上海市复旦大学附属中学高三上第一次月考数学试题(无答案).doc

2019-2019学年度第一学期第一次综合测试试题卷
高三数学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）
1.___________________________________________________________ 已知全集U = R, A={X|X2-3X<O}B=&|X>2},则人门：3= ______________________________ .
2.在复数集内方程/ + 2乂 + 2 = 0的解为 _______ ■
3.方程lg（5 ・ 2X-5）=lg（4* — 1）的解是“ __ •
4.已知AB为抛物线x2=y的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是y = -x + 3,则弦AB所在直
线的方程是 _________ •
5.函数丁 =』茴的递增区间是__________ .
6.设a、bw R*,贝!] lim ~— = .
”—8（a + b）"
7.已知函数/（x）-log2（4r+l）+fcc是偶函数则实数k的值是_________ .
&正方体的体对角线与面对角线所成的角a的集合是_____________ •
9.某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的
概率是 _______ （用分数作答）•
10.观察下列等式：
照此规律，第n个等式可以为 ___________ •
11 .已知二次函数y = /（%）的图像为开口向下的抛物线，且对任意x e R都有：
/（1 -x） = /（1 + x）,若向# a = （y/m, — 1^ =（4m, — 2j 则满足不等式的实数m
取值范围为 _________ •
12.某班共有50名学生，已知以下信息:
x>0 x<0 D.无反函16.定义“正对ln + x = O,OV 兀 VI lnx, ，现有四个C.有反函数f~\x) = < ":十°
2,
①男生共有33人；②女团员共有7人；③住校的女生共有9人；④不住校的团员共有6人； ⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人；⑦女生中非团员且不住校 的共有3人。

根据以上信息，该班住校生共有 ______ 人.
二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)
13.设集合A = 集合5 = {X ||X -2|>1},且BqA,,刚实数a 的取值围=范围是
A. tz < 1
B. tz < 3
C. 1 < a < 3
D. > 3
14. 条件甲：函数/(兀)满足4^ = 1；条件乙：函数于⑴是偶函数，则甲是乙的
/W
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
15. 关于函数/(x) = x|x| + 4x(x G R)的反函数，正确的是
A.有反函数广匕)=］代^ + 2, 2°
4 —兀一2,兀VO
①若 a >0, b >0,则 ln+ (ab) = ln +a + ln + b ；B.有反函数/_1(x) = x>0 x<0
③若a>0, b>0,贝ij
ln+
a
~
b
>ln+o-
ln+Z?
C.③
D.②③
②若a>0, b>0,则ln+a b = bin^a
④若a>0, b>0,则ln+(a + b)< ln+t7 + ln+ Z? + ln+ 2
则所有真命题的序号为
A.①②③
B.①②④
三、解答题(本大题满分76分)
17.(本题满分14分)
己知集合P tl - \x\ 2Z, <x<2,,+1且A： = 7"? + 3, m, n w N*}.
(1)用列举法写出集合马;
⑵是否存在自然数"，使得2019 wP”，若存在，求岀"的值，并写岀此时集合P的元素个数;
若不存在,请说明理由。

18.(本题满分14分)
*2
设函数y = /(x)是由曲线C:--y2 = l(.ry > 0)确定的。

⑴写出函数= /(%)，并判断该函数的奇偶性；
(2)求函数y = /(x)的单调区间并证明其单调性.
19.(本题满分14分)
中国古代建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人以美的享受。

如图,左图为一古式窗户，
右图为是这扇窗中的一格，呈长方形，长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)是用一
种条形木料做成的，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴对称。

若菱形的两条对角线长分别为m 和ycm, —格窗芯所需条形木料的长度之和为Zcm.
⑴试用x、y表示L；
(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,且每个萎形的面积为130CH?,那么要做这样一 格中的窗芯至少需要多长的条木料(不计卯樺及其他损耗)？
20. (本题满分16分)
定义在R 上的奇函数/(x)的最小正周期为4,当血(0,2］时，=
4+1
⑴判断并证明/(X )在(0,2)上的单调性，并求/(X )在［-2,2］上的解析式;
⑵当2为何值时，关于x 的方程/(x) = 2在［2,6］上有实数解?
21. (本题满分18分)
(1)分别求/(X )、g(0的定义域，并求/(x)g(x)的值; ⑵求/(X )的最小值并说明理由;
(3) 若a = Jx? +x + l, b = t4x, c = x + l,,是否存在正数使得对于任意的x>0,以 a 、b 、c 为边长都可以构成三角形,若存在，求出符合条件的正数/的取值范围；若不存在, 请说明理由。

已知 /(.x) = 4x。