双三次Bezier曲面

实验六 双三次Bezier 曲面
一、实验目的
根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。

二、实验任务（2学时）
Bezier 曲面算法及其程序设计。

三、实验内容和实验步骤
1、算法描述
Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。

m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)：
（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕
双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕
展开上式，有
代入得到：
)()(),(m 0i ,,0
,∑∑
===v B u B P v u p n j m i n j j i 33
,,3,3i 00
(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑
0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
320,332
1,3
322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩320,3321,332
2,333,3
()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v
B v v ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,313313630(,)13
300P P P P P P P P p u v u u u P P P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣
⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥321331363033
00v v v ⎡⎤
--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥⋅⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
令
则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。

2、要求：
根据给定的16个控制顶点：
P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)； P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)； P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)； P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)； 使用斜等测投影绘制双三次Bizer 网格曲面。

3、程序实现步骤：（工程名:BezierCurve2）
步骤1：创建“BezierCurve2”工程文件；
步骤2：创建类class ：“ P2”及“P3”；注意：P2 为二维点，含有两个成员变量“x，y”，P3含有三个成员变量“x，y ，z”。

单击右键-“new class”-选择类型“Generic Class”名称为“ P2”及“P3”，添加成员变量（添加至“class EACH_ENTRY { public:”之内）：
class P2 {
public: P2();
virtual ~P2(); double x; double y; };
class P3 {
public: P3();
321U u u u ⎡⎤=⎣⎦32
1V v v v ⎡⎤=⎣⎦1331363033001000be M --⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,0
3,13,23,3P P P P P P P P P P P P P P P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(,)T T
be be p u v UM PM V
=
virtual ~P3();
double x;
double y;
double z;
};
步骤3：包含头文件并定义顶点对象。

1）在“class CBezierCurve2View : public Cview……”之前添加代码“#include "P3.h"”及“#include "P2.h"”；
#include "P3.h"//包含三维坐标点类
#include "P2.h"//包含二维坐标点类
2）在“class CBezierCurve2View : public CView……”内添加代码：
P3 P3[4][4];//三维顶点
P2 P2[4][4];//二维顶点
步骤4：添加成员函数。

1）C m n的函数实现，定义成员函数，命名为Multiply_n。

方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；
2）伯恩斯坦多项式B m,n(t)的函数实现，添加CBezierCurve2View::bernstein。

方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；
步骤5：在OnDraw（）中添加代码：
注意：添加头文件
#include "math.h"//数学头文件
#define Round(d) int(floor(d+0.5))//四舍五入宏定义
上述两行代码添加至：类CBezierCurve2View的所有成员函数代码之前。

1）窗口坐标变换，设置客户区中心为原点
CBezierCurve2Doc* pDoc = GetDocument();
ASSERT_VALID(pDoc);
// TODO: add draw code for native data here
CRect rect;//定义客户区矩形
GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小
pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系
pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围
pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y轴垂直向上
pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点
rect.OffsetRect(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2);
2）初始化16个控制顶点
P3[0][0].x=20; P3[0][0].y=0; P3[0][0].z=200;//P00
P3[0][1].x=0; P3[0][1].y=100;P3[0][1].z=150;//P01
P3[0][2].x=-130;P3[0][2].y=100;P3[0][2].z=50; //P02
P3[0][3].x=-250;P3[0][3].y=50; P3[0][3].z=0; //P03
P3[1][0].x=100; P3[1][0].y=100;P3[1][0].z=150;//P10
P3[1][1].x=30; P3[1][1].y=100;P3[1][1].z=100;//p11
P3[1][2].x=-40; P3[1][2].y=100;P3[1][2].z=50; //p12
P3[1][3].x=-110;P3[1][3].y=100;P3[1][3].z=0; //p13
P3[2][0].x=280; P3[2][0].y=90; P3[2][0].z=140;//P20
P3[2][1].x=110; P3[2][1].y=120;P3[2][1].z=80; //P21
P3[2][2].x=30; P3[2][2].y=130;P3[2][2].z=30; //P22
P3[2][3].x=-100;P3[2][3].y=150;P3[2][3].z=-50;//P23
P3[3][0].x=350; P3[3][0].y=30; P3[3][0].z=150;//P30
P3[3][1].x=200; P3[3][1].y=150;P3[3][1].z=50; //P31
P3[3][2].x=50; P3[3][2].y=200;P3[3][2].z=0; //P32
P3[3][3].x=0; P3[3][3].y=100;P3[3][3].z=-70;//P33
3) 三维控制顶点投影（采用斜等测法）至二维点：
for(int i=0;i<4;i++)
for(int j=0;j<4;j++)
{
P2[i][j].x=P3[i][j].x-P3[i][j].z/sqrt(2);
P2[i][j].y=P3[i][j].y-P3[i][j].z/sqrt(2);
}
// 以上代码实现：从三维到二维的斜等测投影（参照教材P173：式6-42）
4）绘制控制多边形
CPen NewPen,*pOldPen;
NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));
pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);
for(int i1=0;i1<4;i1++)
{
pDC->MoveTo(Round(P2[i1][0].x),Round(P2[i1][0].y));
for(int j1=1;j1<4;j1++)
pDC->LineTo(Round(P2[i1][j1].x),Round(P2[i1][j1].y));
}
for(int j2=0;j2<4;j2++)
{
pDC->MoveTo(Round(P2[0][j2].x),Round(P2[0][j2].y));
for(int i2=1;i2<4;i2++)
pDC->LineTo(Round(P2[i2][j2].x),Round(P2[i2][j2].y));
}
pDC->SelectObject(pOldPen);
NewPen.DeleteObject();
// 以上代码绘制控制多边形
5）控制顶点标注序号
CString str;
pDC->SetTextColor(RGB(0,0,255));
for(int i3=0;i3<4;i3++)
{
for(int j3=0;j3<4;j3++)
{
str.Format("P%d,%d",i3,j3);
pDC->TextOut(Round(P2[i3][j3].x+10),Round(P2[i3][j3].y+2),str);
}
}
// 以上代码实现“控制顶点标注序号”
6）“曲面”生成
CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔
pDC->SelectObject(&PenRed);//选择红色笔绘制曲面
double dt1=0.01,dt2=0.01;
double x,y,u,v;
double BU03,BU13,BU23,BU33;
double BV03,BV13,BV23,BV33;//U，V两个方向，三次曲面，共8个基函数
for(u=0;u<=1;u=u+dt1)
for(v=0;v<=1;v=v+dt2)
//对每一个u，v从0~1循环1/dt2+1次后，
//生成一条由1/dt2+1个点用直线串起来的“曲线”
//u从0~1循环1/dt2+1次后，生成1/dt1+1条“曲线”
{
BU03 = bernstein(0,3,u);//计算B0,3（u）
BV03 = bernstein(0,3,v);//计算B0,3（v）
BU13 = bernstein(1,3,u);//计算B1,3（u）
BV13 = bernstein(1,3,v);//计算B1,3（v）
BU23 = bernstein(2,3,u);//计算B2,3（u）
BV23 = bernstein(2,3,v);//计算B2,3（v）
BU33 = bernstein(3,3,u);//计算B3,3（u）
BV33 = bernstein(3,3,v);//计算B3,3（v）
//严格按照教材P201页，式7-21，为了简单起见，没有使用复杂的循环
x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+
(BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+ (BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;
y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+
(BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+
(BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;
if(v==0)
pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));
else
pDC->LineTo(Round(x),Round(y));
}
//以上双重循环程序u=0、u=dt、u=2dt……u=1的共1/dt+1条“纵向”曲线段
for(v=0;v<=1;v=v+dt2)
for(u=0;u<=1;u=u+dt1)
{
BU03 = bernstein(0,3,u);
BV03 = bernstein(0,3,v);
BU13 = bernstein(1,3,u);
BV13 = bernstein(1,3,v);
BU23 = bernstein(2,3,u);
BV23 = bernstein(2,3,v);
BU33 = bernstein(3,3,u);
BV33 = bernstein(3,3,v);
x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+
(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+
(BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+
(BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;
y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+
(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+
(BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+
(BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;
if(u==0)
pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));
else
pDC->LineTo(Round(x),Round(y));
}//此双重循环程序v=0、v=dt、v=2dt……v=1的共1/dt+1条“横向”曲线段//上述两批“纵向”及“横向”曲线段，犹如“织布”般“纵横交错”,dt取值越小，“布”越密实。

（3）编译、运行后查看结果，如图1所示。

图1 双三次Bezier曲面程序结果
四、总结和思考
1．查看实验结果，验证算法的正确性；
2．在程序中，修改参数dt（包括dt1和dt2）的增量值，分别取“0.001”、“0.02”、“0.04”及“0.1”，观察并分析结果。

3．修改相关参数，增加顶点数目分别至5*5个或更多。

考虑如何修改程序，并查看实验结果；
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。