根轨迹例题——精选推荐

根轨迹例题
题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。

（1）2(2)()23
g K K s W s s s +=++
解
1）起点：两个开环极点
1211p p -=-+-=--。

终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。

2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。

3）渐近线计算
由公式()
()11
18012 0,1,2,n m
j i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+=
=⎪-⎪⎪⎨-⎪
⎪-=-⎪-⎩
∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
180(12)
18021
μϕ+==-
22
021
k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得
223(2)(22)0s s s s ++-++=
整理得2
410s s ++=
解得12s =--
22s =-+。

由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应
为
12 3.7s =-≈-。

5）出射角计算
由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
∑∑
得
()
11809054.7144.7sc β=--=
同理，2144.7sc β=- 。

根轨迹如图4-1所示。

图4-1 题4-1(1) 根轨迹图
（2）)
22)(2()(2
+++=s s s s K s W g
K
解
1） 起点：系统四个开环极点为
12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；
终点：四个无限零点。

2） 渐近线计算
由公式()
()11
18012 0,1,2,n m
j i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+=
=⎪-⎪⎪⎨-⎪
⎪-=-⎪-⎩
∑∑
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
180(12)
451354
o μϕ+==±± 、
211
14
k σ+-=-
=-＋ 3） 分离点，会合点计算
'()()'()()0D s N s N s D s -=
整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算
由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
∑∑
得
()1180901354590sc β=-++=-
同理，290sc β=+ 。

5） 与虚轴的交点
系统的特征方程为4324640 g s s s s K ++++= 列写劳斯表，得
4 1 6 g s K
3 4 4s
2 5 g s K
14
45
g s K -
0 g s K
令1s 行为零，即4405
g K -=，得5g K =。

将5g K =代入2s 行，即2550 s s j =±得＋＝
即根轨迹与虚轴的交点为1,2 =s j ±，此时5g K =。

根轨迹如图4-2所示。

图4-2 题4-1（2）根轨迹图
（3）)
22)(3()2()(2++++=s s s s s K s W g K
解
1）起点：四个开环极点
12340,3,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+。

终点：系统有一个开环零点2z -=-。

2）实轴上根轨迹区间为(,3]-∞-，[]2-，0。

3）渐近线计算
()
18012=
60,18041
μϕ±+=±-
232
1 41
k σ-++-=-
=--
4）出射角计算
由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
∑∑
得
()11809013526.64526.6sc β=-++-=-
同理，226.6sc β=+ 。

5) 与虚轴交点 系统的特征方程为
43258(6)20 g g s s s K s K ++++=＋
列劳斯表，得
4 1 8 2g s K
3s 5 6g K +
()21
34 25
g g s K K -
- 150 634
g
g g K s K K ++
- 0 2K g s
107g s K ≈ 令行元素为，得。

求得根轨迹与虚轴的交点为1,2 1.61s j =±。

根轨迹如图4-3所示。

图4-3 题4-1（3）根轨迹图
（4）)
164)(1()1()(2
++-+=s s s s s K s W g K
解
1
）起点：四个开环极点12340 1 2p p p j -=-=-=-±，，，。

终点：系统有一个开环零点1 z -=-。

2）渐近线计算
()18012=
60,18041
12212
413
k μϕσ±+=±--++--=-=--
3）分离点、会合点计算
'()()'()()0D s N s N s D s -=
整理得
4323102124160s s s s +++-=
解得 123,42.26,0.45,0.76 2.16s s s j =-==-±
因为分离点与会合点分别在(,1]-∞-和[01]，区间内， 所以取10.45s =，2 2.22s =-。

1）
出射角计算
由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
∑∑
得
()()1180901806018049.118073.954.8sc β⎡⎤=-+-+---=-⎣⎦
同理 254.8sc β=。

2） 求根轨迹与虚轴的交点
系统特征方程为
432312(16)0g g s s s K s K +++-+=
列劳斯表，得
4 1 12 g s K 3 3 16g s K - 0
21
(52) 3g g s K K --
19
1652
g g g K s K K +-- 0
0 g s K
128320g g s K K +=令行为0，即-59
1235.723.3g g K K 得 ＝， ＝。

分别将其代入劳斯表第一列元素中，发
现不变号，所以全部保留。

将1235.723.3g g K K ＝， ＝分别代入辅助方程()21
5203
g g K s K --+=中，解得根轨迹与虚轴的交点为
1,213,42s 2.56(35.7)s 1.56 (23.3)g g j K j K =±=±＝＝
根轨迹如图4-4所示。

图4-4 题4-1（4）根轨迹图
（5）2
)125.0)(1()11.0()(+++=s s s s K s W g K
解
系统开环传递函数整理为
()()()
2
10 1.614()g K g K s W K K s s s s +=
=++，其中　
1）起点：四个开环极点1234014
p p p -=-=--=-，，，。

终点：系统有一个开环零点10 z -=-。

2) 实轴上的根轨迹为 ]([],10,1,0-∞--
3) 渐近线 180(12)
60,1803
o μϕ+=
=± 144101
413
k σ++--=-
=-
4）分离点计算 '()()'()()0D s N s N s D s -=
整理得 432
3582944801600s s s s ++++=
解得 123440.4512.48 2.41s s s s =-=-=-=-，，，。

因为根轨迹在实轴(4,1)--区间没有轨迹，所以4 2.41s =-（舍去）。

5）根轨迹与虚轴的交点 系统特征方程为
43292416(10)0g s s s s K s +++++=
将s j ω=代入上式，令等式两边实部与实部相等，虚部与虚部相等，得
23
22(16)80(24)100g g j j j K K ωωωωωω⎧--+=⎪⎨--+=⎪⎩
则根轨迹与虚轴的交点为 1,2 1.53s j =± 对应的根轨迹放大系数为 5 3.125g K K ≈=，即。

注：也可以用列劳斯表的方法求根轨迹与虚轴的交点及对应的g
K 值。

该系统的根轨迹如图4-5所示。

图4-5 题4-1（5）根轨迹图
题4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
)
22)(1()(2+++=
s s Ts s K
s W K
求当4=K 时，以T 为参变量的根轨迹。

解
当选择g K 为可变参量时，特征方程为()
1()10()
K g
N s W s K D s +=+=，式中，()K W s 为系统开环传递函数；()()N s D s 、分别为开环传递函数的分子、分母项。

当选择系统的其他参量为可变量时，可引入等效开环传递函数的概念，把系统的特征方程化为()10()
P s Q s α+=的形式，并以所选可变参量
α代替g K 的位置，得到等效开环传递函数()
()()
Keq P s W s Q s α
=。

1）求解特征方程
2
4
1()10(1)(22)
K W s s sT s s +=+
=+++ 将上式整理后，得
222(22)1
(22)4s s s s s s T ++=-
+++
即
222(22)()(2)(2)
K eq Ts s s W s s s ++=++ 2
）起点：系统有三个极点1,232p p -=±-=-。

终点：系统有四个零点为123,40, 0,1z z z j -=-=-=-±。

3）实轴上的根轨迹为（∞-，-2]。

4）渐近线计算 180(12)
18034
o μϕ+=
=- 22
034
k σ--=-
=- 5）分离点计算
由公式 '()()'()()0D s N s N s D s -=，得
222222(22)[2(2)(2)]
(2)(2)[2(22)(22)]0s s s s s s s s s s s s s +++++-++++++=
将上式整理后，得
5432(48242816)0s s s s s s ⋅+++++=
解得
123,45,60 3.150.32 2.280.740.64 s s s j s j ==-=±=-±，，，。

根据题意，实轴上的根轨迹不在()2-，0区间内，所以分离点为2 3.15s =-。

6）出射角与入射角计算
出射角计算 由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑
得
()118090arctan arctan 1arctan 11802 35.26sc β=-
⎡⎤⎛⎫+--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=- ））
同理，235.26sc β=+ 。

入射角计算 由111180n m sr j i j i αβα-===+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑
得
1180[180arctan 190arctan 145]9090459045180
sr α=++-++++-++++= ））（）
同理，2180sr α=- 。

根轨迹如图4-6所示。

图4-6 题4-2根轨迹图
题4-3 已知设系统开环传递函数为
)4)(2()
1()(2+++=s s s s K s W g K
试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。

解
起点：系统有四个开环极点1,2340,2,4p p p -=-=--=-。

终点：一个开环零点1z -=-。

（1）负反馈
1）实轴上根轨迹区间为 (,4] , [2,1]-∞---。

2）渐近线计算
180(12)60,180o n m
μϕ+==±- 241533
k σ+--=-=- 3）与虚轴交点
将s j ω=代入系统特征方程1()0K W s =＋，得
2()(2)(4)(1)0g j j j K j ωωωω++++=
由实部虚部分别相等，得4238060g g K K ωωωω⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
解得222 =612g K ωωω===
则根轨迹与虚轴的交点为
1,2=s ±对应的根轨迹放大系数为 12g K =。

根轨迹如图4-7所示。

图4-7 题4-3负反馈情况下的根轨迹图
（2）正反馈
1）实轴上 [-4，-2]，［-1,0］
2）渐近线计算
360120,0n m
μϕ==±- 241533
k σ+--=-=- 3）分离点计算
() 1 N s s =+
2()(2)(4)D s s s s =++
'() 1 N s =
2222'()(2)2(2)(4)(4)
=s (26)2(68)D s s s s s s s s s s s s =++++++++++
由'()()'()()0D s N s N s D s -=得
3222(41816)(1)(68)0s s s s s s s +++-++=
32(3162616)0s s s s +++=
得 1 3.1s ≈-,23,40 1.12,0.68s s j ==-±,
由于实轴上根轨迹的区间为[-4，-2]，［-1,0］，所以分离点取1 3.1s =-。

根轨迹如图4-8所示。

图4-8 题4-3正反馈情况下的根轨迹图。