山东省垦利第一中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学期中考试参考答案
2018.04
一、选择题（每小题正确答案均唯一，每小题5分共60分） BBCCC DCAAD CB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. [,],4
4
k k k Z π
π
ππ-
+
∈ 14. 1
16. ②③④ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：（1）由题意可知：点(1,1),(2,1)A B ,故(1,1),(2,1)OA OB ==,…………2分
所以2+1=3OA OB =，
=25OA OB =，， …………4分
所以cos ,OA OB <>=
=…………5分 （2）根据三角函数定义可知：11
tan ,tan ,23
BOD COD ∠=∠= …………7分
故11
tan tan 23tan()1,11
1tan tan 123BOD COD BOD COD BOD COD +
∠+∠∠+∠==
=-∠⋅∠-⨯ …………10分
18.（1）由已知得()cos 2sin()6
f x x x x π
ωωω=+=+. …………3分
()f x 的最小正周期为2π，即22,T π
πω==解得1ω=. …………4分 (2)由（1）知()2sin()6
f x x π
=+，
则6()2sin ()2sin 6665f πππααα⎡
⎤-=-+==⎢⎥⎣⎦. …………5分
所以3sin 5α=，又因为0,,2πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦所以4cos 5α=. …………7分
又因为24()2sin ()2sin()2cos 336213f ππππββββ⎡
⎤+=++=+==⎢⎥⎣⎦
. ……9分
所以12cos 13β=，又因为0,,2πβ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
所以5sin 13β=. …………10分
所以3124556
sin()sin cos cos sin 51351365
αβαβαβ+=+=⨯+⨯=. ……12分
19. 解：（1）2222 121122
329
124
OP e e e e e e
=+=+⋅+
，
60
,
,1
2
1
>=
<
=
=e
e，.................................................3分
故2222
121122
1
329124912419
2
OP e e e e e e
=+=+⋅+=+⨯+=，
所以19
OP=.............................................................................6分
（2）对于任意向量
12
OP xe ye
=+中，
①实数,x y都是唯一确定的； ............9分
.
②分解的向量是唯一的；………………11分所以向量的坐标表示的规定合理．………………12分20．解：(1）设点P的坐标为)
,
(y
x，
则)1
,
sin
(cos-
-
=α
α
AB，)
,
cos
(y
x
BPα
-
=
∵=，∴α
α
αcos
sin
cos-
=
-x，1
-
=
y
∴,
sin
cos
2α
α-
=
x1
-
=
y
∴点P的坐标为)1
,
sin
cos
2(-
-α
α
，………………………2分由//
OP OC知：)
sin
cos
2(
2
)
sin
(
)1
(α
α
α-
⨯
=
-
⨯
-，
∴
3
4
cos
sin
=
α
α
，即
4
tan
3
α=，………………3分所以2
sin2sin cos
ααα
+
2
22
sin2sin cos
sin cos
ααα
αα
+
=
+
2
2
168
tan2tan8
93.
16
tan15
1
9
αα
α
+
+
===
++
………………6分(2）∵)1
,
sin
(cos-
-
=α
α，)1
,
sin
2(-
=α
，
()(cos
f BP CA
α=+=
=………………………………………8分
∵0,
2
π
α⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
∴
3
444
πππ
α
≤+≤，
所以
sin()1
24
π
α
≤+≤，2
5)]46
4
π
α
≤++≤.
∴)
(α
f的值域为. ……………………………12分
21．解：函数()sin()f x x ϕ=+的图象向右平移3
π
个单位得到的函数为sin()3
y x π
ϕ=+-
，
则由函数sin()(0)3
2
y x π
π
ϕϕ=+-
<<
关于原点对称知3
π
ϕ=
．.................3分
又函数()sin g x x ω=（03ω<<）在,06π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为，
所以2sin()6
π
ω-
=2ω=，
∴()2sin(2)3
F x x π
=+. .................................................................6分
（1）由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
()k Z ∈，得51212
k x k ππππ-
≤≤+()k Z ∈， 所以函数()F x 的单调递增区间为5[,]1212
k k ππ
ππ-+()k Z ∈．................9分 （2）由()2sin(2)03
F x x π
=+
=，得：2,3
26
k x k x π
ππ
π+
==
-， ∵[,]22x ππ
∈-
，故,63x ππ=-.所以函数()F x 的零点为,63ππ
-.
................12分 22．解：（1）由条件可知，得2A =，34
T
=． …………………………………2分 ∵2π
T ω
=
，∴π
6
ω=
． ∴ 曲线段FBC 的解析式为π2π
2sin()63
y x =+． ……………………4分
当x =0时，y OC =．又CD ππ
44COD DOE ∠=∠=，即．…6分
（2）由（1）可知OD P 在弧DE 上，故OP =
设POE θ∠=，π
04
θ<≤，矩形草坪的三周花砖长度为
)sin cos l θθθθθ=+
4πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭， ………………………………8分
由题意可知：34l πθ⎛
⎫=+≤ ⎪⎝
⎭，又因为π04θ<≤，
解得：4
3
π
π
θ+≤
，即：π
012
θ<≤
． ……………12分。