(福建专用)2014版高中数学 第二节 参数方程课时提升作业 新人教A版选修4-4

【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学 第二节 参数方程课时提升作业
新人教A 版选修4-4
1.过点
P(,0)作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点M,N,求|PM|·|PN|的最小值及相应的α的值.
2.(2013·三明模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合.
圆C 的参数方程为x 12cos ,y 12sin =+α⎧⎨=-+α⎩
(α为参数),点Q 的极坐标为
(74π). (1)化圆C 的参数方程为极坐标方程.
(2)若点P 是圆C 上的任意一点,求P,Q 两点距离的最小值.
3.若动点(x,y)在曲线22
2x y 4b +=1(b>0)上变化,求z=x2+2y 的最大值和最小值.
4.(云南师大附中模拟)在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点
M 的极坐标为(4π，),曲线C
的参数方程为x 1,y ⎧=+α⎪⎨=α⎪⎩ (α为参数).
(1)求直线OM 的直角坐标方程.
(2)求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值.
5.(2013·太原模拟)已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角α=6π
,
(1)写出直线l 的参数方程.
(2)设l 与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P 到A,B 两点的距离之积.
6.(2013·银川模拟)已知某圆的极坐标方程是ρ2-
cos(θ-4π
)+6=0,
求:(1)圆的普通方程和一个参数方程.
(2)圆上所有点(x,y)中xy 的最大值和最小值.
7.(2013·开封模拟)平面直角坐标系中,将曲线x 2cos 2,y sin =α+⎧⎨=α⎩(α为参数)上的每一点的横坐标不变,纵坐标
变为原来的2倍得到曲线C1,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程.
(2)求C1和C2的公共弦的垂直平分线的极坐标方程.
8.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C1:x2+y2=1,将C1
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍后得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:
ρ(2cos θ-sin θ)=6.
(1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.
(2)在曲线C2上求一点P,使点P 到直线l 的距离最大,并求出此最大值.
9.(2013·河北五校联考)在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为x acos ,y bsin =ϕ⎧⎨=ϕ⎩
(a>b>0,φ为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线C1上的点
对应的参数φ=3π,射线θ=4π与曲线C2交于点
4π
).
(1)求曲线C1,C2的方程.
(2)已知A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+2π)是曲线C1上的两点,求221
211+ρρ的值. 10.(2012·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是C1: x 2cos ,y 3sin =ϕ⎧⎨=ϕ⎩
(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在C2上,且A,B,C,D
依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2, 3π
).
(1)求点A,B,C,D 的直角坐标.
(2)设P 为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
答案解析
1.
【解析】设直线的参数方程为x tcos ,y tsin ⎧=+α⎪⎨⎪=α⎩(t 为参数),代入曲线方程x2+2y2=1,整理得
(1+sin2α
cos α)t+3
2=0,
则|PM|·|PN|=|t1t2|=23
21sin +α,
所以当sin2α=1,即α=2π时,|PM|·|PN|的最小值为34,此时α=2π
.
2.【解析】(1)圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,
展开得x2+y2-2x+2y-2=0,
化为极坐标方程为ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-2=0.
(2)点Q 的直角坐标为(2,-2),且点Q 在圆C 内,
因为
所以P,Q 两点距离的最小值为
3.【解析】由于点(x,y)在曲线22
2x y 4b +=1(b>0)上变化,故设x 2cos y bsin =θ⎧⎨=θ⎩
(θ为参数), ∴x2+2y=(2cos θ)2+2bsin θ
=4cos2θ+2bsin θ
=-4sin2θ+2bsin θ+4
=-4(sin θ-b 4)2+
2b 16
4+. 由于-1≤sin θ≤1,b>0, 当b
4>1,即b>4时,zmax=2b,zmin=-2b;
当0<b 4≤1,即0<b ≤4时,zmax=
2b 16
4+,zmin=-2b. 综上所述,zmax=2b 16,0b 4,42b, b 4,⎧+<≤⎪⎨⎪>⎩
zmin=-2b(b>0).
4.【解析】(1)由点M 的极坐标为(
4π，),得点M 的直角坐标为(4,4), 所以直线OM 的直角坐标方程为y=x.
(2)由曲线C
的参数方程x 1,y ⎧=α⎪⎨=α⎪⎩(α为参数),
化成普通方程为:(x-1)2+y2=2,
圆心为A(1,0),半径为
由于点M 在曲线C 外,
故点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为
5.【解析】(1)直线的参数方程为x 1tcos ,6y 1tsin 6π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩
，(t 为参数)
即x 11y 1t.2⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)
(2)
把直线的参数方程x 1t,1y 1t 2⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入x2+y2=4得
(1+t)2+(1+12
∴t1t2=-2,则点P 到A,B 两点的距离之积为2.
6.【解析】(1)由ρ
cos(θ-4π
)+6=0,得
ρ
ρcos
θ·2+ρsin
θ·2)+6=0,
∴x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.
参数方程为x 2,y 2.⎧=+θ⎪⎨=+θ⎪
⎩(θ为参数)
θ
θ)
θ+cos θ)+2sin θcos θ
令sin θ+cos θ=t ∈
得
2sin θcos θ=t2-1,
∴当
,(xy)min=1,
当
,(xy)max=9.
7.【解析】(1)横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到
x 2cos 2,y 2sin =α+⎧⎨=α⎩(α为参数),化为普通方程为C1:(x-2)2+y2=4.
又C2为ρ=4sin θ,即ρ2=4ρsin θ,得x2+y2=4y.
(2)由(x-2)2+y2=4,x2+y2=4y 相减得x-y=0,
故两圆的公共弦的垂直平分线的斜率为k=-1.
又C1(2,0),C2(0,2),故C1C2的中点坐标为(1,1).
∴两圆的公共弦的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),∴x+y=2,
将其上式化为极坐标方程为ρsin(θ+4π
8.【解析】(1)由题意知,直线l 的直角坐标方程为2x-y-6=0,
∵曲线C2的直角坐标方程为
y
2)2=1,
∴曲线C2
的参数方程为x ,y 2sin ⎧=ϕ⎪⎨=ϕ⎪⎩
(φ为参数). (2)设点P 的坐标为
φ,2sin φ),则点P 到直线l 的距离为
=
∴当sin(φ-60°)=1,点P(-3
2,1),此时
=
9.【解析】(1)将
M(2, 及对应的参数φ=3π代入x acos ,y bsin =ϕ⎧⎨=ϕ⎩(a>b>0,φ为参数),
得2acos ,3bsin ,3π⎧=⎪⎪π=解得a 4,b 2.=⎧⎨=⎩
∴曲线C1的方程为x 4cos ,y 2sin =ϕ⎧⎨=ϕ⎩
(φ为参数) (或
22
x y 164+=1). 设圆C2的半径为r,则圆C2的方程为ρ=2rcos θ
将点
4π)
·2,∴r=1.
∴圆C2的方程为ρ=2cos θ(或(x-1)2+y2=1).
(2)将x cos ,y sin =ρθ⎧⎨=ρθ⎩代入曲线C1: 22x y 16
4+ =1得极坐标方程为2222cos sin 164ρθρθ+=1, 将A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+2π
)代入,得
222211cos sin 164ρθρθ+=1,222
222sin cos 164ρθρθ+=1,
∴2222221211cos sin sin cos 5()().16416416θθθθ+=+++=ρρ
10.【解析】(1)因为曲线C2的极坐标方程ρ=2,所以曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD 的
顶点都在C2上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3π),故B(2,56π
),
由对称性得,直角坐标分别为
A(1,
(2)由于点P 为曲线C1: x 2cos ,y 3sin =ϕ⎧⎨=ϕ⎩
(φ为参数)上任意一点,得P(2cos φ,3sin φ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 =(2cos φ-1)2+(3sin φ
φ
φ-1)2+(2cos φ+1)2+(3sin φ
φ
-φ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ
因为32≤32+20sin2φ≤52,
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52].。