2014年考研数学一真题与解析

所以
( x a cos x b sin x )


2
2 dx 3 (a 2 b 2 ) 4b 3 2
所以就相当于求函数 a b 4b 的极小值点，显然可知当 a 0, b 2 时取得最小值，所以应该选（A） ．
2 2
５．行列式
0 a b a 0 0
0 2 0
1

1
应该选（D）
４． 若函数



( x a1 cos x b1 sin x ) 2 dx min ( x a cos x b sin x ) 2 dx ，则 a1 cos x b1 sin x
a ,bR



（Ａ） 2 sin x 【详解】注意
3
．
【详解】方程的标准形式为
3
dy y y y ln ，这是一个齐次型方程，设 u ，得到通解为 y xe Cx 1 ，将 dx x x x
2 x 1
初始条件 y(1) e 代入可得特解为 y xe
2 2
．
12．设 L 是柱面 x y 1 和平面 y z 0 的交线，从 z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积 分
1 0 （ 1 k 3 ， 2 l 3 ） ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 ( 1 , 2 , 3 ) K ，对任意的常数 k , l ，矩阵 K 的秩都等 k l
于 2，所以向量 1 k 3 ， 2 l 3 一定线性无关．
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两 点 x1 , x 2 及常数 0 1 ，恒有 f (1 ) x1 x 2 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，则曲线是凸的． 显然此题中 x1 0, x 2 1, x ，则 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( 0)(1 x ) f (1) x g ( x ) ，而
b
ad (ad bc ) bc(ad bc ) (ad bc ) 2
应该选（B） ． 6．设 1 , 2 , 3 是三维向量，则对任意的常数 k , l ，向量 1 k 3 ， 2 l 3 线性无关是向量 1 , 2 , 3 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （C）充分必要条件 【详解】若向量 1 , 2 , 3 线性无关，则 （B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
1 x
（D） y x sin
2
1 x
【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于 y x sin 应该选（C） 2．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x ) f (0)(1 x ) f (1) x ，则在 [0,1] 上（ （A）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （C）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) ）
（B） EY1 EY2 , DY1 DY2 （D） EY1 EY2 , DY1 DY2
1 1 y( f1 ( y ) f 2 ( y ))dy EX 1 EX 2 E (Y2 ) ， 2 2
EY12
1 2 1 1 2 ， y ( f1 ( y ) f 2 ( y ))dy EX 12 EX 2 2 2 2

（Ｂ） 2 cos x
（Ｃ） 2 sin x
（Ｄ） 2 cos x
x


2
2 dx 3 ， cos 2 xdx sin 2 xdx ， x cos xdx cos x sin xdx 0 ， 3 2
x sin xdx 2 ，
故应该选择（D） ．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
9．曲面 z x (1 sin y ) y (1 sin x ) 在点 (1,0,1) 处的切平面方程为
2 2 2 2
．
【详解】曲面 z x (1 sin y ) y (1 sin x ) 在点 (1,0,1) 处的法向量为 z x , z y ,1 |(1, 0 ,1) ( 2,1,1) ，所 以切平面方程为 2( x 1) ( 1)( y 0) ( 1)( z 1) 0 ，即 2 x y z 1 0 ． 10．设 f ( x ) 为周期为 4 的可导奇函数，且 f ' ( x ) 2( x 1), x 0,2 ，则 f ( 7 ) 【 详 解 】 当 x 0,2 时 ， f ( x ) ．

L
zdx ydz
．
4
腾飞考研
电话：0533——8377789

dydz dzdx dxdy 【详解】由斯托克斯公式 Pdx Qdy Rdz 可知 L x y z P Q R
1 1 ( f1 ( y ) f 2 ( y )) ，随机变量 Y2 ( X 1 X 2 ) ，则 2 2
3
腾飞考研
电话：0533——8377789

（A） EY1 EY2 , DY1 DY2 （C） EY1 EY2 , DY1 DY2 【详解】 EY1

2
f ( r cos , r sin )dr
（Ｄ）


2 0
d
1 cos sin 0
f ( r cos , r sin )rdr d
1 cos sin 0
f ( r cos , r sin )rdr
【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示
DY1 E (Y12 ) E 2 (Y1 )
1 1 1 1 1 2 EX 12 EX 2 E 2 ( X1 ) E 2 ( X 2 ) E( X1 )E( X 2 ) 2 2 2 4 4 1 1 1 1 1 2 D( X 1 ) D( X 2 ) E X 1 X 2 D( X 1 ) D( X 2 ) DY2 4 4 4 4 4
F ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) f (0)(1 x ) f (1) x ，则 F (0) F (1) 0 ，且 F " ( x ) f " ( x ) ，故当 f ( x ) 0 时，曲线是凸的，从而 F ( x ) F (0) F (1) 0 ，即 F ( x ) f ( x ) g ( x ) 0 ，也就是 f ( x ) g( x ) ，应该选（C）
1
腾飞考研
电话：0533——8377789

３．设 f ( x ) 是连续函数，则 （Ａ） （Ｂ）

1 0
dy
1 y 1 y 2
0
f ( x , y )dy
1 x 2

1
0 1
dx
x 1
0 1 x1
f ( x , )dy
dx
0
0
f ( x , y )dy dx
1
1 x 2
f ( x , y )dy

2 1 cos sin 0
(Ｃ）


2 0
d
1 cos sin 0
f ( r cos , r sin )dr d
1 , 2 , 3 线性相关；故选择（A） ．
7．设事件 A，B 想到独立， P ( B ) 0.5, P ( A B ) 0.3 则 P ( B A) （ （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 ）
【详解】 P ( A B ) 0.3 P ( A) P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B ) P ( A) 0.5 P ( A) 0.5 P ( A) ． 所以 P ( A) 0.6 ， P ( B A) P ( B ) P ( AB ) 0.5 0.5 P ( A) 0.2 ．故选择（B） ． 8．设连续型随机变量 X 1 , X 2 相互独立，且方差均存在， X 1 , X 2 的概率密度分别为 f1 ( x ), f 2 ( x ) ，随机 变量 Y1 的概率密度为 f Y1 ( y )
1 1 y ，可知 lim 1 且 lim ( y x ) lim sin 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )



2( x 1)dx x 2 2 x C ， 由 f (0) 0 可 知 C 0 ， 即
f ( x ) x 2 2 x ； f ( x ) 为周期为 4 奇函数，故 f (7 ) f ( 1) f (1) 1 ．
11．微分方程 xy' y(ln x ln y ) 0 满足 y(1) e 的解为
1 0 0 而 当 1 0 , 2 1 , 3 0 时 ， 对 任 意 的 常 数 k , l ， 向 量 1 k 3 ， 2 l 3 线 性 无 关 ， 但 0 0 0
0 b
0 c d 0 c 0 0 d
等于
2
腾飞考研
电话：0533——8377789

（A） (ad bc )
2 2
2
（B） (ad bc )
2 2 2
2
（C） a d b c
2
（D） a d b c
2
2
【详解】
0 a 0 c
a
0 a 0 b a 0 b 0 0 b a 0 d 0 b 0 c 0 c d 0 c 0 d c 0 d 0 0 d ad a b c d bc a b c d
f (1 ) x1 x 2 f ( x ) ，
故当 f ( x ) 0 时， 曲线是凸的， 即 f (1 ) x1 x 2 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 也就是 f ( x ) g ( x ) ， 应该选（C） 【详解 2】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
腾飞考研
电话：0533——8377789

2014 年考研数学一真题与解析
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．下列曲线有渐近线的是 （A） y x sin x （C） y x sin （B） y x sin x
2
如果换成直角坐标则应该是

0
1
dx
1 x 2
0
f ( x , y )dy dx
0
1
1 x
0
f ( x , y )dy ， （A） ， （B）
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为


2 0
d cos sin f ( r cos , r sin )rdr d cos sin f ( r cos , r sin )rdr ．