==⨯=⋅⨯
，()
2110a b a a a b -⋅=-⋅=-= ，故A 正确；
222
21427a b a b a b +=++⋅=++=
，所以a b += B 正确；
222
24444412a b a b a b +=++⋅=++=
，所以2a b += ，
又因为24b = ，所以22a b b +≠
，故C 错误；
a 在b
上的投影向量为14
a b b b b
b ⋅⋅
=
，故D 错误；故选：AB ．
10．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin c a B =，则（
）
A ．A
B 边上的高为2
c
B ．11
tan tan A B
+为定值C ．
sin cos cos C
A B
的最小值为2
D ．若tan 3C =，则225
a b ab +=【答案】ABD
【分析】对A ，根据AB 边上的高为sin a B 求解即可；对B ，由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C ，由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B 中
11
2tan tan A B
+=，再根据基本不等式求解即可；对D ，根据三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.【详解】对A ，AB 边上的高为sin a B ，由题意sin 2
c
a B =
，故A 正确；对B ，由正弦定理2sin c a B =即()sin sin 2sin sin C A B A B =+=，故sin cos cos sin 2sin sin A B A B A B +=，又锐角ABC ，故cos cos 2sin sin B A B A +=，即11
2tan tan A B
+=，故B 正确；对C ，()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos A B C
A B A B A B A B A B A B
++===+，
又
112tan tan A B +=，故()11
1tan tan tan tan 2tan tan A B A B A B ⎛⎫+=++ ⎪
⎝⎭1tan tan 1
22222tan tan 2B A A B ⎛⎛⎫=
++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝
，当且仅当tan tan tan tan B A
A B =，
即tan tan 1A B ==时取等号，此时π4
A B ==
，π
2C =，与锐角ABC 矛盾，故C 错误；
对D ，()()tan tan πtan 3C A B A B ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦，即tan tan 31tan tan A B A B +=--，又11
2tan tan A B +=，即tan tan 2tan tan A B A B +=，
故
2tan tan 31tan tan A B
A B
=--，解得tan tan 3A B =，故tan tan 6A B +=.
则()tan 6tan 3A A -=，即2tan 6tan 30A A -+=，解得tan 3A =
故tan 3A =tan 3B =tan 3A =tan 3B =
不妨设tan 3A =tan 3B =
则sin A =
sin B =
故2
sin A =，2sin B =，
3sin sin 20A B =
，
故22sin sin sin sin 5A A B B +=，由正弦定理225
a b ab +=，故D 正确.故选：ABD
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，
AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=
．以下命题正确的有（）
A ．若::1:1:1A
B
C S S S =，则M 为AMC 的重心
B ．若M 为AB
C 的内心，则0
BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=
C
．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1
A B C S S S =
D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos 6
AMB ∠=-
【答案】ABD
【分析】A 选项，0MA MB MC ++=
，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重
心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=
；C 选项，设外接圆
半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得
到3m n =
，3
m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=
，
取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-
，
故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，
同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A
正确；
对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =
⋅，12B S AC r =⋅，1
2
C S AB r =⋅，所以1
110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，
即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=
，B 正确；
对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，
2150AMB ACB ∠=∠=︒，
故2211sin 9022A S R R =
︒=
，22
1sin12024
B S R R =︒=，2211sin15024
C S R R =︒=，
所以::2A B C S S S =，C
错误；
对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=
，
则::3:4:5A B C S S S =，
如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31
124
A
ABC S S =
= ，即:3:1AM MD =，
41
123
B
ABC S S == ，即:1:2MF BM =，5
12
C
ABC S S =
，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n m
CAD CBF m n
∠=∠=，所以
32n m m n =
，即3
m n =
，3cos 22m BMD n n ∠===(
)cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：
ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知平面向量()1,a m = ，()2,1b =- ，(),2c n = ，若a b ⊥ ，//b c ，则m n +=
.
【答案】2
-【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.
【详解】因为()()1,,2,1,a m b a b ==-⊥
，所以()1210,2m m ⨯-+⨯==,因为()(),2,2,1,//c n b c b ==-
，所以()122,4n n ⨯=⨯-=-,所以242m n +=-=-.故答案为：2-.
13．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在ABC 中，
角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积为
S =若()()()sin sin sin a b A b c C B -=+-，且
ABC ABC
面积的最大值为
.
【分析】先将()()()sin sin sin a b A b c C B -=+-化简得3
C π
=，再由均值不等式得4ab ≤，最后代入面积共
公式即可得出答案.
【详解】因为()()()sin sin sin a b A b c C B -=+-,所以由正弦定理得()()()a b a b c c b -=+-,所以222a b c ab +-=,
所以由余弦定理得2221
cos 22
a b c C ab +-==,
而()0,C π∈,所以3
C π
=,
所以
22sin 3
c R C ==⨯
,
所以232
c =
=,由222a b c ab +-=得22424a b ab ab +-=≥-,所以4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号,
所以4
ABC
S ab =≤△故ABC
14．已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且
AB = ，则AB AC ⋅ 的最小值是．
【答案】3
2
【分析】根据题意，由正弦定理可得sin 2
C =
，然后分2π3B A =-与π3B A =-讨论，再由平面向量数量积
的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得2sin sin c b r C B ==，所以2sin sin b
C B
==，
所以sin 2
C =，且()0,πC ∈，则π3C =或2π3，
则2π3
B A =-或π
3B A =-，
当2π3B A =
-时，22sin 2sin π3b B A ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以
2cos 2sin πcos 3AB AC bc A A A ⎛⎫⋅==-⨯ ⎪⎝⎭
1
sin cos 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭
23cos cos A A A
=+
()
31cos 222A A +=π32
32A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ52,π333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
当π32π32A +
=时，即7π12A =时，AB AC ⋅ 取得最小值32；当π3B A =-时，π2sin 2sin 3b B A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，
所以πcos 2sin cos 3AB AC bc A A A ⎛⎫⋅==-⨯ ⎪⎝⎭
1
sin cos
2A A A ⎫=-⎪⎪⎝⎭
23cos cos A A A
=-
()
31cos 222A A +=-π3
232A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则AB AC ⋅ 无最值；
综上所述，AB AC ⋅ 的最小值是32
-
故答案为：32
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，设向量()
2sin m A A A =+ ，()cos ,cos sin n A A A =- ，()f A m n =⋅ ，π2π,63A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.(1)求函数()f A 的最大值；
(2)若()0f A =，a =sin sin
2
B C +=，求ABC 的面积.【答案】
【分析】（1）由向量数量积的坐标运算得()f A ，利用降幂公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求最大值；
（2）()0f A =解得π3A =，
由sin sin B C +=
b c +=再结合余弦定理求得1bc =，面积公式求ABC 的面积．
【详解】（1
）()2sin cos )(cos sin )
f A m n A A A A A A =⋅=+-
22πsin 2sin )sin 222sin 23A A A A A A ⎛⎫=-==+ ⎪⎝
⎭.因为π2π,63A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π5π2,333A ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π233A +=，即π6A =时，()f A
有最大值22
⨯=；（2）因为()0f A =，所以π2sin 203A ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以π2π,Z 3A k k +=∈，因为π2π,63A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3A =，
由正弦定理2sin sin sin 2
b c a B C A ===，所以sin 2b B =，sin 2c C =，
又因为sin sin 2
B C +=
，所以222b c +=
，得b c +，由余弦定理有：2222cos a b c bc A =+-，即23()3b c bc =+-，所以1bc =，
所以1
1sin 122ABC S bc A ==⨯△．16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cos 1sin tan A A B =+.(1)若A B =，求C ；
(2)求sin sin 2cos a B b A b B
+的取值范围.【答案】(1)2π
3C =
(2)()
0,1【分析】（1）先由题给条件求得A B =π6
=，进而求得2π3C =；（2）先利用正弦定理和题给条件求得π22A B =
-和π04B <<
，再构造函数1212y t t t =-<<，求得此函数值域即为sin sin 2cos a B b A b B
+的取值范围
【详解】（1）由A B =，
cos 1sin tan A A B =+可得cos 1sin tan A A A
=+，则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10A A +-=，解之得1sin 2A =
或sin 1=-A 又π02A <<，则π6
A =，则π6
B =，则2π3
C =（2）A ，B 为ABC 的内角，则1sin 0
A +>则由cos 1sin tan A A
B =+，可得cos 0tan A B
>，则A B 、均为锐角222cos sin 1tan cos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan 22
2A A A
A A
B A A A
A --⎛⎫===- ⎪+⎝⎭++又πππ0,02424A
B <<
<-<，则π42A B =-，π04B <<则π22A B =-，则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
因为sin sin a B b A =,则2sin sin 2sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos 2cos cos cos a B b A b A b B B B b B b B b B B B
+-====-令cos t B =π04B ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
，则12
t <<又1()2f t t t =-
在,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增，(02
f =，(1)1f =可得1021t t <-<，则12cos cos B B
-的取值范围为()0,1，则sin sin 2cos a B b A b B
+的取值范围为()0,117．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足：
cos cos cos .cos cos C A B a B b A a b +=++(1)求角C 的大小；
(2)若3c =，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围．
【答案】(1)π
3
(2)944⎛- ⎝⎦
【分析】（1）根据正弦边化角，并结合恒等变换得()()sin sin C A B C -=-，再结合题意得2C A B =+，进而根据内角和定理得答案；
（2）由题，结合（1）得2π3ADB ∠=，设DAB α∠=，则3
ABD πα∠=-，进而根据锐角三角形得ππ124α<<，在ABD △
中，由正弦定理得πn 3AD α⎛⎫- ⎪⎝⎭
=
，进而πsin 2s 11s in 32πin 6n 2i 3ABD S AD AB αααα=
⋅⎛ ⎛=⎫+ ⎪⎝⨯⎫-⎝⎭
=⎪⎭⨯△，再根据三角函数性质求范围即可.【详解】（1）解：因为
cos cos cos cos cos C A B a B b A a b +=++所以cos cos cos sin cos sin cos sin sin C A B A B B A A B
+=++，即()cos cos cos cos sin sin sin sin C C A B A B C A B +==++所以sin cos sin cos sin cos sin cos C A C B A C B C +=+，
所以sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C B C C B -=-，即()()sin sin C A B C -=-，
因为在锐角ABC 中，ππππ,,,2222C A B C ⎛⎫⎛⎫-∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以C A B C -=-，即2C A B =+，
因为πA B C ++=，
所以3πC A B C =++=，解得π3C =所以π
3
C =（2）解：因为π3C =
，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，所以11,22
DAB CAB DBA ABC ∠=∠∠=∠，所以()111ππ2223DAB DBA CAB ABC C ∠+∠=
∠+∠=-=所以2π3
ADB ∠=，设DAB α∠=，则3ABD π
α∠=-，
因为ABC 为锐角三角形，所πππ02,0π2232B αα<<<=--<，解得ππ124
α<<所以，在ABD △中，由正弦定理sin sin AB AD ADB ABD =∠∠
得sin sin 3
π3sin π32π3sin AB ABD AD ADB αα⎪⋅∠⎪=⎛⎫- ⎛⎫⎝=⎭∠ ⎝=-⎭，所以，ABD △
面积π311s n sin 3i 22ABD S AD AB ααα⎛⨯⎫- ⎪⎝=⋅=⨯⎭
△
2
93π
sin cos sin sin2
222
πsin
34
ααα
ααα
⎛⎫
=-=
⎪
⎝
⎛⎫
⋅-=+-
⎪
⎝
⎭⎭
因为
ππ,
124
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，所以
ππ2π
2,
633
α⎛⎫
+∈ ⎪
⎝⎭
，
所以
π
sin2,1
62
α
⎛⎤
⎛⎫
+∈ ⎥
⎪
⎝⎭⎝⎦
，
π
2
6
α
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭⎝⎦
，
所以，ABD
△
面积的取值范围是
9
44
⎛-
⎝⎦
.
18．记ABC
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos sin
cos sin
a B B
a C C
-
=
-
.
(1)若b c≠，证明：2a b c
=+；
(2)若2
B C
=，证明：
2
2
3
c b>>.
【答案】(1)见详解；
(2)见详解.
【分析】（1）根据正余弦定理角化边，整理即可；
（2）根据正弦定理推得2cos
b c C
=，即可得到2
b c
<.通过分析，可得
1
2cos1
a
C
=
-
以及
2cos
b
c
C
=，代入2
a b c
=+，整理可得到
2
2cos1
12cos2cos1
C
b
C C
⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪
+-
⎝⎭⎝⎭
，令2cos
t C
=，构造()321
t
b f t
t t t
==
+--
，求导得到()
f t在(]
1,2上单调递减.进而得到()()
2
2
3
f t f>=.
【详解】（1）证明：由正弦定理可得，
sin sin
b c
B C
=，所以
sin
sin
B b
C c=，
由余弦定理及其推论可得，
222
cos
2
a c b
B
ac
+-
=，
222
cos
2
a b c
C
ab
+-
=，
所以，由已知可得，
222
222
2
2
a b
c
a c b
ac
a b
a c
ab
-
=
-
+-
+-
，
即()()()()
222
222
a b c b c b c b c
-=-=+-，
因为b c ≠，所以2a b c =+.
（2）证明：由已知得，sin sin22sin cos B C C C ==，又由正弦定理sin sin b c B C
=可得，2cos b c C =，因为cos 1C <，所以2b c <.由（1）知，2a b c =+，则b c a a +=
，又由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==可得，()sin sin sin sin sin sin B C B C a A B C ++==+()2sin sin 2sin cos sin sin cos cos sin 2sin cos cos 2cos 1sin B C C C C B C B C C C C C C
++==++-()()2sin 2cos 112cos 1
4cos 1sin C C C C C +==--，又2cos b c C =，则2cos b c C =
，将12cos 1
a C =-以及2cos
b
c C =代入2a b c =+可得，2112cos 2cos 12cos 2cos b C b b C C C +⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，整理可得，22
2cos 12cos 112cos 2cos 112cos 2cos 1C C b C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为，2B C =，πA B C ++=，所以π03C <<，则1cos 12
C <<.令2cos t C =，则12t <<，()2321111
t t b f t t t t t t ⎛⎫==⋅= ⎪+---+⎝⎭，则()()()
22321712481t t f t t t t ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--+'，所以，当12t <<，()0f t '<恒成立，所以()f t 在()1,2上单调递减.
所以，()()223f t f >=，即23b >.综上所述，223
c b >>.19．若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则称点P 为ABC 的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．如图，已知ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．
(1)若b c =
，且满足PB PA
=ABC ∠的大小．(2)若ABC 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACB
θ=++∠∠∠．（ⅱ）若PB 平分ABC ∠，证明：2b ac =．
【答案】(1)π
6
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断PCB 与PBA △
相似，进而得到a =，应用余弦定理求出cos ABC ∠的值即可；（2）（ⅰ）在ABC 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
222
111tan tan tan 4ABC
a b c BAC ABC ACB S ++++=∠∠∠ ，针对θ分别在PAB 、PBC 和PCA V 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且ABC PAB PBC PAC S S S S =++表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得：222
1tan 4ABC
a b c S θ++= ，即可得证；（ⅱ）得出222a b c ++与ABC S 的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，PB 平分ABC ∠，将1sin 22
ABC S ac θ= 代入，化简整理即可得证.【详解】（1）若b c =，即AB AC =，得A ABC CB =∠∠，
点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则PCB PBA ∠=∠，
在PCB 和PBA △中，PCB PBA ∠=∠，PAB PBC θ∠=∠=，
所以PCB 与PBA △
相似，且
PB PA =
所以BC a AB c
==
，即a =，由余弦定理得：222
cos 2a a BC c A b c
+-=∠
，且a =，b c =，
得222cos ABC ∠=
，且0πB <<，所以π
6ABC ∠=；
（2）（ⅰ）在ABC 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
222222
1cos tan sin 2sin 4ABC
BAC b c a b c a BAC BAC bc BAC S ∠+-+-===∠∠∠ ，222222
1cos tan sin 2sin 4ABC
ABC a c b a c b ABC ABC ac ABC S ∠+-+-===∠∠∠ ，222222
1cos tan sin 2sin 4ABC
ACB a b c a b c ACB ACB ab ACB S ∠+-+-==∠∠∠ ，三式相加可得：222
111tan tan tan 4ABC
a b c BAC ABC ACB S ++++=∠∠∠ ①在PAB 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
222222
1cos tan sin 2sin 4PAB
AP c BP AP c BP AP c S θθθθ+-+-===⋅ ，在PBC 和PCA V 内，同理：2221tan 4PBC BP a CP S θ+-= ，222
1tan 4PCA
CP b AP S θ+-= ，三式相等：222222222
1tan 444PAB PBC PCA
AP c BP BP a CP CP b AP S S S θ+-+-+-=== ，因为ABC PAB PBC PCA S S S S =++ ，由等比性质得：
222222222222
1()()()tan 4444PAB PBC PCA ABC
AP c BP BP a CP CP b AP a b c S S S S θ+-++-++-++==++ ②由①②式可证得：1111tan tan tan tan BAC ABC ACB
θ=++∠∠∠；（ⅱ）因为111sin sin sin 222
ABC PAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP θθθ=++=⋅+⋅+⋅ ，即()1sin 2
ABC S c AP a BP b CP θ=⋅+⋅+⋅ ，所以2sin ABC S c AP a BP b CP θ
⋅+⋅+⋅=
，在,,PAB PBC PAC 中，分别由余弦定理得：2222cos BP c AP c AP θ=+-⋅，2222cos CP a BP a BP θ=+-⋅，2222cos AP b CP b CP θ=+-⋅，
三式相加整理得()2222cos c AP a BP b CP a b c θ⋅+⋅+⋅=++，
()2222cos a b c c AP a BP b CP θ++=⋅+⋅+⋅，将2sin ABC S c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅=
代入得：22222cos sin ABC S a b c θθ
++=⋅ 若PB 平分ABC ∠，则2ABC θ∠=，1sin 22ABC S ac θ=
，
所以22222sin 22cos 2cos 4cos sin sin ABC S ac a b c ac θθθθθθ
++=⋅=⋅= ③又由余弦定理可得：()2222222cos 22cos sin a c b ac b ac θθθ+=+=+-④
由③-④得：()
22222sin cos b b ac θθ=-++所以()222sin cos b ac θθ=+，
所以2b ac =.
【点睛】关键点点睛：根据ABC PAB PBC PAC S S S S =++表示出三角形得面积，在,,PAB PBC PAC 中，由余弦定理相加，得出222a b c ++与ABC S 的等量关系，是解决本题的关键.。