应用基本不等式求最值解题模板
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3.已知正实数 满足 ，则 的最小值是（）
A. B.5C. D.
【答案】C
【解析】
，
当且仅当 时取等号，即 ， 时等号成立，
故选： ．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
4.已知 ，则 的最小值等于_____ 时等号成立，所以 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【答案】
【解析】由 可得 ，即 ，
所以 ，
由 ，
得 ，当且仅当 时取等号，
所以有 ， ， ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，当且仅当 时取等号，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.
14.已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为___________．
【解题方法思维导图预览】
【解题方法】
解题方法模板一：配凑法
使用情景：某一类函数的最值问题
解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；
第二步使用基本不等式对其进行求解即可；
第三步得出结论.
解题模板应用：
例1已知 ，求函数 的最大值.
例2求 的最小值.
【答案】9
【解析】
解题模板选择：
本题中分子是二次形式且分母是一次形式，故选取解题方法模板二分离法进行解答.
解题模板应用：
第一步，把分母子的一次形式当成一个整体，并将分子的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第二步，将其化简即可得到基本不等式 形式，
第三步，运用基本不等式得出结论：
【答案】
【解析】 ，
结合 可知原式 ，
且
，
当且仅当 时等号成立.
即 最小值为 .
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
8.已知正实数 满足 ，则 的最小值为____________.
【解析】
解题模板选择：
本题中可配凑基本不等式成立的三个条件，故选取解题方法模板一配凑法进行解答.
解题模板应用：
第一步配凑（凑项、凑系数等）成符合条件的不等式；
第二步使用基本不等式对其进行求解；
当且仅当 时取等号
第三步得出结论：
函数 的最大值为1
练习
1.已知实数 满足 ，则 的最大值为
A.1B.2C.3D.4
【答案】
【解析】因为 ，即 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第二步将其化简即可得到基本不等式的形式，
第三步并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
解题模板应用：
12.已知 ， ，且 ，则 的最大值为________．
【答案】4
【解析】∵ ，
，
当且仅当 时等号成立，
， ， ，
所以 的最大值为4，此时 ．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得出结论．当然要注意等号成立的条件．
13.已知 ， 是正数， ，则 的最小值为________.
5.已知 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当 ，解得 ， ，
又因为 ，所以 时等号成立.
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“ ”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题.
解题方法模板二：分离法
使用情景：二次关系的分式函数的最值问题
当且仅当 时取等号
所以最小值为9
练习
6.实数 、 ， ，且满足 ，则 的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.
7.已知 ， ，且 ，则 最小值为__________．
解题模板应用：
第一步，运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
令 ，则 ，
第二步，等号取不到，结合函数 的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值；
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，
第三步，得出结果.
故 ，所以函数的值域为
练习
11.已知数列 的前 项和为 ， ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为（）
得m+n＝6，
所以 （m+n）（ ） （3 ） （3+2 ），
当且仅当 时取等号，即为m ，n ．
因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 （3+2 ），
验证可得，当m＝2，n＝4，或m＝3，n＝3，， 取得最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
【答案】B
【解析】原式可化为： ，解得 ，当且仅当 时成立．所以选B.
2.若正数a，b满足 ，则 的最小值为（）
A.16B.25C.36D.49
【答案】A
【解析】由 得： ，代入 得到：
当且仅当： 即 时取等号.
故选：A
【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】Sn＝2an﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2，
n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，又Sn＝2an﹣2，
相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以an＝2n．
aman＝64，即2m•2n＝64，
应用基本不等式求最值的解题模板
【考点综述】
基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点.应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，主要方法有配凑法、分离法、单调性法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题中条件，得到 ，再由基本不等式，即可得出结果.
【详解】 ，
，
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
，即 的最小值为 .
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.
9.已知 的最大值为 ，则 的最小值为_______________.
【答案】17
【解析】
【分析】
先将 ，转化为 ，再根据最大值为 ，建立等式 ，整理得 ，然后将 转化为 ，再利用基本不等式中的“1”的代换求解.
【详解】 ，最大值为 ，
所以 ，
整理得 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 时，取等号
所以 的最小值为17
故答案为：17
【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
解题模板：第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，等号取不到，结合函数 的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；
第三步得出结论
解题模板应用：
例3求函数 的值域．
【解析】
解题模板选择：
本题中等号取不到，故选取解题方法模板三单调性法进行解答.
10.已知 ， ， ，则 的最小值为_______，此时 _______．
【解析】令 ，则 ，再化简 ，
又 ，
当且仅当 时取得最小值，又 ，得 ，
即当 时， 有最小值 ，此时 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，结合考查了换元法的应用，属于中档题.
解题方法模板三：单调性法
使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况
A. B.5C. D.
【答案】C
【解析】
，
当且仅当 时取等号，即 ， 时等号成立，
故选： ．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
4.已知 ，则 的最小值等于_____ 时等号成立，所以 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【答案】
【解析】由 可得 ，即 ，
所以 ，
由 ，
得 ，当且仅当 时取等号，
所以有 ， ， ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，当且仅当 时取等号，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题.
14.已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为___________．
【解题方法思维导图预览】
【解题方法】
解题方法模板一：配凑法
使用情景：某一类函数的最值问题
解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件；
第二步使用基本不等式对其进行求解即可；
第三步得出结论.
解题模板应用：
例1已知 ，求函数 的最大值.
例2求 的最小值.
【答案】9
【解析】
解题模板选择：
本题中分子是二次形式且分母是一次形式，故选取解题方法模板二分离法进行解答.
解题模板应用：
第一步，把分母子的一次形式当成一个整体，并将分子的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第二步，将其化简即可得到基本不等式 形式，
第三步，运用基本不等式得出结论：
【答案】
【解析】 ，
结合 可知原式 ，
且
，
当且仅当 时等号成立.
即 最小值为 .
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
8.已知正实数 满足 ，则 的最小值为____________.
【解析】
解题模板选择：
本题中可配凑基本不等式成立的三个条件，故选取解题方法模板一配凑法进行解答.
解题模板应用：
第一步配凑（凑项、凑系数等）成符合条件的不等式；
第二步使用基本不等式对其进行求解；
当且仅当 时取等号
第三步得出结论：
函数 的最大值为1
练习
1.已知实数 满足 ，则 的最大值为
A.1B.2C.3D.4
【答案】
【解析】因为 ，即 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
解题模板：第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；
第二步将其化简即可得到基本不等式的形式，
第三步并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
解题模板应用：
12.已知 ， ，且 ，则 的最大值为________．
【答案】4
【解析】∵ ，
，
当且仅当 时等号成立，
， ， ，
所以 的最大值为4，此时 ．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，此时解题时是利用基本不等式得出不等关系然后解不等式得出结论．当然要注意等号成立的条件．
13.已知 ， 是正数， ，则 的最小值为________.
5.已知 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当 ，解得 ， ，
又因为 ，所以 时等号成立.
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“ ”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题.
解题方法模板二：分离法
使用情景：二次关系的分式函数的最值问题
当且仅当 时取等号
所以最小值为9
练习
6.实数 、 ， ，且满足 ，则 的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值是 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.
7.已知 ， ，且 ，则 最小值为__________．
解题模板应用：
第一步，运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
令 ，则 ，
第二步，等号取不到，结合函数 的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值；
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，
第三步，得出结果.
故 ，所以函数的值域为
练习
11.已知数列 的前 项和为 ， ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为（）
得m+n＝6，
所以 （m+n）（ ） （3 ） （3+2 ），
当且仅当 时取等号，即为m ，n ．
因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 （3+2 ），
验证可得，当m＝2，n＝4，或m＝3，n＝3，， 取得最小值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
【答案】B
【解析】原式可化为： ，解得 ，当且仅当 时成立．所以选B.
2.若正数a，b满足 ，则 的最小值为（）
A.16B.25C.36D.49
【答案】A
【解析】由 得： ，代入 得到：
当且仅当： 即 时取等号.
故选：A
【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】Sn＝2an﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2，
n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，又Sn＝2an﹣2，
相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以an＝2n．
aman＝64，即2m•2n＝64，
应用基本不等式求最值的解题模板
【考点综述】
基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点.应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，主要方法有配凑法、分离法、单调性法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题中条件，得到 ，再由基本不等式，即可得出结果.
【详解】 ，
，
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
，即 的最小值为 .
故答案为：2.
【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型.
9.已知 的最大值为 ，则 的最小值为_______________.
【答案】17
【解析】
【分析】
先将 ，转化为 ，再根据最大值为 ，建立等式 ，整理得 ，然后将 转化为 ，再利用基本不等式中的“1”的代换求解.
【详解】 ，最大值为 ，
所以 ，
整理得 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 时，取等号
所以 的最小值为17
故答案为：17
【点睛】本题主要考查三角函数的性质和基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
解题模板：第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；
第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，等号取不到，结合函数 的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；
第三步得出结论
解题模板应用：
例3求函数 的值域．
【解析】
解题模板选择：
本题中等号取不到，故选取解题方法模板三单调性法进行解答.
10.已知 ， ， ，则 的最小值为_______，此时 _______．
【解析】令 ，则 ，再化简 ，
又 ，
当且仅当 时取得最小值，又 ，得 ，
即当 时， 有最小值 ，此时 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了基本不等式求最值，结合考查了换元法的应用，属于中档题.
解题方法模板三：单调性法
使用情景：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况