普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案20210129142341

2019年一般高等学校招生全国一致考试
数学（文科）
一．（此题满分9分）
求函数y=2x2-2x+1的极小值
解略：x=1时，y取最小值1.
22
二．（此题满分9分）
化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ]
解：原式=(1+sin2θ+cos2θ)(1+sin2θ-cos2θ)
2222
·(1+cosθ+sinθ)(1+cosθ-sin θ)
2
=4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin2θ
三．（此题满9分）
甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒
精与水（重量）之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为 m2:n2问将两者
混淆后所得液体中纯酒精与水之比是多少？
解:甲中含纯酒
精m1v1(公斤),含水
n
1v1(公斤),
m 1n
1
m
1n1
乙中含纯酒精
m2
v2
(公斤),含
水
n2
v2(公斤) m
2
n
2
m
2
n
2
甲乙共含纯酒精
m1v1m2v2
m1v1(
m2n2)m2v2(m1n1)公斤
m1n1
m
2
n
2
(
m1
n1)
(m2
n
2)
甲乙共含
水
n1v1n2v2
n1v1(
n2)n2v2(m1n1)公斤
m2
m1n1
m
2
n
2
(
m1
n1)
(m2
n
2)
混淆后,
纯酒精与水之比为
[m1v1( m2
n
2)m2v2(m1n1)]:[n1v1(m2
n
2)n2v2(m1n1)]
四．（此题满分9分）
表达而且证明勾股定理
解：略
五．（此题满分14分）
外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里之内的地区设A
及B是我们的观察站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得
∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=
β问α及β知足什么简单的三角函数值不等式，就应该向此未经特许的外国船发出警示，命令退出我海疆？
解：作PC⊥AB于C，设PC=d，
P
在直角三角形PAC中，AC=d·ctg
α在直角三角形PC中，BC=d·ctg
A αβB
β
C
∴S=AC+BC=d（ctgα+ctgβ）
当d≤D，即ctgα+ctgβ≥S时，应向外国船发出警示
D
六．（此题满分14分）
美国的物阶从1939年的100增添到四十年后1979年的500，假如每年物价增添率同样，问每年增添百分之几？（注意：x<0.1,可用：
ln(1+x)≈x，取lg2=0.3,ln10=2.3)
解：年增添率x应知足
100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.
取自然对数有40ln(1+x)=ln5.
又×
利用ln(1+x)≈x,则有
x≈≈4%
答：每年约增添百分之四
七．（此题满分18分）
设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D
作该圆的切线与CE的
C
E
延伸线订交于点A，与CF的延伸
F
A
线订交于点B求证：BF BC3
D
A
E AC3
证：连结CD因∠CFD=90，因此CD为圆
O的直径，又AB切圆O于D，
∴CD⊥AB又在直角三角形ABC中，∠ACB=90，
22
∴AC=AD·AB，BC=BD·BA
B D
B
C2
(1)
A D
A
C
2
.
22
又因BD=BC·BF，AD=AC·AE
B
D2BCBF
A D2
A
C
(2)
A
E
B C B
F BC4
B
F
B
C3
A C A
E AC4
A
E
A
C3
由（1）与（2）得。