天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

天津市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学
试题
一、选择题（本大题共10小题）
1.已知全集为R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|≥0}，则A∩B元素个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”的否定是（）
A. ∈,
B. ∈,
C. ∈,
D. ∀ ∈,
3.下列关系中正确的是（）
A. B.
C. D.
4.函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax
的解集为（）
A. B. 或
C. D. 或
6.使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件是（）
A. ∈
B. ∈
C. ∈
D. ∈
7.已知函数(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）
A. B. 2 C. 3 D. 8
8.定义a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2-x）的值域是（）
A. B. C. R D.
9.若函数y=f（x）是奇函数，且函数F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值
8，则函数y=F（x）在（-∞，0）上有（）
A. 最小值
B. 最大值
C. 最小值
D. 最小值
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和
阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，
已知函数f（x）=，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是（）
A. B. C. 0, D.
二、填空题（本大题共6小题）
11.计算+（3）=______．
12.已知函数f（x）=ax5-bx3+cx-3，f（-3）=7，则f（3）的值为______ ．
13.设f（x）为奇函数，且在（-∞，0）上递减，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为______．
14.设f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数在（0，1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）＜0，
则a的取值范围为______．
15.若函数在R上为增函数，则a取值范围为______．
16.已知函数的定义域为R,对任意实数满足：
，且，当时,＞0.给出以下结论:
①;②;③为上的减函数;④为奇函数;⑤
为偶函数.其中正确结论的序号是________.
三、解答题（本大题共4小题）
17.已知集合A={x|≤2x-1≤16}，B={x|≥1}．
（1）求集合A∩B；
（2）若C={x|m+1≤x≤2m-1}．C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．
18.已知定义在区间（-1，1）上的函数f（x）=为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．
19.设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3．
（1）若f（1）=3，且a＞0，b＞0，求的最小值；
（2）若f（1）=2，且f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，求实数a的取值范围．
20.已知定义域为R的单调递减的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-2x
（Ⅰ）求f（-1）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
考查列举法、描述法的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.
可以求出集合B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B元素个数．
【解答】
解：∵A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＜-1，或x≥2}，
∴A∩B={2，3}，
∴A∩B元素的个数为2．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：∵命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”为全称命题，
∴命题的否定为：x∈R，x2-2x+1＜0，
故选：C．
因为命题“∀x∈R，x2-2x+1≥0”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“”，“≥“改为“＜”即可．
本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．
3.【答案】D
【解析】解：根据指数函数y=为减函数，
∴＜，
根据y=在（0，+∞）为增函数，
∴＞，
∴＜＜．
故选：D．
根据指数函数和幂函数的单调性即可判断．
本题考查了指数函数的幂函数的单调性性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：当a＞0时，
要想函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，需要对称，
即a≥-1，
∴a＞0．
当a＜0时，要想函数f（x）=ax2+2x-1，在[1，2]上是増函数，需要对称轴-，
即a．
∴＜．
当a=0时，f（x）=2x-1，在在[1，2]上是増函数；
综上a．
故选：B．
一元二次函数问题要考虑二次项系数对开口方向的影响，结合对称轴与区间的位置判断即可．
本题考查了数学结合和分类讨论的思想．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与系数关系，训练了借助于“三个二次”的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题．
根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，且有，，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式，设出该不等式
对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集．
【解答】
解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根且a＜0，
所以，，
由a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax，得：ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0，
设ax2-（2a-b）x+a-b+c=0的两根为x3，x4，则①，
②，联立①②得：x3=0，x4=3，
因为a＜0，所以ax2-（2a-b）x+a-b+c＞0的解集为{x|0＜x＜3}，
所以不等式a（x2+1）+b（x-1）+c＞2ax的解集为{x|0＜x＜3}．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：当x≥0时，不等式（x+1）（|x|-1）＞0⇔（x+1）（x-1）＞0⇔x＞1；
当x＜0时，不等式（x+1）（|x|-1）＞0⇔（x+1）（-x-1）＞0⇔（x+1）2＜0，∴解集为∅；
∴不等式（x+1）（|x|-1）＞0的解题为（1，+∞）；
使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件应是不等式解集的真子集，（2，+∞）⫋（1，+∞），
故选：B．
解不等式（x+1）（|x|-1）＞0，得不等式的解集；使不等式（x+1）（|x|-1）＞0成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可．
本题考查了不等式的解法，充分条件与必要条件的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，凑“积为定值”是关键，属于中档题．
将＞，转化为y=（x+1+）-5，再利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：∵x＞-1，
∴x+1＞0，
∴
=（x+1）+-5
≥2-5=1，
当且仅当x=2时取等号．
∴a=2，b=1，
∴a+b=3．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：函数f（x）=x⊗（2-x）=，
则函数f（x）=x⊗（2-x）的值域为（-∞，1]．
故选：B．
由a⊗b=，化简函数f（x）=x⊗（2-x），从而求值域．
本题考查了分段函数的化简，从而求分段函数的值域．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=f（x）和y=x都是奇函数，
∴af（x）+bx也为奇函数，
又∵F（x）=af（x）+bx+2在（0，+∞）上有最大值8，
∴af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，
∴af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，
∴F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4，
故选：C．
由已知中f（x）和x都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F（x）-2=af（x）+bx 也为奇函数，进而根据F（x）=af（x）+bx+2，在（0，+∞）上有最大值8，我们可得af（x）+bx在（0，+∞）上有最大值6，由奇函数的性质可得af（x）+bx在（-∞，0）上有最小值-6，进而得到F（x）=af（x）+bx+2在（-∞，0）上有最小值-4．
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）-2=af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵f（x）==，f（-x）=，
∴f（x）为奇函数，
化f（x）==，
∵e x+1＞1，∴0＜＜1，则＜＜．
∴当f（x）∈（，0）时，[f（x）]=-1，[f（-x）]=0；
当f（x）∈（0，）时，[f（x）]=0，[f（-x）]=-1；
当f（x）=0时，[f（x）]=[f（-x）]=0．
∴函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域是{-1，0}．
故选：D．
利用定义说明函数f（x）为奇函数，再把函数解析式变形，得到f（x）的范围，然后分类求解得答案．
本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．
11.【答案】9
【解析】解：原式=++5=++5=9．
故答案为：9．
利用指数运算性质即可得出．
本题考查了指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】-13
【解析】解：设g（x）=ax5-bx3+cx，则g（x）是奇函数，
∴g（3）=-g（-3），
∵f（-3）=g（-3）-3=7，①f（3）=g（3）-3，②
①+②得，f（3）=-13，
故答案为：-13
根据解析式构造奇函数g（x）=ax5-bx3+cx，再由奇函数的关系进行整体代入求值．
本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，需要结合结合题意构造奇函数，再由奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．
13.【答案】（-∞，-2）（2，+∞）
【解析】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在
（-∞，0）上递减，
∴f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（-2）=0，得f（-2）=-f（2）=0，
即f（2）=0，
由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得xf（x）＜0⇔ 或，
解得x＜-2或x＞2，
∴xf（x）＜0的解集为：（-∞，-2）（2，+∞）
故答案为：（-∞，-2）（2，+∞）
易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
14.【答案】，，
【解析】解：∵f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数∴f（-x）=f（x）=f（|x|）
∵在（0，1）上增函数
∴ ＜＜＜＜
＜
解得a∈，，
故答案为：，，
由f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，则有f（-x）=f（x）=f（|x|），再由函数是（0，1）上增函数，利用单调性定义求解．
本题主要通过奇偶性来转化区间，利用单调性来求解参数的范围问题，特别是偶函数时，转化为f（|x|），可避免讨论，同时在应用单调性时，一定要注意区间的限制．
15.【答案】[1，2]
【解析】解：f（x）在（-∞，+∞）内是增函数；
∴根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a满足：
＞
；
解得1≤a≤2；
∴a的取值范围为[1，2]．
故答案为：[1，2]．
由一次函数、二次函数，及增函数的定义便可得到
＞
，从而解该不等式组即可
得出a的取值
考查增函数的定义，一次函数及二次函数、分段函数的单调性，二次函数的对称轴．16.【答案】①②④
【解析】【分析】本题考查函数的概念及性质，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．
【解答】
解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=-1，
再令x=y=代入可得f（-1）=f（-）+f（）+=-2+=，故②正确；
令y=-x代入可得=f（0）=f（x）+f（-x）+，即f（x）++f（-x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；
取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）为R上减函数，错误；
⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（-x）+-g（x）-=-2g（x）不恒为0，
故函数f（x）+1不是偶函数.
故答案为：①②④
17.【答案】解：（1）集合A={x|≤2x-1≤16}={x|-2≤x-1≤4}={x|-1≤x≤5}，
B={x|≥1}={x|-1≥0}={x|≤0}={x|-3＜x≤5}；
则集合A∩B={x|-1≤x≤5}；
（2）集合C={x|m+1≤x≤2m-1}，
当C=∅时，m+1＞2m-1，解得m＜2，此时满足C⊆（A∩B）；
当C≠∅时，由，解得2≤m≤3，此时满足C⊆（A∩B）；
综上知，实数m的取值范围是m≤3．
【解析】（1）化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B；
（2）根据题意讨论C=∅和C≠∅时，分别求出m的取值范围，再求并集即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
18.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=为定义在区间（-1，1）上的奇函数，则f（0）=a=0，即a=0，
此时f（x）=为奇函数，符合题意；
故a=0；
（2）f（x）=在（-1，1）上为增函数，
证明：设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=-=，
又由-1＜x1＜x2＜1，
则（x1-x2）＜0，1-x1x2＞0，
则有f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）根据题意，由（1）（2）的结论，f（x）为奇函数且在（-1，1）上为增函数，
则f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）⇒f（t-1）＜f（-t）⇒
＜
＜＜
＜＜
，
解可得：0＜t＜，即t不等式的解集为（0，）．
【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得结论；
（3）根据题意，由函数的单调性以及奇偶性分析可得f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f
（t）⇒f（t-1）＜f（-t）⇒
＜
＜＜
＜＜
，解可得t的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于基础题．19.【答案】解：（1）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=3，
则f（1）=a+b-2+3=3，得a+b=2，
∴=（）（a+b）=（5++）≥（5+2）=，
当且仅当=时上式取等号，又a+b=2，
∴当且仅当a=，b=时，的最小值是．
（2）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=2，
则f（1）=a+b-2+3=2，得a+b=1，
由f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，则a（x2-x）＞x-1在（-1，1）上恒成立，
∴ax＜1在（-1，1）上恒成立，
①当x=0时，ax＜1恒成立，
②当0＜x＜1时，a＜在（0，1）上恒成立，∴a≤（）min，∴a≤1；
③当-1＜x＜0时，a＞在（-1，0）上恒成立，∴a≥（）max，∴a≥-1；
综上，实数a的取值范围[-1，1]．
【解析】（1）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=3，得a+b=2，把化为（）（a+b），利
用基本不等式得出最小值；
（2）由函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，f（1）=2，则f（1）=a+b-2+3=2，得a+b=1，把b用a替换掉，由f（x）＞2在（-1，1）上恒成立，转换为ax＜1在（-1，1）上恒成立，然后分情况讨论，求出实数a的取值范围．
本题利用函数值、基本不等式求代数式的最值，利用参变分离解决恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）是奇函数，令x=-1，
可得f（-1）=-f（1）=-（-2）=，
∴f（-1）=；
（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=-2x，当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=，
∵f（x）是奇函数，
∴-f（x）=，即f（x）=，
∴f（x）的解析式为：f（x）=
，＞
，
．＜
．
（Ⅲ）不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，
即f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
由f（x）是定义域为R的单调递减的奇函数，
∴t2-2t＞k-2t2，
即3t2-2t＞k，
可得3（t-）2-＞k对任意的t∈R成立．
∴k＜．
故得实数k的取值范围是（-∞，-）．
【解析】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用．
（Ⅰ）令x=-1，即可求解f（-1）的值；
（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，当x＞0时，f（x）=-2x，
即可求解x＜0的解析式，可得f（x）的解析式；
（Ⅲ）利用单调性和奇偶性脱去“f”，转化为求解二次不等式恒成立求解实数k的取值范围．
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