第一部分n维向量教学课件
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1 5 7
r2
~
r1
r3 r1
11 00 10
00 22 55
22 22 75
5 r3 2 r2
~
1 0 0
0 2 0
2 2
，
0
可R 见 (1,2,3)2，向1量 ,2,组 3线性相 R(1,2)2,向量 1,组 2线性. 无关
例已 3 知1向 ,2,3量 线组 性 ,b 1 无 12 关 ,
b11
（c1,c2, ,cn)（ 1,2, ,s)b21
b12
b22
b b1 2n n
bs1 ks2 ksn
同时C的 ，行向量B组 的能 行由 向量组,线 A 性 为这一表示的 ：系数矩阵
1T 2T mT
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1s a2s
12TT
amssT
四、小结
１．n维向量的概念，实向量、复向量；
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３． 向量空间： 解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念； ４． 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用．
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
关.反言之，若B线 向性 量相 组 ,则关向量 A也 组线 性相.关
（3） m个n维向量组成的当向维量 n数 小 组， 于向量m个 时数 一定线.性相关
(4设 ) 向量 A:1组 ,2,,m线性无 ,而关 向量 组B:1,,m,b线性相 ,则 向 关量 b必能由向
A线性表 ,且示 表示式是 . 唯一的
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
（2）设
a1j
j a2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
(j 1,2,,m),
即j添 上 一 个 分 量bj后 .若得 向向 量A量 ： 组 1,2, ,m线 性 无 ,则关向 量 B： b组 1,b2,,bm也 线 性 无
第一部分n维向量教学课件
n 一、 维向量的概念
定义1 n个有次序 a1,a的 2,,数 an所组成的 组称n维 为向量n个 ，数 这称为该 n个向 分量 量 第i个a数 i称为i个 第分. 量
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
线性.相关
3向 . 量组只包含 时 ,若 一 个 0则 向说 量 线性,相 若 关 0,则说 线性无 . 关
4包 . 含零向量的 组任 是何 线向 性量 .相
5.对于含有两个向量 量组 的 ,它向线性相关的 充要条件是两向量 量对 的应 分成比例，义 几何 是两向量共线；量 三相 个关 向的几何意向 义是 量共面 .
解析几何
空间
(n3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象： 向量空
系
间中的平面
( x ,y ,z ) a b x c y d z r ( x ,y , z ) T a b x c y d z
P(x,y,z)
一一对应
定义３ 给定向 A:量 1,2组 , ,m,如果存在
全为零 k1,k的 2, 数 ,km使
k11k22 kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2, ,n线性,无 则关 只有 1n0时 ,才有
1122 nn0成立 .
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就
b223,b331,试b 1,证 b2,b3线性 . 无
证 设x有 1,x2,x3使 x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
第二节 向量组的线性相关性
扬州大学数学科学学院
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例A如矩 aaa121 11A 阵 aaa122(22ai )jm n有 aaa12j jn j 个 m 维 aaa12nnn列向量 am1 am2 amj amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个 n维列向量所组 组 1,成 2, ,的 m, 向
构成m 一 n矩 个阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T ,2T ,mT ,
构成一个m n矩阵
对方程组A的各个方程做线性运所算得到的 一个方程就称为方程A组的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程A组的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就这称两个方程组等价，等 价的方程组一定同.解
二、线性相关性的概念
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（
1
,
2
,
,
m
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
（ b 1 ,b 2 , ,b s) （1,2,,m)k21
k12 k22
k1s k2s
km1 km2 kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
若Cmn AmsBsn，则矩 C的 阵列向量组能 矩阵 A的列向量组线B性 为表 这示 一， 表示的 矩阵：
结论 向量A组 线性相关就是方 齐程 次组 线性 x11 x22 xmm0,即 Ax0
有非零 .其 解中 A(1,2,m).
定理2 向量组 1,2,,m线性相关的充分必 条件是它所构矩成阵的 A (1,2,,m)的秩小
于向量个m数 ;向量组线性无关必 的要 充条 分件是 R(A)m.
证明 （略）
下面举例说明定理的应用.
证明 （1） 记A(a1,,am),B(a1,,am,am1)，有 R(B)R(A)1.若向量 A线组性相 ,则关 根据定 2，有 R(A)m，从R(而 B)R(A)1m1,因此 , 根据定 2知理 向量 B线组性相 . 关
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
由于此方程组的系数 列行 式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量 b1,b2,b3线性 . 无关
定理3 (1若 )向量 A： 组 1,2, ,m线性,则 相 向量 B: 组 1, ,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
因 1 ,2 , ,m 1 , 1 这 m个数不全为0，
故 1, 2, , m 线性相关.
必要性 设 1, 2, , m 线性相关，
则有不全为0的数 k 1 ,k 2, ,k m ,使
k 1 1 k 2 2 k m m 0 .
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
类似，A 若 经矩 初阵 等列B变 ，A 换 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
三、向量空间
向量
解析几何
(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 a T (a 1 ,a 2 , ,a n )
B
T 2
m
T
线性方程组的向量表示
a11x1a12x2a1nxn b1, a21x1a22x2a2nxn b2, am1x1am2x2amnxn bm.
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定A 向 :1, 量 2, ,组 m ，对于任
若B组中的每个向量向 都量 能组 A由 线性表示， 称向量组B能由向量组A线性表示 .若向量A组 与向 量组B能相互线性表示这 ，两 则向个 称量组等价．
若记 A（1,2,,m)和B（b1,b2,,bs).B
能由 A线性表示，即对量每 bj(个 j 1向 ,2,,s)存 在 数 k1j ,k2j ,kmj,使
因 k 1,k 2, ,k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
例２ 已知
1
0
2
1 1，2 2，3 4，
1Байду номын сангаас
5
7
试讨 论 1 ， 2 ， 向 3 及 量 1 ， 2 的 组线.性
解 分析
对矩阵1（ ，2，3），施行初等行变 成行阶梯形,可 矩同 阵时看出矩 1， 阵 2， （3） 及（ 1，2）的秩，利用 2即定可理得出.结论
1 0 2
(1,2,3) 1 2 4
三、线性相关性的判定 定理 向量组1,2, , （m 当 m2时）线性相关
的充分必要条件是 1, 2, , m 中至少有一个向 量可由其余 m1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a 1,a 2, ,a m 中有一个向量（比如 a m ）
能由其余向量线性表示. 即有 a m 1 1 2 2 m 1 m 1
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22 xmmb
有.解
定理1 向量 b能由向量 A线组性表示的充分
条件是矩 A阵 (1，2， ,m)的秩等于矩阵 B(1，2， ,m,b)的秩 .
定义２ 设有两个向量组
A: 1,2,,m及B: 1,2,,s.
组实 k1， k数 2， ,km ， 向量
k11k22kmm
称为向量线组 性组的 合， 一 k1 ， k 个 2 ， ,km 称为 个线性.组合的系数
给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
向 a 1,量 a 2 , ,a n 称 组A 为 的矩 列 .
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1
ai2
a in
T i
a m 1 a m 2 a mn
r(x,y,z)T
n3时，n维向量没有直观的几何形象．
R n x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R
叫做 n维向量空间．
x ( x 1 , x 2 , , x n ) T a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
叫做 n维向量空间 R n中的n1维超平面．
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角
()
机翼的转角
( 2 2)
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a (x ,y ,z ,, ,)
课堂讨论
在日常工作、学习和生活中，有许多问题都 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．
例１ n 维向量组
e 1 1 , 0 , , 0 T , e 2 0 , 1 , , 0 T , ， e n 0 , 0 , , 1 T
称为 n维单位坐标 ,讨向 论量 其组 线性 . 相
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 E(e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 由 阵E 1 0 ， R (E ) 知 n . 即R(E)等于向量组中 ，向 故量 由2知 个 定此 数 理 向量组是线. 性无关的
r2
~
r1
r3 r1
11 00 10
00 22 55
22 22 75
5 r3 2 r2
~
1 0 0
0 2 0
2 2
，
0
可R 见 (1,2,3)2，向1量 ,2,组 3线性相 R(1,2)2,向量 1,组 2线性. 无关
例已 3 知1向 ,2,3量 线组 性 ,b 1 无 12 关 ,
b11
（c1,c2, ,cn)（ 1,2, ,s)b21
b12
b22
b b1 2n n
bs1 ks2 ksn
同时C的 ，行向量B组 的能 行由 向量组,线 A 性 为这一表示的 ：系数矩阵
1T 2T mT
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1s a2s
12TT
amssT
四、小结
１．n维向量的概念，实向量、复向量；
２．向量的表示方法：行向量与列向量；
３． 向量空间： 解析几何与线性代数中向量的联系与区别、
向量空间的概念； ４． 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用．
思考题
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成 绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一 个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多 举几例,说明向量的实际应用．
关.反言之，若B线 向性 量相 组 ,则关向量 A也 组线 性相.关
（3） m个n维向量组成的当向维量 n数 小 组， 于向量m个 时数 一定线.性相关
(4设 ) 向量 A:1组 ,2,,m线性无 ,而关 向量 组B:1,,m,b线性相 ,则 向 关量 b必能由向
A线性表 ,且示 表示式是 . 唯一的
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
（2）设
a1j
j a2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
(j 1,2,,m),
即j添 上 一 个 分 量bj后 .若得 向向 量A量 ： 组 1,2, ,m线 性 无 ,则关向 量 B： b组 1,b2,,bm也 线 性 无
第一部分n维向量教学课件
n 一、 维向量的概念
定义1 n个有次序 a1,a的 2,,数 an所组成的 组称n维 为向量n个 ，数 这称为该 n个向 分量 量 第i个a数 i称为i个 第分. 量
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
线性.相关
3向 . 量组只包含 时 ,若 一 个 0则 向说 量 线性,相 若 关 0,则说 线性无 . 关
4包 . 含零向量的 组任 是何 线向 性量 .相
5.对于含有两个向量 量组 的 ,它向线性相关的 充要条件是两向量 量对 的应 分成比例，义 几何 是两向量共线；量 三相 个关 向的几何意向 义是 量共面 .
解析几何
空间
(n3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象： 向量空
系
间中的平面
( x ,y ,z ) a b x c y d z r ( x ,y , z ) T a b x c y d z
P(x,y,z)
一一对应
定义３ 给定向 A:量 1,2组 , ,m,如果存在
全为零 k1,k的 2, 数 ,km使
k11k22 kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2, ,n线性,无 则关 只有 1n0时 ,才有
1122 nn0成立 .
2对 . 于任一 ,不向 是 性 量 线 无 组 关就
b223,b331,试b 1,证 b2,b3线性 . 无
证 设x有 1,x2,x3使 x1b1x2b2x3b30
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
思考题解答
答 36维的．如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加．
第二节 向量组的线性相关性
扬州大学数学科学学院
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例A如矩 aaa121 11A 阵 aaa122(22ai )jm n有 aaa12j jn j 个 m 维 aaa12nnn列向量 am1 am2 amj amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个 n维列向量所组 组 1,成 2, ,的 m, 向
构成m 一 n矩 个阵
A (1 ,2 , ,m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组1T ,2T ,mT ,
构成一个m n矩阵
对方程组A的各个方程做线性运所算得到的 一个方程就称为方程A组的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程A组的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就这称两个方程组等价，等 价的方程组一定同.解
二、线性相关性的概念
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（
1
,
2
,
,
m
)
k2
j
,
kmj
从而
k11
（ b 1 ,b 2 , ,b s) （1,2,,m)k21
k12 k22
k1s k2s
km1 km2 kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
若Cmn AmsBsn，则矩 C的 阵列向量组能 矩阵 A的列向量组线B性 为表 这示 一， 表示的 矩阵：
结论 向量A组 线性相关就是方 齐程 次组 线性 x11 x22 xmm0,即 Ax0
有非零 .其 解中 A(1,2,m).
定理2 向量组 1,2,,m线性相关的充分必 条件是它所构矩成阵的 A (1,2,,m)的秩小
于向量个m数 ;向量组线性无关必 的要 充条 分件是 R(A)m.
证明 （略）
下面举例说明定理的应用.
证明 （1） 记A(a1,,am),B(a1,,am,am1)，有 R(B)R(A)1.若向量 A线组性相 ,则关 根据定 2，有 R(A)m，从R(而 B)R(A)1m1,因此 , 根据定 2知理 向量 B线组性相 . 关
因1，2，3线性无关，故有
x1 x3 0, x1 x2 0,
x 2 x 3 0.
由于此方程组的系数 列行 式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量 b1,b2,b3线性 . 无关
定理3 (1若 )向量 A： 组 1,2, ,m线性,则 相 向量 B: 组 1, ,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
故
1 1 2 2 m 1 m 1 1 a m 0
因 1 ,2 , ,m 1 , 1 这 m个数不全为0，
故 1, 2, , m 线性相关.
必要性 设 1, 2, , m 线性相关，
则有不全为0的数 k 1 ,k 2, ,k m ,使
k 1 1 k 2 2 k m m 0 .
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
类似，A 若 经矩 初阵 等列B变 ，A 换 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
三、向量空间
向量
解析几何
(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 a T (a 1 ,a 2 , ,a n )
B
T 2
m
T
线性方程组的向量表示
a11x1a12x2a1nxn b1, a21x1a22x2a2nxn b2, am1x1am2x2amnxn bm.
a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定A 向 :1, 量 2, ,组 m ，对于任
若B组中的每个向量向 都量 能组 A由 线性表示， 称向量组B能由向量组A线性表示 .若向量A组 与向 量组B能相互线性表示这 ，两 则向个 称量组等价．
若记 A（1,2,,m)和B（b1,b2,,bs).B
能由 A线性表示，即对量每 bj(个 j 1向 ,2,,s)存 在 数 k1j ,k2j ,kmj,使
因 k 1,k 2, ,k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
例２ 已知
1
0
2
1 1，2 2，3 4，
1Байду номын сангаас
5
7
试讨 论 1 ， 2 ， 向 3 及 量 1 ， 2 的 组线.性
解 分析
对矩阵1（ ，2，3），施行初等行变 成行阶梯形,可 矩同 阵时看出矩 1， 阵 2， （3） 及（ 1，2）的秩，利用 2即定可理得出.结论
1 0 2
(1,2,3) 1 2 4
三、线性相关性的判定 定理 向量组1,2, , （m 当 m2时）线性相关
的充分必要条件是 1, 2, , m 中至少有一个向 量可由其余 m1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a 1,a 2, ,a m 中有一个向量（比如 a m ）
能由其余向量线性表示. 即有 a m 1 1 2 2 m 1 m 1
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
即线性方程组
x11x22 xmmb
有.解
定理1 向量 b能由向量 A线组性表示的充分
条件是矩 A阵 (1，2， ,m)的秩等于矩阵 B(1，2， ,m,b)的秩 .
定义２ 设有两个向量组
A: 1,2,,m及B: 1,2,,s.
组实 k1， k数 2， ,km ， 向量
k11k22kmm
称为向量线组 性组的 合， 一 k1 ， k 个 2 ， ,km 称为 个线性.组合的系数
给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
向 a 1,量 a 2 , ,a n 称 组A 为 的矩 列 .
类,似 矩 A 地 阵 (a i)jm n 又 m 个 有 n 维行
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a2n
T 1
T 2
A a i1
ai2
a in
T i
a m 1 a m 2 a mn
r(x,y,z)T
n3时，n维向量没有直观的几何形象．
R n x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R
叫做 n维向量空间．
x ( x 1 , x 2 , , x n ) T a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n b
叫做 n维向量空间 R n中的n1维超平面．
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角
()
机翼的转角
( 2 2)
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a (x ,y ,z ,, ,)
课堂讨论
在日常工作、学习和生活中，有许多问题都 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．
例１ n 维向量组
e 1 1 , 0 , , 0 T , e 2 0 , 1 , , 0 T , ， e n 0 , 0 , , 1 T
称为 n维单位坐标 ,讨向 论量 其组 线性 . 相
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 E(e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 由 阵E 1 0 ， R (E ) 知 n . 即R(E)等于向量组中 ，向 故量 由2知 个 定此 数 理 向量组是线. 性无关的