计算方法52幂法与反幂法ppt课件

A2v0
vk 1 Avk Ak 1v0
称{vk }为迭代向量。
(k 0,1,,n)
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(1)幂法:
矩阵A有n个线性无关的特征向量 x1，x2，，xn，
相应的特征值为1，2，，n
1.A 特征值中 1为强占优,即 | 1 || 2 | | n |
问题：
设 A (aij )
即 Axi i xi
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原点平移法的思想
如果需要计算A的主特征值 1 ，适当选择p使满足： （1）1 p 是B的主特征值，即
| 1 p || i p | (i 1,2,, n);
(2)
max
2 jn
|
j
p|
|
2
|.
| 1 p |
1
对B应用幂法,使得在计算B的主特征值1 p的过程中得到加速。
v0
Rn
,
且
v0
0,
有
v0
n
i xi ,
（且设 1,2 , , r 不全为零），则有 i1
vk
Avk 1
Ak
v0
1k [
r
i xi
i 1
i
n
r 1
i
(
i 1
)k
xi ]
1k[
r
i xi
k]
其中 k
i
n
r 1
i
(
i 1
)k
xi
i 1
，且
lim
k
k
0,
从而
lim
k
vk
1k
r
i xi
i 1
因此，当k充分大时, r
线性组合 i xi( 1
vk
1k
, 2
接近于与 1 对应的特征向量的某个 ,,r 不全为零) 。
i 1
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例：求矩阵A的按模最大的特征值
A
1 4
1 5
1 5
1 6
解 取v0=(1,0)T ,计算vk=Avk-1, 结果如下
k
(vk)1
来，收敛速度又慢下去，因此把原点移到2 与n 的中点最合适，
如图示，取 p* 2 n 作为新原点。
2
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2. 设A的特征值是实数且满足： 1 2 n1 n
求特征值的最小值 n
要求 n ，选取P 满足 n p 1 p .
且使
max{ n1 p , 1 p } min n p n p
算矩阵A的按模最大特征值及其相应特征向量的方法称为幂法。
即相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值 1,且收敛速度由
比值 r
| 2 1
|来度量,r 越小收敛越快,
当 r | 2 | 1 而接近于1时,收 1
敛可能很慢。
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定理7：
（1）设 A Rnn有n个线性无关的特征向量；
（2）设A的特征值满足 | 1 || 2 | | n |;
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特征向量乘以任意非零常数仍对应于同一特征值的特征向量
v Av
Akv ,k 1,2,
k
k 1
0
因此，幂法是一种迭代方法。
且收敛速度由比值 r | 2 | 确定。所以有 1
lim
k
vk
1k
1 x1
其次讨论主特征值 1 的计算。
若(vk )i
表示 vk 的第i个分量，则相邻迭代向量的分量的比值为
问题的提法：
设
A
(aij
)
Rn,n其特征值为
i
,对应特征向量为
xi (i
1,, n),
即
Axi
i xi(i
1,,
n)，且
{
x1
,,
xn
}
线性无关。求矩阵A的主特
征值及对应的特征向量。
幂法的基本思想:
任取一个非零初始向量
v0
Rn
且
v0
0
，
由矩阵A的乘幂构造一向量序列
v1 v2
Av0 Av1
例 设4阶方阵A有特征值
i 15 i, i 1,2,3,4
首先计算A的比值
r 2 0.9 1
令 p 12 作变换 B A pI
则B的特征值为 1 2, 2 1, 3 0, 4 1
应用幂法计算B的按模最大的特征值 1时，
确定收敛速度的比值为
2 2 p 0.5 2 0.9
max( v ) || v || max | (v)i |
1in
v
规范化u
v
(或u
v
等)
max( v)
v2
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任取初始向量：令
u0
v0
0
(且1
0)
迭代
v1 Av0,
v2
A2v0 ,
vk
Ak
v0
,
规范化
u1
u2
v1
max( v1 ) v2
max( v2 )
(a)
lim
k
uk
x1 ; max( x1 )
(b)
lim
k
k
lim
k
max(vk
)
1 .
且收敛速度由比值
r
|
2 1
| 确定。
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应用幂法时,应注意以下两点:
(1)应用幂法时，困难在于 事先不知道特征值是否 满足
1 2 n ，以及方阵A是否有n个线性无关的特征向量 。
克服上述困难的方法是 ：先用幂法进行计算， 在计算过程中检 查是否出现了预期的结 果。若出现了预期的结 果，就得到主特 征值及其相应特征向量 的近似值；否则，只能 用其它方法来求 特征值及其相应的特征 向量。
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(2) 加速方法 (原点平移法)
应用幂法计算A主特征值的收敛速度主要由比值
r
|
2 1
|
来确定，当r <1但接近于1时,收敛可能很慢，一个补救 的办法是采用加速收敛的方法。
引进矩阵B =A-pI，其中P是可选择的参数。
A与B除了对角线元素外，其它元素都相同，
设A的特征值为 1,2 ,,n , 则B的特征值为 1 p,2 p,, n p, 且A,B特征向量相同。
p 2 n
2
说明: 当 2 , n能初步估计时，就可选择P* 的近似值。另外，
p 2
2
把原点向
2n靠的拢推,使导可| 以12 |小理下解去为,,则因可为加收快敛收速敛度速由度| 。12 |但确是定当,如原果点能移
到某点使 | n || 2 时| ，n就代替了2，而2就成了n ,若 | n |大起
,,
xn
}
为Rn中一个基，于是对任意
的初始向量
v0
Rn
且
v0
0
有展开式。(
v0用
{ xi
}的线性组合表示)
n
v0 i xi （且设1 0）
i 1
则
v1
Av0
A(1 x1
2 x2
n
xn
)
1
Ax1
2
Ax2
n
Axn
11 x1
22 x2
nn
xn
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当k =2,3,… 时，
R(inn,1,其特,n)征，值且为{x1,i ,,对xn应} ，特线征性向无量关为。x特i (i征值1,满,足n),：
| 1 || 2 | | n |,即1为强占优。求矩阵的主特征值 1及对应
的特征向量。
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首先讨论 1及x1与{vk }关系
{
x1
,,
xn
}
线性无关
,即
{
x1
Av0
mmaaxAx((2AAv02vv00))
uk
vk max(vk )
Ak
v0
max(Ak
v0
)
则有迭代向量序列{vk
}及规范化向量序列
{uk
}
。
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即
uk
1k
1x1
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
1k
1x1
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
当 n1 p 1 p 时，即最佳参数 p 1 n1 。
n p
n p
2
说明：1 在实际应用中,A的特征值并不知道，所以,p是无法 确定的，该方法只是告诉我们，当发现收敛速度慢时，可以适当 移动原点加速收敛。
2 由以上讨论知,用原点平移法可以求最大特征值与最小特征值.
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xn
（1）若：
1
2
n
uk
x1xx11
x1
, 1 0 , 1 0
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u2k ,u2k 1
分别收敛反号的两个数
uk 收敛
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（2）若： 1 2 3 n , 1 2
uk
1k
1x1
2 1k
x2
n
n 1
k
xn
1k
1x1
2 1k
x2
n
n 1
k
xn
n
（3）幂法： v0 ai xi 0, (1 0), vk Avk1, (k 1,2,);
i 1
则
(a)
lim
k
vk
1k
1 x1;
(b)
lim (vk 1 )i k (vk )i
1。
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2. A的主特征值为实的r重根，即
| 1 || 2 | | r || r1 | | n |
u2k,u2k1 分别收敛到两个数，且绝对值不同。
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定理8 （1）设 A Rnn 有n个线性无关的特征向量； （2）设A特征值满足 | 1 || 2 | | n |, 且 Axi i xi (i 1,,n);
（3）{uk } 及 {vk }由改进幂法得到的规范化向量 序列及迭代向量序列，则有
0
1
(vk)2 0
(vk)1 / (vk-1)1
1
0.25
0.2
2
0.10250
0.083333
0.41
3
0.042292
0.034389
0.41260
4
0.017451
0.014190
0.41263
可取10.41263 ,v1(0.017451,0.014190)T
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(vk)2 / (vk-1)2
(或1 1) ,迭代向量的各个不等于零的分量将随 k 而趋 于无穷（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了 克服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质，将迭 代向量的长度规范化（“规一化”）以改进幂法。
所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使
向量长 度为1,向量长度有多种度量法,可以采用 || || 或 || ||2,
(2)如果初始向量 v0选择不当，将导致公式 中x1的系数1等于零，
但是，由于舍入误差的 影响，经过若干步迭代 后，vk Ak v0 , 按照基向量x1, x2 ,, xn展开时，x1的系数可能不等于零。 将这 一向量vk看作初始向量，用幂法 继续求向量序列 xk1, xk2 ,， 仍然会得到预期的结果 ，不过收敛速度较慢。
0.41665 0.41267 0.41263
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在幂法中，我们构造的序列
vk
1k 1x1
2
2 1
k
x2
n
n 1
k
xn
可以看出
k
, vk
0
, ,
1 1 1 1
因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0
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3. 幂法的改进
用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果 1 1 ,
其次,
使
max{ 2
p , n
p } min
n
0p
1 p 1 p
或求极值问题
minmax{ 2
p , n
p }
p
1 p 1 p
2 1
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当
2 1
p p
n 1
p p
时，即
p
2
2
n
p
n
时，
0p * 2 1
值达到最小。
即当 A Rnn 的特征值满足 1 2 3 n 时,最佳的p值为
,得 n),
|
即
i | 1 (i 2,,n)
1
lim
k
k
0,
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1 0 则k足够大时，有
vk
1k1x1
vk 1
1k
11x1
1vk
说明，当k充分大时，有
特征向量1x1。
vk
1k
1x1，或
vk
1k
越来越接近
可见 vk ,vk 1 几乎仅差一个倍数 1
所以：
1 vk1 / vk
问题：
设A
(aij
)
Rn,n 其特征值为i
,对应特征向量为
xi (i
1,, n),
即 Axi i xi
(i
1,,
n)
，且
{
x1
,,
xn
}
，线性无关。特征值满足：
| 1 || 2 | | r || r 1 | | n |,求矩阵的主特征值 1 及对应
的特征向量。
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对任意的初始向量
这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是 十分有效的。
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原点平移法(加速法)
1. 设A的特征值是实数且满足：1 2 n
求特征值的最大值 1
显然,不管B如何选取,矩阵B=A-pI 的主特征值为 1 p 或n p.
当要求计算1 及x1时，首先考虑应选取p满足: 1 p n p .
vk
Avk 1
Ak
v0
11k
x1
22k
x2
nnk
xn
)
1k
[
1
x1
2(
1k
(1
x1
2 )k
11
k
x2
)
nn(
nn 11
))kk
xxnn
]
其中
k
2
(
2 1
)k
x2
n
(
n 1
)k
xn
由假设 | 1 || 2 | 从而 lim( i )k 0
k 1
| n |
(i 2,,
1 1 p
1
所以对B应用幂法，可使幂法得到加速
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原点平移的加速方法,是一种矩阵变换方法。 这种变换容易计算,又不破坏A的稀疏性，但 参数p的选择依赖于对A的特征值的分布有大 致了解。
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(3)反幂法(或逆迭代)
vk
1k
(