安徽合肥市第六中学等差数列练习题(有答案)百度文库

一、等差数列选择题
1．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12
B ．20
C ．40
D ．100
2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21
2
，则该数列的项数是（ ） A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足
122527
n n
a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）
A ．6-
B ．2-
C ．1-
D ．0
4．定义
12n
n
p p p ++
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前
n 项的“均倒数”为
12n
，又2n n a b =，则
1223910
111
b b b b b b +++
=（ ） A ．
8
17 B ．
1021
C ．
1123 D ．
919
5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -
B ．n
C ．21n -
D ．2n
6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项的和为
（ ） A ．
89
B ．
910
C ．10
11
D ．
1112
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则6
12
S S =（ ） A ．
17
7
B ．
83
C ．
143
D ．
103
8．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则3810b b b =（ )
A ．1
B ．8
C ．4
D ．2
10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ）
A ．21S
B ．20S
C ．19S
D ．18S
11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+
B ．2()4f x x =
C ．3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．4()log f x x =
12．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*
111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）
A ．0m S <且10m S +>
B ．0m S >且10m S +>
C ．0m S <且10m S +<
D ．0m S >且10m S +<
13．在数列{}n a 中，11a =，且11n
n n
a a na +=+，则其通项公式为n a =（ ） A ．
2
1
1n n -+ B ．2
1
2n n -+
C ．22
1
n n -+
D ．2
2
2
n n -+
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51
B ．57
C ．54
D ．72
15．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n
x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(
23
)n －1
B ．(
23)n C ．
21
n + D ．
1
2
n + 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60
B ．120
C ．160
D ．240
17．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019
B ．4040
C ．2020
D ．4038
18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333
122n n n a a a ++=+，则10a 等于
（ ） A ．10
B
C ．64
D ．4
19．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．24
B ．39
C ．104
D ．52
20．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸
B ．一丈八尺五寸
C ．二丈一尺五寸
D ．二丈二尺五寸
二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！ 23．题目文件丢失！
24．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3n n n S a +=，则1
n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
25．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤
D ．当且仅当0n
S <时，26n ≥
27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
28．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<
B ．22
415
4
a a +≥
C ．15
11
1a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅
29．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥
时，)
2
11n a =
-，则关于数列
{}n a 说法正确的是（ ）
A ．28a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．数列{}n a 为周期数列
D ．2
2n a n n =+
30．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
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一、等差数列选择题 1．B 【分析】
由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：
1011045100S a d =+=，
12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.
故选：B. 2．A 【分析】
设项数为2n ，由题意可得()21
212
n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】
设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大
212
， ()212121;2
n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，
30246S S nd ∴-=-==奇偶②．
由①②，可得3
2
d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 3．A 【分析】 转化条件为
122527
n n
a a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.
【详解】
因为
122527
n n a a n n +-=--，所以122527n n
a a n n +-
=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以
()1212327
n
a n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得
3722
n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()
()()3123min
13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.
故选：A. 【点睛】
解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．D 【分析】
由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n
=，则：2
2n S n =， 当1n =时，112a S ==，
当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212n
n a b n =
=-，()()1
11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：
1223910
1111111111233517191.21891919
b b b b b b +++
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
=⨯= 故选：D 5．B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】
因为3518a S +=，63
3a a =+，所以11161218
523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩， 所以11
1a d =⎧⎨=⎩，所以()111n a n n =+-⨯=，
故选：B. 6．C 【分析】
首先根据()12
n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】
当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122
n n n n n n n a S S n -+-=-=
-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()11111
11
n n n b a a n n n n +=
==-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…. 故选：C 7．D 【分析】
由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】
已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =.
又
()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而
126103
S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：
（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，
（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且9
3
6S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 8．A 【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】
在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由
467
811a a a =⎧⇒⎨
+=⎩4448
12311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．B 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=，
所以2
7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；
又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选：B. 10．B 【分析】
设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系139
2
a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】
设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392
a d =-. 又10a >，所以0d <，因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ⎛⎫=
+-=-=-- ⎪⎝
⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 11．D
把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1
n n
x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结
果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】
对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于B ，函数2
()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2
4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为
常数，
因此1n n y y +-＝()
2222
14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；
对于C ，函数3()4x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x
+-＝3
3
()()144n q
x
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等
差数列；
对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x
，由于{x n }是等比数列，所以
1
n n
x x +为常数， 因此1n n y y +-＝11
444
4log log log log n n n n
x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；
故选：D ． 【点睛】 方法点睛：
判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=
>，111(1)()
02
m m m a a S ++++=<.
13．D 【分析】
先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212
2
n n n a -+=，进而求出n a .
【详解】 解：11n
n n
a a na +=
+， ()11n n n a na a ++=∴，
化简得：11n n n n a a a a n ++=+， 两边同时除以1n n a a +并整理得：
111
n n
n a a +-=， 即21
11
1a a -=，32112a a -=，43113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈， 将上述1n -个式子相加得：
213243111111+a a a a a a --+-+ (111)
123n n a a -+-=+++…1n +-， 即111(1)
2
n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222
n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈， 又
1
1
1a =也满足上式， 212()2
n n n n z a -+∴=∈， 22
()2
n a n z n n ∴=
∈-+.
故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合. 14．B 【分析】
根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】
317102a a a +=
1039a ∴=，即103a =
()11910
19191921935722
a a a S +⨯∴===⨯=
故选：B 15．C 【分析】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，进而得出答案． 【详解】
由已知可得数列1n x ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21
n x n =+
故选：C 16．B 【分析】
利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】
因为7916+=a a ，
所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()
11515815151581202
a a S a +===⨯=． 故选：B 17．B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
⨯=⨯+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==⨯=+⨯⨯ 故选：B 18．D 【分析】
利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}
3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值.
【详解】
对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，
由于11a =，22a =，则数列{}
3n a 的公差为33217d a a =-=， 所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，10
4a .
故选：D.
19．D
【分析】
根据等差数列的性质计算求解．
【详解】 由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯=+==， 74a =，∴11313713()13134522
a a S a +=
==⨯=． 故选：D ．
20．D
【分析】 由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为
985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和．
【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，
则()19959985.52
a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），
所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，
则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．
故选：D ．
二、多选题
21．无
22．无
23．无
24．BD
【分析】 利用递推关系可得1211
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23
n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=
-， 化为：112111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
21n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 25．ABD
【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.
【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
26．AB
【分析】
根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中717S S =，
所以89161712135()0a a a a a a ++
++=+=， 又10a >，
所以12130,0a a ><，
所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +=
=<，故D 错误， 故选：AB
【点睛】
关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.
27．BD
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；
而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，
又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.
∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
28．ABC
【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．
【详解】
由题知，只需1220010
a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；
()()2222415223644
a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确；
2
1511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．
29．ABD
【分析】
由已知递推式可得数列
2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
)211n a =-
得)2
11n a +=，
1=
，
即数列
2=，公差为1的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，
所以易知ABD 正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
30．ABC
【分析】
由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩
时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．
故选：A B C
【点睛】
本题只要考查等差数列前n项和n S与通项公式n a的关系，利用n S求通项公式，属于基础题．。