2018版高中数学小问题集中营专题2.4由三角函数图象和性质求参数值范围20180109357

专题 2.4 由三角函数图象和性质求参数值（范围）
一、问题的提出
对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。

客观题 常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。

此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总 结几种常见做法。

． 二、问题的探源
函数
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图像
在Error!Error!(k ∈Z )
在[－π＋2k π， 2k π](k ∈Z )上单调 上单调递增；在
在Error!Error!(k ∈ 单调性
递增；在[2k π，π＋ Error!2k π(k ∈Z )上
Z )上单调递增
2k π](k ∈Z )上单调
单调递减
递减
函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
对称性
对称中心：(k π，0)(k π ∈Z )；对称轴：x ＝
2
对称中心： π
(
＋k π，0)
(k ∈Z )；
2
k π 对称中心：( ，0)
2 (k ∈Z ) ＋k π(k ∈Z )
对称轴：x ＝k π(k ∈Z )
三、问题的佐证
(一)利用奇偶性确定参数的值
π
π π 例 1（1）已知函数 f (x )＝2sin
(x ＋θ＋ 3)(θ ∈ [－
2
])是偶函数，则 θ 的值为( )
， 2
π π
π A ．0 B. C. D. 6 4 3 π
π
π π
π π 解：∵函数 f (x )为偶函数，∴θ＋ ＝k π＋ 2(k ∈Z )．又∵θ∈[
－
， 2]
，∴θ＋
＝ ， 3 2
3 2
π
解得 θ＝ ，经检验符合题意．故选 B .
6
π
（2）若函数 y ＝3c o s(2x － ＋φ)为奇函数，则|φ|的最小值为________．
3 π π
5π
π 解：依题意得，－ ＋φ＝k π＋ (k ∈Z )， φ＝k π＋ (k ∈Z )，因此|φ|的最小值是 . 3 2
6
6
π
故填.
6
1
【评注】若f(x) A sin( x ) 是奇函数，则 k （k Z），若是偶函数，则
k 2
（k Z）；
若f(x) A cos( x ) 是奇函数，则
（k Z），若是偶函数，则 k
k
2
（k Z）．
(二)利用单调性求参数的值．
例2．若函数f(x) cos 2x a sin x在区间
( , )
6 2
是减函数，则a的取值范围是.
解: 2 sin 2 cos 4 sin cos cos cos 4 sin .
,
f x x a x x x a x x x a x
6 2
时，f x 是减函数，又cos x 0，∴由f x 0得 4 sin x a 0, a 4 sin x在,
6 2
上恒成立，
a 4 sin x x, , a
2
min
6 2
．
(三)利用周期性和对称性求参数的值．
例3. 若函数 4cos 3 ( )
f x x x 对称，且当
的图象关于直线11
2 12
7
x, x , ,
1 2
12 12
x x时，f x f x ，则
f x x
（）1 2 1 2 1 2
A. 2 2
B. 2 2
C. 4
D. 2
【答案】A
2
5 5
从而
x x
, f x x 4cos
2 2. 1
2
1
2
6
2
4
本题选择 A 选项.
(四)利用三角函数的最值求参数的值．
例 4. 函 数
2sin 2 , cos 2 2 3( 0)
,对 任 意
f x
x g x m x m m
3
6
x 1 0,
4
,存 在
x 2 0, 4
,使 得 g x f x 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围
1 2 是
．
5
解：依题意可知 g x f x ，
2x
,
,2x
,
，故
3 3 6 6 6 3
f x
g x
m
1,2 , 3 ,3
3m
2
3m
3 1 m
4
，所以
，解得
2 1,
3
3 m 2
.
例5.已知函数f x sin x 3cos x( 0) ，若f x
，
f x ，
且
1 2 2 0 x x 的
1 2
3
最小值为 2 ，则
2
f
3
的值为（
）
A.
3 2
B . 1 2
C. 1
D.
1 2
【答案】C
∴ f
x 2
2sin 1
3 6 3
故选：C
四、问题的解决
1．若将函数 sin 3 ( )
y x
的图象
向右平移
2
2
4
个单位后得到的图象关于点
,0
对称，则 （ ）
3
A.
B.
4
4
C.
3
D.
3
【答案】A
4
2. 将函数 f x 2cos2x 的图像向右
平移
6
个单位后得到函数 g x 的图像，若函数 g
x
a
在区间 0， 上单调递增，则正数 a 的取值范围为（
）
3
A.
3 ， B.
4 8
， C.
6 2
， D. 0，
6 3
2
【答案】D
【解析】将函数 f （x ）=2cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g （x ）的图象，
6
得 g （x ）=2cos2（x ﹣ ）=2cos （2x ﹣ ），
6 3
由 2k 2x 2k ，得 k x k ，k Z ．
3 3 6
a
当 k=0时，函数的增区间为[
]，
， ]．要使函数 g （x ）在区间[0， 3 6 3
a
则 0＜ ，解得 a ∈ 0， ．故选 D ．
3 6 2
3. 若x为三角形中的最小内角，则函数y sin x cos x的值域是（）
A.
2
0,
2
B. 1, 2
C.
1 2
,
2 2
D.
1 2
,
2 2
【答案】B
5
4. 当
2 6
x x x
x f x 2sin cos 6cos 的最小值为
（）
， 时，函数
3 3
4 4 4 2
A. 2
B. 2
2 C.
1 D. 2
【答案】B
x x 2 x 6
f x 2sin cos 6cos
【解析】函数
4 4 4 2
=
2
2
s in
x
2
+
6
2
（1+cos
x
2
）
﹣
6
2
= 2 （
1
2
s in
x
2
+
3
2
c os
x
2
）
= 2 sin（
x
2
+
3
），
当
x ，
时，
3 3
x
2
+
3
∈[
6
，
2
]，
∴sin（
x
2
+
3
）∈[
1
2
，
1]；∴
函数
f
（x）
= 2
sin（
x
2
﹣
3
）
的
最
小
值
为
2
2
．故选：
B．
5. 已知函数f
x a sin x
x
，且
3cos x的一条对称轴为
f x1 f
x2
4,则
1
2
4
6
x x的最小值为（）1 2
A.
3
B.
2
C.
2
3
D.
3
4
【答案】C
6
本题选择C选项.
1 1
f x 3 sin x cos x，则下列说法正确的是
（）6. 已知函数
2 2
A. 函数f x 的最小正周期为4
B. 函数f x 的对称轴为x k （k Z）
C. ，f x
x R
0 2
D. 函数f x 在5 3
，上单调递增
2
【答案】B
【解析】A：最小正周期为2 ，
1 1 1 1
f x 2 3 sin x 2 cos x 2 3 sin x cos x f x，错误；
2 2 2 2
B：正确；
1 1 1 1 1
C：当，错误；
sin 0, cos 0
x x 时，
f x 3sin x cos x 2sin x 2
2 2 2 2 2 6
7
D ：当
5
x ,3 2
时，
x 5 3 , 2 4 2
x x
，
， sin 0, cos 0 2 2 1 1 1
f x 3sin x cos x 2sin
x
所以
2 2 2 6
，此时
1 17 5
x , 2 6 12 3
，不单调， 错误。

故选 B 。

在区间
, 2
x
x
7. 已知函数
4sin
cos
0 f x
2 2
2 3
上是增函数，且在区间
0, 上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（
）
A. 0,1
B. 0,
3
4 C . 1, D.
1 , 3
2 4
【答案】D
8. 若是函数的零点，是函数的对称轴，在区
间上单调，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是函数的零点，是函数的对称轴，
所以，即, ，即，即为正偶数.
因为在区间上单调，则，即. .
8
当时，，得，, ，
所以，，，时，，其中，，即
在区间上不单调；
当时，，得，, ，
所以，，，时，，满足在区间上不单调. 故的最大值是14.
故选A.
f x＝sin x＋－cos x ＞．若函数f x 的图象关于直线x
2 对9. 已知函数 0
6
称，且在区间,
4 4
上具有单调性，则 的取值集合为( )
A. 1 5 4
, ,
3 6 3
B.
1 4
,
3 3
C.
4 6
,
3 5
D.
1 5
11
, ,
3 12
12
【答案】A
f x x x
【解析】函数 sin cos
6
化简得:
f x sin x cos cos x sin cos x sin x cos x sin x
3 1
6 6 2 2 6
f x 的图象关于直线x 2 对称
2 k ，k Z
6 2
则
k
2
2
3
9
故答案选A
10. 函数f x cos2x 2sin x x R 的值域为____________.
3
【答案】
3,
2
2
f x cos x sinx sin x x x
2 2 1 2 sin 2 sin
2 1 3
【解析】
2 2
由于 1 sin x 1
当sin x 1 时，f x 有最大值3
2 2
当sin x 1时，f x 有最小值 3
10
故函数 f x cos 2x 2sinx x R 的值域为 3, 3
2 11. 若函数 f x sin x ( 0
)
， 的图象相邻的两个对称中心为 5 0
， ，
2 6
， ，将 f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 1 0 6 2
，得到 g x 的图象，则 g x __________．
【答案】sin 2 x
6
2
3 f x 3 sinxcosx cos x
． 12. 已知函数
2
（1）当 x ,
6 3
时，求函数 y f x 的值
域；
x
，若函数 g x 在区间 2 ,
上是增函数，
（2）已知 0 ，函数
g x f
2 12
3 6
求 的最大值．
3 1 cos 2 3
x
【解析】（1）∵
f x sin 2x sin 2x
2
2 2 2 6
．．．．．．．．．．．．．2分
∵x ,
6 3 5
，∴
2x,
6 6 6
1
，∴，．．．．．．．．．．．．．4分
sin 2x 1
2 6
∴函数y f x 的值域为
3 ,3
2
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
11
13. 已知函数( ) 3 sin cos cos2 1
f x x x x （ 0 ），其最小正
周期为
2 2
．
（1）求f(x) 在区间,
8 4
上的减区间；
（2）将函数f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象
向右平移
4
个单位，得到函数g(x) 的图象，若关于x的方程g(x) k 0 在区间0,
2
上有
且只有一个实数根，求实数k的取值范围．
【解析】（1）f(x) 3 sin x cos x cos2 x 1 3 sin 2 cos 2 1 1
x
x
2 2 2 2
sin(2 x ) ，
6
因为f(x) 的最小正周期为
2
即f(x) sin(4x ) ，
6
2
，所以
2
4 ，
T
因为x ,
8 4
7
，所以
4 ,
x
6 3 6
12
7 当
4x 2 6 6
时，即
x 12 4 时， f (x ) 为减函数，
所以 f (x ) 的减区间为 ,
12 4
．
2
3
14. 已知函数
f x 3 sin x cos x cos x .
2 （1）当
x
， 时，求函数 y f x 的值域；
6 3
x
2
（2）已知 0 ，函数
g x f ，若函数 g x 在区间 ， 上是增函数，求
2 12
3 6 的最大值．
3
1 cos 2x 3
【解析】（1）
f x sin 2x
sin 2x
．
2
2 2 2 6
∵
x ， ，
∴2x
6 3
5 1
，，∴sin 2x 1
．
6 6 6 2 6
3
∴函数y f x 的值域为
，3
2
x
（2） sin
2
g x f x
2 12 3
，
当
2 2
x ， ，
x，，
3 6 3 3 3 6
3
13
2
∵g x 在
，上是增函数，且 0 ，
3 6
2
2k 2k k Z
∴，，，．
3 3 6 3 2 2
2
2k
3 3 2
即
2k
6 3 2
5
3k
，化简得
4
1
12k
，
∵ 0 ，∴ 1 5
，k Z ，∴k 0 ，解得 1，因此， 的最大值为1 ，
k
12 12
15.函数f(x) sin( x )( 0,| | )
在它的某一个周期内的单调减区间是[5 ,11 ]
．
2 12 12 （1）求f(x) 的解析式；
1 （2）将y f(x) 的图象先向右平移
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍
6 2
3
（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g(x) ，若对于任意的x [ , ]，不等式
8 8
| g(x) m| 1恒成立，求实数m的取值范围．
14。