【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修一导学案21.函数的值域

21.函数的值域
曾劲松
学习目标
1 •会用函数图象或函数性质研究简单函数的值域.
2 .会研究 y =ax b ac =o ，- 与 y 二 ax 丄 a . 0 性质
ex +d i cd) x
3 .会利用换元法研究复合函数的值域.
4 .会求分段函数的值域.
5 .会利用方程思想研究函数的值域. 一、夯实基础 基础梳理 基础达标
1.解决下列问题： (1)
函数y = 2x , x --- , 1的值域是(
).
D . , -1 匚 1, •::
3 .解决下列问题：
(1)函数y =log 2 3x 1的值域为( ).
A . 0，讦3】；
B . 0，订1
C. 1,::
(3)函数y=V5x —3x 2—2的值域是 _____________ 4 .画出下列函数的图象并写出其值域：
A . —2
B . 0, 2
C.
0, 2 1
D . 2 ,-::
2 .解决下列问题： (1)函数y 2x
的值域为( ).
5x +1
「 51 A. j y E R
B. {y ^ R y ^。

} c. {y € R yH2 , y H 5}
(2)函数的值域为(
).
1 +v x A . 口，1 】
B . (—1,1】 C. I- , 1 )
(2)求函数 y = J x 一1 + J x +1的值域为 _____________
D .
D .
+oc
•>
(1) y = x -1 x 1 ;
;x
2 ，x 兰0， (2) y
= 1 ，x 、
0.
x 5. (1)设函数 f x =log 2 4x — 2x , XW1, 2 ],求 f x 的值域. (2)若函数 =log 1 x \ 4 _2log 1 x 5在定义域1.2, 4 ］上有最大值a ，最小值b ，求a _b .
4 二、学习指引 自主探究 1.观察函数 1 i 的图象，写出不同定义域下 y 的值域: x x
2.求函数的值域，关键是弄清函数的单调性， 利用函数的图象来观察单调性是常用方法. 为
y 二口 x _4的值域，我们先研究 y =口 x=-1的图象. X +1 X 十1 请写出y 二匸1 X = -1的定义域、值域、对称中心、单调性； X +1 用的描点法画出 丫二匸1 x = -1的图象，该图能否由某个函数的图象平移得到？ 了求 (1) (2) (3) 求y = 口 x _4的值域.
x +1 ax + b 『 y 二 ----- , ex + d I =m ~ 的形式，并说明它与 y =冬图象之间的关系. x +n x 1 y =x x = 0 . x
① 函数y 的取值可以是1, 2, 3吗？如不能，请说明理由；如果能，请求出相应的 1 ②
利用①的启示，你能否得到
y 二x •- X=0所以函
数数值的集合即值域？
x
3 .由上问知道, y=g 化成y
ex d
4. (1)给出函数 ac = 0 ,工-一一b 与反比例函数 y =k 的图象有关系，试将 -」 x
(2) 给出函数y-x —1 x=0，你能利用(1)的办法得到它的值域吗?
X
b
b 0 与 y=ax •- a . 0，b ：：：0 的性质
x
于变量x , y 的一个二元方程，也可以把它看成是以 y 为待定系数关于变量 x 的一元方程, 这种转换看
问题的角度对于研究某些函数的值域很重要. 请从方程的角度研究下列函数的值 域.
6 •利用不等式的性质求值域一种方法，下列解题过程是否有误，说明理由.
题目：求函数y=3-2・.1_x 2值域 解答： :1 -X 2
0 , -2 1 -X 2 _0 , 3 -2 1 -X 2 _3 ,
.函数y =3-2・.「F 的值域为 --,3 ]• 案例分析
1 .求函数 y = x
2 - 2mx 1, x 1-1, 1 1 的值域.
【解析】二次函数 yy =x 2 -2mx • 1是开口向上的抛物线，对称轴为直线
x =m .
(1 )若m 乞-1 ,则函数y =x 2 -2, x 1 , x ：=〔 1, 1 1单调递增(如图一)，
f -1 产2 2m , f 1 i=2 -2m , 所以所求函数值域为 2 2m , 2 -2m ].
5 •函数与方程是两个不同的数学概念，但对于用解析式示示的函数 y = f [x ，可以视为关
(3 )研究函数
y =ax b
a 0， x
x
_x
(1)y= ；(2)
2
2x-x 1 x 2 1
(2)若_1 ：：：m _0 ,由函数y =x2 -2mx 1，1-1, 1 ］图象(如图二)可以知道函数值域
f m，f 1 ，又f m =1 一m「，所以所求函数值域为卩-m2，2 -2m
(3) 若0 :：:m ：：:1，由函数y =x2 -2mx 1，x 1，1 ］图象(如图三)可以知道函数值域为
f m ，|，又f m =1 - m2，所以所求函数值域为|p - m2，2 2m I
(4) 若m 二1，则函数y =x2 -2mx 1, x 1-1, 11 单调递减(如图四)，f -1 = 2 • 2m ,
f 1 =2 -2m，所以所求函数值域为2 -2m, 2 2m］.
2 .求函数y =2x 41 - x的值域.
【解析】设t = 1 -x，则t _0 ,且x =1 - t2, 代入已知函数得y=2 1-t24t ,
又y - -2t2■ 4t ■ 2 - -2 t -1 i亠4 t _0，根据图象观察可知y三i. •「，4 I
说明：本题使用的方法就是换元法，是等价转化思想的一个具体应用. 3 .求下列函数的值域：(1)y3 ；
x-1
1 —X
(2)y 2 ；
1 x
(4)将原函数化为yx 2+(3y —1 )x+6y —2=0 (* ),把此方程看作关于 方程有实数解时，待定量 y 的取值范围.
当y =0时，X = -2，方程有解，所以 y 可以取0;
y 式0 时，令 A=(3y —1 2 _4y (6y _2 )^0，解得 __ My 兰—.
(3) y (4) y I , x x 1 x ~2
x 2x 6
【解析】
(1 )方法一:
5x 4 5 x -1
9
x -1
9
0 , x -1 .y =5，即函数值域为 方法二：由y
5x 4
得x 二乞」•故y=5 , x -1 y -5
即函数值域为 (2 )方法一:
；x 2 _0 , 1 x 2 _1 ,
2
因而0 ：：• 2 1 x 岂2：= -1 ：：: y 空1，即函数值域为
-1, 1丨 方法二：由y = 1
-X ：得 x 1 x 2 匕一0，解得：U 汁 故函数值域为 -1，1 ].
(3)函数可化为=2・，其图象是由反比例函数 y =丄先向左平移
x
移2个单位得到，如图，当
-1-2，- 1U -1, -::时, 容易看出 y 1个单位，再向上平
-2, 1 ]u 2，::.
x 的方程，下面研究
6 3
1 1
所以-丄_y _丄且y =0 .
5 3
综上所述，所求函数的值域为一1,1•
IL 5 3
说明：本题就是利用方程思想研究函数值域的，也可以称这种方法为“判别法”
三、能力提升
能力闯关
2
1 .若函数y =x -2x - 3,x：= |0, a ]的值域是2, 3 ],那么实数a满足(
A. a =1
B. a _1
C. 1 _a_2
D. a = 2
2 .求下列函数的值域：
(1) y=x — 2_x ; (2) y=x2•卜寸4—x2.
fx2, x >1,
f ||
g x的值域是10, •:：,则g x的值
3 .设f x = g x是二次函数，若
i x, | x ：：： 1,
域是( ).
,-1】U 1.0 ,-
C. 0,::
拓展迁移
x +1
1 .已知 p 1，函数 f x =log
2 log 2 x -1 log 2 p-x
(1)求函数f x 的定义域: (2) 求函数f x 的值域.
2 .已知函数 f x =a x —2.4—a x -1 a 0, a=1 . (1) 求函数f x 的定义域、值域；
(2) 是否存在实数a ，使得函数f x 在区间2，•::上恒有f x _0 . 挑战极限 1
1 .已知函数f (x )=1 -一 .
x
(1)是否存在实数a , b a ：：b ，使得函数y = f x 的定义域和值域都是la , bl ，若存在, 求出a , b 的值；若不存在，说明理由；
(2 )若存在实数a , b a ：：： b ,使得函数y=f x 的定义域为la ,b],值域为 [ma, m b m0 .求实数 m 的取值范围.
课程小结
1•求函数的值域，关键是弄清函数的单调性，禾U 用函数的图象来观察单调性是常用方法.
2 •熟悉二次函数的图象与性质，会求二次函数在给定区间上的值域，并能将相关问题转化 为二次函数来解决.
3 •利用换元法求函数值域时，应该注意新产生“元”的取值范围.
4 .对于复合函数 y = f 旧x . |, x 三D ，我们一般使用换元法研究值域： (1 )令 u =g x ，则 y =f u ; (2)求函数u =g x , x ・D 的值域A ;
D . 11
21.函数的值域
基础达标
1 . ( 1) B . (2) 「』2, •：：.【解析】(1)函数y =2x , xG —. ,1 ］单调递增，利用图象,
不难看出y ・0,2 .( 2)函数定义域为1，•::，容易知道函数在定义域上单调递增，
x=1
(2 )方法一：
y =上挛二 TxJ _y ,：仮 > 0 , J _y > 0u _1 < y w 1 .
1 . x 1 y 1 y
.u 三 |1, •::，所以 y 三［0 , •:: . (2)函数 y 二：：16 -4x 的定义域为 -：：,2 I 令 u =16 —4x ，则 y = u ，": x 三 i , 2 ] , u ：= 0 , 16，故 y ：订0 , 4 .
r 5 2
1
1
1
⑶令t"2 5一2 一3x —6
12 ' 12，又七是被开方数，0 < t <匚.
2x, x > 1,
4.【解析】(1) y = x -1 ■ x ，1 = 2, -1 ：：:x ：：:1,
[2x, x w -1
时，y = .2，所以所求值域为
苗 + 2(1 )D.(2 )B 【解析】(
1)y=5：：1
X
=2「5y ，
方法
—1，换兀后得
-1 t > 0 .利用函数
2
y =-的图象
x
变换解决. 1 )令 u = 3x 1，则 y = log 2 u ，:" x R ,
2
1 . x
3. (1) A ; (2) C ; (3) ，即y 的值域为
如图，容易看出函数值域为9,二：.
■■ X
2 , x < 0,
（3）画出分段函数y 二1
的图象，容易看出函数值域为
_二，0 U 0,1 ]. 卜-，x >0
*
八
x
5 .【解析】(1 ) 令t=2x ,由1 < x < 2
,得2 < t < 4 , 所以
f X 的值域 1, 2 lo
g 23 ].
自主探究 定义域 值域 fl, +乂) (0,1】 (-°°, 1 ]
(q , 0 2 1 ,邑)
定义域 值域
fl, +丸) (_oo , _1 U (0 , +°0 )
(-°°, -1 ]
I-1,)
2.【解析】（1） y 二口 =1-一L .定义域：：x|x = -1?，值域:
对称中心： -1,1 .单调性：在 -：：,-1与-1,-二 均匀增函数. （2）描点画图如图， y =1_ 2 的图象由y=_2的图象向左平移
x+1 x
个单位得到.（3） f 4 =~ , Xr :时，f x r 1 .所以，y = _1 x 》4的值域为3 , 1 .
5 x +1 15 丿
（2）设g 1 x 二t ，则 t ：.订 1, 一1
4 -
2
，所以，y
=『—2t+5，丄卜,—宁 .最后可得a —b =7 .
4
K
-1L 11
2丿4」
•函数「t 在1.2, 4 ]是增函数数，所以当t = 4 , 即 x =2 • 「t 有最大值 Iog 2 12 =2 log 2 3，
当t =2，即x =1，:: t 有最小值，综上所述,
ty|y =1二 1个单位，再向上平移1
2
f X 二 t =lo
g 2 t -1 =log 2
所以y =ax b 的图象是由反比例函数
ex +d
ax b 3 .【解析】y 二 ex +d
令 k =a b _d
c \a c I a 丿里
a b d
a c a c
"c
d- x +
c
，则 y
二
ex +d c
k d x 亠一
c
得到（如果d
：：：0 ,
c 所以，y 二 _ l ac =0, ex +
d V -：：：0，则向相反方向平移相同幅度即可）
c a -b 的图象也是双曲线, c c 关于点 c
〈寸称，与直线x-
及直线y =a
无限靠近. c
1 4 •【解析】（1）①令x 二=1
x y 不能取值为1.
令x - =2，得X 2 -2x ・1 =0，解得 x x =1，所以当x =1时，y =2 .
3 _ 5 3 _ 5 x ，所以当x 2时，y=3. 1 2
令x 3，得x -3x ，1=0，解得 x 1 1 2 y = x 可到得k ，由x k 得关于x 方程x -kx • 1 = 0 . x x ②设
存在 x 使y =x -取值为k=方程x 2 -kx • 1 =0有实根， =.■:二k 2 -4 > 0，即k > 2或 x
1 -
2 .所以，y 二X ，—的所有取值的范围，即值域为 ，-2|_. 12, * ：：. x (2)由 y =ax b 得 ax 2 — yx b = 0 .，二 y 2
「4ab (其中 a 0)， x 丄b '
、
y =ax +-(a >0 , b A0 ) x y = ax +—(a >0, b <0 ) x
定义域 {x|x 式0}
值域 (-00
,
-2(ab lu ^''ab, +处)
R
当b ：：：0时，A 飞0恒成立，所以 y • R ，当b • 0 ,由厶》0得y > 2 ab 或y < -2』'ab .
y 二色图象向左平移-个单位，再向上平移
x c
a 个单位
c
奇偶性
T4 2-y 1-y > 4y 2 -12y 7 < 0二
即有二J_3《2=7 J 三j ，所以j 三y < j 且y".综上
2 2 2 2 2 2 2
最大值最小值 在（0 , +旳）上，当X = <a 时，最小值2JOb ； 无最大值，无最小值
在_：:, 0上，当x = 时，最大值-2 ab
单调性 一
二，
b ，+旳上单调递增， a
在_：: , 0与0 ,亠「］上 都是单调递增.
简图 在
,0 , 上单调递减.
0,
x _x
e —e 5.【解析】（1）方法一：y 二二 x e +e 2x e _1
2x 2x 严二 y e 1 =e * 2x
1 y e
1 —y
G 〕0, •：：,.要使上述关于变量 x 的方程有实数解，当且仅当 1 + x _x -― >0吕(y +1 [y —1 )C 0二 7 vy c 1 .所以函数 y = e x ；e 」的值域为(—1, 1). 2x 2x 方法二：y 二e^1 =e
2x =1-二・.换元得y -1-— t 0，再利用函数图象, e 1 e 1 e 1 t 1 (2)函数y =“ ^x 1定义域为R . x +1 2x 2 -x 1 y 2~\~ x +1
下面研究 2 2 2 uyx 1 =2x -x 1= 2-yx -x 1=0・ y 如何取值，才能保证上述关于变量 x 的方程有实数解. 右 y =2， 则 2 - y x 2 - x ■ 1 -y =0：= -x -1 =0：= x - -1，满足要求; 若 y-2, 则 2-yx 2-x ，1-y =0有解.
奇函数
当且仅当
所述：所求函数值域为 3 一2, 2" 2•
1 2 2」
6•【解析】此处利用基本初等函数y =3 —2t （其中t = r~X"）来求值域，但没有正确“基
本元” t的取值范围•正确解答如下：
：X2> 0，即-X2< 0 , . 0 < 1 —X2< 1 （被开方数为非负数），
.0 < ^X^< 1，二—2 < -2小—X2< 0 .二1 < 3—2j l—X2< 3 ,
.函数y =3 一2 1 —X2的值域为1, 3 ］
能力闯关
1.C.【解析】画出函数y=x2-2x+3的图象，容易看出使y^b, 3］的X取值范围应是［0, 2］的子集，所以定义域10 , a ］应满足1 < a < 2 .
2 .【解析】（1 ）令u = 2—x > 0 ,则x=2-『，于
即为所求值域.
一个二次函数，所以 u 的取值范围，也即 g x 的值域是一个连续的区间，所以当且仅当
时，f ||g x 二f u 的值域为［0, •：：,即g x 的值域为［0, •::.说明；本
题使用了换元法和图象法研究函数值域.
2
是 y 二 2「u u 二
1 9 .当时，畑“4，y 无最小值，故y
则 X"2 J ： 0 < t < 2
，•当 时，『max
f 9l
-I , -
即为所求值域，
4」
17
,当 t =2
时，y min
4
(2)令 t 4 •・x 2 , 亠」 17 I =2
•故y 2,
3. C.【解析】令u 二g X ，贝U f ||g X = f u ，画出其图象（如右图）
，因为u = g x 是
1, p 上单调减，g p t ::: g 1，即 0 ::: t ：：：2 p -2 ,所以 f x ::: 1 log 2 p -1 ,函数 f x 的值域为-：：,1log 2p-1 ;②当1三宁三叩即p > 3时,
l p >1
2
f p 勺、
即0 :::t w 4 ，所以f X w 2log2 p 1 -2 , 函数 f x 的值域为
■. , 2log 2 (p +1 -2 • 综上；当1 < p c3时.函数f (x )的值域为(_oo , 1+log 2(p-1))•当 p > 3时，函数f x 的值域为：[-匚?, 2log 2 p 1 -2 •
x
x
2 •【解析】(1)由 4 —a > 0 ,得 a w 4 .当 a 1 时，x w log a 4 ；当 0 ::: a ：：：1 时，x > log a 4 , 所以当a 1时，f x 的定义域为-：:,log 4；当0 ：：： a ：：1时，f x 的定义域为 jog 4 ,址
当t > 0时，g t 是关于t 的单调递减函数，所以 - 5二g 2 ::: gt 二f x w g 0 =3 , 所以函数f x 的
值域是 -5, 3 ]•
(2)若存在实数a 使得函数f x 在区间2,订3?恒有f x > 0 ,则区间2 ,亠「j 是函数 f x 定义域的子集，由(1)知，a 1不满足条件.
拓展迁移
1.【解析】(1) \ +1 0 Z7>0,
x>1 或 X C —1
『4
X >1 由x_1 o= x .1
=• ■ 又由已知p 1，所以函数的定义域
c !
x >p p —X >0
X £ p
I
为 1, p • (2) f x =log 2x1 p-x = log 2 || —x 2 亠〔p -1 x P 」•令
」；—口：
Lg(X) 2
4
，①当 p -1
2
p 1
：：1
即 1 ：：:
p ：：：3 时,
y
X 2 得 a x ::: a 2 .由于 0 ::: a 2 ::: 1，因此 t 二 4 -a x ... 3，故 f x ;=g t ::: t •. 3 - -2.. 3 ：：： 0 , 即f x > 0不成立，综上，满足条件的 a 不存在. 挑战极限
1.【解析】(1)不存在实数a , b 满足条件.
1
假设存在实数a , b ，使得y = f(x)=1—-的定义域和值域都是
b ］，而y > 0 , xH0 ,
x 所以应有a 0.
丄.1 P — 又 f x =〔 x
_1
x 1,
①当a , b • 0 ,时f x -1在0,1上为减函数,
x
于是a , b 是方程x 2 -x *1=0的根，但方程 x 2 -x 7=0无实根，所以此时实
数a , b 也不存在.③当a 三［0, 1 , b ：•也仏却时，显然，1 ：= l a , b 1,而f 1 =0 “ la,
b I ,
这不可能， 此时实数a , b 也不存在，综上可知，适合条件的实数 a , b 不存在.
(2)若存在实数a , b 使函数y = f x 的定义域为la , b I,值域为Ima , mblm = 0 .
若0 ：：：a ：::1，则f X 的定义域为 Iloga4^：：,应有 lOg a 4 仝 2,
0 ： a :：: 1
F 丞 4'= Ocacl
x ：： 0 或 x > 1 0 ：：： x :::
故有；：::,即宀,
a
1 齐1
由此可推得a=b 矛盾,
二 a
此时实数 b 不存在.
②当a , b 1,
亠•• j 时，
, 1 f (x )十
1 二1 -一在 1,
x f a =
1 1 a, a 1 1 b b
由mb ma , b a 得m b - a " 0= m 0 ,而ma 0 所以a 0 .
仿(1)可知，当a , b “ 0 , 1或a 三j 0 , 1 , b 三［1,亠「j 时，a , b 不存在，故只可能是 a ,
r-
I f a 二ma 亦
•::上是增函数，.
即 f(b)=mb
mx 2 —x • 1 =0的两个不等实根，且二实
根均大于等于
1,
・
1 f 1 -I
故m _1 1 > 0解之得0 ：：： m ：-,故实数m 的取值范围是I 0 , | 4 I 4
丿
1
1 2m
说明；通过分析函数值域的特点， 减少分类讨论次数， 这种通过全局研究局部的手法是一种 重要的解题策略.在本问题的解决中，使用了分类讨论思想，分类讨论可以使复杂问题简单 化，抽象问题具体化，应仔细体会这种数学思想的价值.
b 三 1,-::
1 - - = ma
a
1 1 mb b 1 1 )=1 一一 =1 一―在区间 1, f
x x 是a , b 是方程 f m 0
.：=1-4m .0。