福建省泉州市德化县一中高二数学期末模拟试卷(2)理

德化一中2014年秋季高二数学模拟试卷（2）
班级______ 座号______ 姓名_________ 成绩_________
1.已知双曲线
22
149
y x -=的渐近线方程为( ) A ．23
y x =±
B ．94y x =±
C ．32y x =±
D ．49
y x =± 2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)．则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )
A ．分层抽样法，系统抽样法
B ．分层抽样法，简单随机抽样法
C ．系统抽样法，分层抽样法
D ．简单随机抽样法，分层抽样法
3.将一枚质地均匀的硬币连抛三次，则“至少出现一次正面向上”的概率是（ ） A.
13 B.23 C. 18 D.78
4．若椭圆y 24＋x 2
3＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形 5.下列函数中在),0(+∞上为增函数的是（ ）
A.x y sin =
B.x x y -=ln
C.x x y -=3
D.x
xe y = 6.设p ：函数3
)3()(x m x f -=在R 上是减函数，q ：30<<m ，则p 是q
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 7. 右图是计算
10
1
81614121+
+++值的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是( ) A. ?10>k
B.?5<k
C. ?5>k
D.?10<k
8.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）
A. B. C. D.
9.已知 A B 、
为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2
MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．抛物线
D ．双曲线 10.已知函数2()cos f x x x =-，若⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x ，且12()()f x f x >,则必有( )
A ．12x x >
B ．21x x >
C ．21x x < D.21x x >
11
____________________________.
12．在区间[]5,1-上随机取一个实数m ，则方程
142
2=-+m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为_______.
13．已知动圆C 与圆221:(3)1C x y +-=和圆222:(3)9C x y ++=都外切,则动圆圆心C 的轨迹方程是__________________.
14．利用计算机随机模拟方法计算2y x =与4y =所围成的区域Ω的面积时，可以先运行以下算法步骤： 第一步：利用计算机产生两个在区间内的均匀随机数,a b ；
第二步：对随机数,a b 实施变换：1142,
4,
a a
b b =⋅-⎧⎨
=⎩得到点A ()11,a b ；
第三步：判断点A ()11,a b 的坐标是否满足2
11b a <；
第四步：累计所产生的点A 的个数m ，及满足211b a <的点A 的个数n ；
第五步：判断m 是否小于M （一个设定的数）.若是，则回到第一步，否则，输出n 并终止算法. 若设定的100M =，且输出的34n =，则据此用随机模拟方法可以估计出区域Ω的面积为 （保留小数点后两位数字）．
15．定义方程)()(x f x f '=的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新不动点”，则下列函数有且只有一个“新不．．．．．．．．．动点”．．．的是 （写出所有正确的序号） ①2
2
1)(x x g =
; ②x e x g x 2)(--=; ③x x g ln )(=; ④x x x g cos 2sin )(+=; 16、设命题p :对任意实数x ，不等式2
2x x m ->恒成立；命题q :方程
22
135x y m m
+=--表示焦点在x 轴上的双曲线.
(1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；
B
O
C
D A
(2)若命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.
17、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示．
（I ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5
组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官的面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？
18、如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD ，沿着较短的对角线BD 对折，使得6=AC ，
O 为BD 的中点.
（Ⅰ）求证：；平面BCD AO ⊥ （Ⅱ）求三棱锥BCD A -的体积； （Ⅲ）求二面角D BC A --的余弦值.
19、设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值．xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为
))(,(11x f x 、))(,(22x f x ，该平面上动点P 满足4=⋅，点Q 是点P 关于直线x y =的对称点． （Ⅰ）求点A 、B 的坐标； （Ⅱ）求动点Q 的轨迹方程．
20、已知函数2()ln()f x x a x x =+-+,2()1(0)x g x x e x x =⋅-->,且()f x 点1x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若关于x 的方程5
()2
f x x b =-+在区间[1,3]上有解，求b 的取值范围； （Ⅲ）证明：()()
g x f x ≥．
21、已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，离心率为2
1
，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆过点
2F ，且与直线1-=x 相切。

（Ⅰ） （ⅰ）求椭圆1C 的方程； （ⅱ）求动圆圆心轨迹C 的方程；
（Ⅱ） 在曲线C 上有两点N M ,，椭圆1C 上有两点Q P ,，满足2MF 与2NF 共线，2PF 与2QF 共线，且
022=⋅MF PF ，求四边形PMQN 面积的最小值。

德化一中2014年秋季高二数学模拟试卷（2）参考答案
ABDBD BCBCD
16、解：(1) 方程
135x y m m
+=--表示焦点在x 轴上的双曲线 30
550
m m m ->⎧⇒>⎨
-<⎩ 即命题q 为真命题时实数m 的取值范围是5m > ………………………5分
（2）若命题p 真，即对任意实数x ，不等式2
20x x m -->恒成立。

⇔440m ∆=+<，
∴ 1m <- …………………………………………………6分
q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，即P 真q 假，或P 假q 真，
如果P 真q 假，则有1
15m m m <-⎧⇒<-⎨
≤⎩ ……………………9分
如果P 假q 真，则有1
55m m m ≥-⎧⇒>⎨>⎩
………………12分
所以实数m 的取值范围为1m <-或5m >……………………13分 17.（Ⅰ）由题意知，第2组的频数为0.3510035⨯=人,
第3组的频率为30
0.300100
=, 频率分布直方图如下: …………4分
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:
306360⨯=人. 第4组:206260⨯=人. 第5组:10
6160
⨯=人, 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.……………………………8分
（Ⅲ）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C
31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C
其中第4组的2位同学至有一位同学入选的有:
11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 共9种．
所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为93.155=
………13分 18. 解：（Ⅰ）连接OC ，由已知得ABD ∆和CBD ∆是等边三角形，O 为BD 的中点，
,,BD CO BD AO ⊥⊥∴又边长为2，3=
=∴CO AO
由于6=AC ，在AOC ∆中，2
2
2
AC CO AO =+ ………2分
OC AO AOC ⊥︒=∠∴，即90O OC BD =⋂ ，BCD AO 平面⊥∴………4分 （Ⅱ）324
3
2=⨯=
∆BCD S ,13331=⋅⋅=∴-BCD A V ………8分
（Ⅲ）解法一：过E BC OE O 连结于作,⊥，连接
AE ， BCD AO 平面⊥ ，OE BCD AE 上的射影为在平面∴
AE ⊥∴ 的平面角为二面角D BC A AEO --∠∴……10分
tan 22AO RT AEO AO OE AEO OE
∆==∴∠==在中， 5
5
cos =
∠∴AEO ………12分 即二面角D BC A --的余弦值为
5
5
.………12分 解法二：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则
)3,0,0(,)0,3,0(,)0,0,1(,)0,0,1(,)0,0,0(A C D B O -
显然，平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n ………9分 设：平面ABC 的法向量),,(2z y x n =，
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ,⎩⎨⎧=+-=-0
303y x z x ， )1,1,3(2=∴n 5
5
51=
=
………11分 ∴二面角D BC A --的余弦值为55.………12分
19．解：（Ⅰ）令033)(2
=+-='x x f 解得11=-=x x 或 ……2分
当x ＜﹣1时，0)(<'x f ，当﹣1＜x ＜1时，0)(>'x f ，当x ＞1时，0)(<'x f 所以，函数在1-=x 处取得极小值，在1=x 取得极大值， ……4分 故4)1(,0)1(,1,121==-=-=f f x x
所以，点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -． ……6分
（Ⅱ）设Q （x ，y ），),(00y x P
441)4,1(),1(2
00.200.000=+--=--⋅---∴y y x y x y x
05402
02
0=--+∴y y x ① ……8分
又 点Q 是点P 关于直线y=x 的对称点
⎩⎨
⎧==∴x
y y
x 00代入①得：05422=--+x x y ，即为Q 的轨迹方程。

……12分 20. 解：（Ⅰ）∵2()ln()f x x a x x =+-+， ∴'
1
()21f x x x a
=
-++ ∵函数2()ln()f x x a x x =+-+在点1x =处取得极值， ∴'(1)0f =，即当1x =时1
210x x a
-+=+， ∴
1
101a
-=+，则得0a =.经检验符合题意 ……4分 （Ⅱ）∵5()2
f x x b =-+,∴25ln 2x x x x b -+=-+, ∴2
7ln 2x x x b -+=.
令2
7()ln (0)2h x x x x x =-+>, ……6分 则17(41)(2)'()222x x h x x x x
+-=-+=-.
∴当[]1,3x ∈时，)(),('x h x h 随x 的变化情况表：
计算得：5(1)2h =
，35(3)ln 322h =+>，(2)ln 23h =+，5(),ln 232h x ⎡⎤∴∈+⎢⎥⎣⎦
所以b 的取值范围为5,ln 232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。

…… 9分 （Ⅲ）证明：令()()()F x g x f x =-ln 1x
x e x x =⋅---
()0x >，
则()()1
11x
F x x e x '=+⋅-
-()()11x x x e x
+=⋅⋅-， ……10分 令()1x
G x x e =⋅-，则
()()10(0)x G x x e x '=+⋅>>，
∴函数()G x 在()0,+∞递增，()G x 在()0,+∞上的零点最多一个 ……11分
又
(0)10G =-<，(1)10G e =->，∴存在唯一的()0,1c ∈使得()0G c =， ……12分
……8分
且当()0,x c ∈时，()0G x <；当(),x c ∈+∞时，()0G x >.
即当()0,x c ∈时，()0F x '<；当(),x c ∈+∞时，()0F x '>.∴()F x 在()0,c 递减，在(),c +∞递增， 从而()F x ≥()ln 1c F c c e c c =⋅---. ……13分 由()0G c =得10c
c e ⋅-=即1c
c e ⋅=，两边取对数得：ln 0c c +=，∴()0F c =，
∴()()0F x F c ≥=，从而证得()()g x f x ≥. ……14分
21、解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得312214
2222=-=⇒⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧===c a b c a a c e a ， 则所求椭圆方程13
4:2
21=+y x C . …………3分 （ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为)0,1(，准线方程为1-=x ，则动圆圆心轨迹方程为x y C 4:2
=. …………6分
（Ⅱ）当直线MN 的斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ 的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4， 从而11
||||44822
PMQN S MN PQ =
⋅=⨯⨯=. …………8分 设直线MN 的斜率为k ，则0k ≠,直线MN 的方程为：)1(-=x k y 直线PQ 的方程为1
(1)y x k
=--， 设11223344(,),(,),(,),(,)M x y N x y P x y Q x y 由2
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，消去y 可得0)42(2222=++-k x k x k …………9分
由抛物线定义可知：2
2221224
424211||||||k k k x x NF MF MN +=++=+++=+= 由22
1(1)14
3y x k x y ⎧
=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得222(34)84120k x x k +-+-=，…………10分
从而2342
12(1)|||34
k PQ x x k +=-=+， ∴222
2242
11412(1)(1)||||(4)24223434PMQN
k k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++…………11分
令2
1k t +=，∵k>0，则1t > 则2222
2
1242424||||2123(1)4(1)3213PMQN
t t S MN PQ t t t t t t =⋅===-+----- 22211
34(1)(0,3)t t t
--=-+∈…………12分
所以2
24
8213PMQN S t t
=>-- 所以四边形PMQN 面积的最小值为8. …………14分
21的最后一步另解：
22222
4
211412(1)(1)||||(4)24223434PMQN
k k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++
()()42
22
22424242
12341123332424888343434k k k k k k k k k k k
+++++==+>+++ 8PMQN s ∴>。