北师大版七年级数学(上)教案：1.3.1同底数幂的除法

课题：1.3.1同底数幂的除法 课型：新授课 年级：七年级 教学目标
1．经历探索同底数幂除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.理解同底数幂的除法运算性质，能解决实际问题 .
2．经历探索同底数幂的除法性质的过程，会进行同底数幂的除法运算.
3．经历探索同底数幂的除法性质的过程，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心•.
教学重点与难点：
重点：同底数幂的除法运算性则及其应用,理解零指数和负整数指数幂的意义． 难点：探索同底数幂的除法性质的过程．
课前准备：多媒体课件． 教学过程：
一、前置诊断，复习旧知
活动内容：1．我们在前面学习了幂的有关运算性质，这些运算都有哪些？如何用字母表示呢？
处理方式：学生汇报，教师课件展示：
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.n
m n m a a a +=⋅ （m,n 是正整数）
（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘.mn
n
m a
a =)(（m,n 是正整数）
（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积.n
n
n b a ab =)( (n 是正整数) 2．一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了
试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死 109 个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
处理方式：引导学生列式：1012 ÷109 =？ 然后，
追问：这是什么运算？ 该怎样计算呢？ （引出课题：1.3.1同底数幂的除法)
设计意图：通过回顾幂的运算性质，为本节课探索同底数幂的除法法则做好铺垫，从学生已有的知识出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的能力. 激发了学生学习的积极性与主动性.
二、创设情境，导入新课
活动内容：1.怎样计算1012 ÷109 =？ 处理方式：教师点拨指导，展示解题过程： 12个10 3个10
12
10÷910=
101010
10
1010
⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 101010⨯⨯=310
9个10
2．试一试：用你熟悉的方法计算：
（1)25÷23 (2)107÷103 (3) a 7 ÷a 3 =
处理方式：学生尝试计算后，教师展示解题过程： 解：(1)25÷23==22222222
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=22
；
(2)107÷103=10101010101010
101010
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=10000=104；
(3) a 7÷a 3=
a a a a a a a a a a
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=a 4
；
小结：我们利用幂的意义，得到： (1) 25÷23=102=105-3 (2) )107÷103 =104 =107-3 (3) a 7÷a 3 =a 4 ==a 7-4.
3. .观察它们的底数及指数有什么样的规律？大家相互讨论一下.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则
处理方式：我们发现它们的底数没有改变，指数5-3=2.
板书推理过程：=
÷n
m a a n m a
n m a
n a
m a a a a a a a a a a -=⋅=⋅⋅-
个个个，但学生可能会忽视“a ≠0，m,n 是正整数，且m >n ”的要求，教学时可以追问“a 都可以取哪些值呢？”来引导学生类比有理数的除法中对除数不为0的要求来理解这里的a ≠0，再借助上面的计算约分时出现m-n 个a 的过程得到m>n .
归纳：同底数幂的除法法则:
同底数幂相除，底数不变，指数相减． 即 m
n
m n
a a a
-÷＝(0)
a m n m n ≠，，都是正整数,且＞
师强调. 需要注意的是①同底数幂相除运算中，相同底数可以是不为0的数字或字母，或单项式、多项式.②同底数幂相除运算中，也可以是两个或两个以上的同底数幂相除,幂的底数必须相同，相除时指数才能相减.
设计意图：利用类比结合探究的形式引导学生逐步深入思考同底数幂如何相除，从学生已有的知识和经验出发，引导学生探索发现同底数幂的除法的运算性质，遵循循序渐进的认知规律，由幂的意义和同底数幂的乘法得出同底数幂的除法法则，知识的生成自然，学生很容易接受. 从而得到同底数幂的除法法则.
三、合作交流，探究新知
活动内容：同学们利用类比的方法猜想m n a a ÷（0a ≠,m n 是正整数且m n >）结果等于多少？m n a a ÷=m n a - 引导学生利用同底数幂的除法法则
计算：83(1)a a ÷ ； 10
3(2)()
()a a -÷- ；
74(3)(2)(2)a a ÷；6(4)x x ÷；
处理方式：请同学们利用刚才所学的知识来计算，小组间可以互相讨论来完成，看看哪个小组即快又正确.各个小组积极的讨论，争先恐后的举手板书并讲解根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
解：；83(1)a a ÷=83
a -=5a
10
3(2)()
()a a -÷-=103()a --=7a -
74(3)(2)(2)a a ÷=73(2)a -=3(2)a =3
8a 6(4)x x ÷=61x -=5x
设计意图：重视学生对算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养学生有条理地思考和语言表达的能力.例题的设计有层次，让学生由简入难，一步步迈向成功.这几个例题全部让学生完成，充分让学生动脑、动手、动眼，教师强调最后结果中幂的形式应是最简的.培养了学生多方面分析问题，解决问题的能力，既能活跃思维，培养学生的发散思维能力，又训练了创新思想.
三、范例导航，精讲例题 例1 计算： (1) a 7÷a 4； (2) (-x )6÷(-x )3； (3) (xy )4÷(xy )； (4) b 2m+2÷b 2．
处理方式：每一小题都应先让学生判断是不是同底数幂的除法运算，再说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.学生可能在计算第（2）（3）小题时出现问题，第（2）题的“－”号，教学时可以引导他们与第（1）题对比，加深理解；第
（3）题在同底数幂除法计算后增加了积的乘方的运算，应关注学生对学过的几种幂的运算是否能理解和区别，如果学生出现漏算或混淆的情况，可以让先他们判断运算，再说明算理，还可以根据实际教学情况补充几道对比练习，帮助学生提高认识.
设计意图：例1前两个问题的设置帮助学生体会同底数幂除法的运算；问题（3）(4)(5)的设置帮助学生体会n
m n
m
a
a a -=÷中的a 可以代表数，也可以代表单项式、多项式等.
学以致用 (口答)
四、合作交流，探索拓广 活动内容： 1. 做一做：
104 =10000， 24 =16 10（）=1000， 2（）=8 10（）=100， 2（）=4 10（）=10， 2（）=2
2. 猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：
123101
100.1100.01100.001---==
==
01
2321
122
124
1
28
---====
3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？
处理方式：小组合作完成上述探究，教师深入小组适时点拨，此处要留给学生充分的时间思考、猜测、验证.想一想和猜一猜的目的是使学生通过归纳规律，猜想出零指数幂和负整数指数幂的意义.
小结：我们前面这样推导了同底数幂的除法法则
1086362234(1)55;
(2);
(3)()();(4)().
a a a a a a ÷÷-÷-÷
=
÷n
m a a n m a
n m a
n a m a a a a a a a a a a -=⋅=⋅⋅-
个个个，（a ≠0，m,n 是正整数，且m >n ） 当m=n 时，我们可以类似的得到
=÷=m m a a a 0=⋅⋅
a
m a
m a a a a
a a 个个1，
（0≠a ，m,n 为正整数）； 当m<n 时，先设p= n -m ，那么m-n=-p ，也可以类似的得到
=÷=-n m p
a a a =
⋅⋅
a
n a m a a a a
a a 个个p m n a
m n a a a a a ---==⋅111 个，（0≠a ，p 为正整数）. 利用你们发现的规律，可以用字母表示：0
1(0)a a =≠.1
p p a a
-=
(0a ≠，p 是正整数). 设计意图：把课堂交给学生，让学生充分经历观测、类比、归纳、概括的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力. 让学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.
活动内容：
1. 例2 计算：用小数或分数分别表示下列各数：
203106.1)3(;87)2(10)1(---⨯⨯；
42
03106.1)3(;87)2(10)1(---⨯⨯ 2. 议一议：计算下列各式，你有什么发现？与同伴交流！
20256153)8()8)(4(;
)2
1
()21)(3(;
33)2(;77)1(------÷-÷÷÷
3. 当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是否也成立呢？
处理方式：先让学生独立完成，然后评价，总结，明确：当指数拓广到零和负整数范围后，我们前面学过的同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则仍然适用．
设计意图：熟悉零指数幂和负整数指数幂的意义，并将已学过的同底数幂除法的运算性质中的m 、n 扩大到全体整数．
拓展思维：
已知：a m =3，a n =5 求：（1）a m-n 的值；(2)a 3m-2n 的值． 解：(1) a m-n = a m ÷ a n = 3÷5 = 0.6；
（2）a 3m-2n = a 3m ÷ a 2n = 27÷25=2725
．
五、课堂小结，反思提高
本节课学习了同底数幂相除，你们是如何理解的呢？再运算的时候应注意什么？
师生共同总结：1. 学习了两个公式：01(0)a a =≠ 1
p p
a a -=
(0a ≠，p 是正整数)． 2. 同底数幂除法，底数不变，指数相减， 对这个法则要注重理解“同底、相除、不变、相减”这八个字．
大家对同底数幂相除的运算性质理解深刻，注意熟练运用.另外零指数幂和负整数指数幂的两个公式也要熟练运用.
设计意图：学生畅谈自己学习所得的新知识与个人切身体会，教师予以鼓励，激发学生的学习兴趣与自信心，特别是课上这种由特殊到一般的知识推导方式，更是学数学应掌握的必要方法.通过小结明确本堂课的主要内容、思想和方法，培养学生善于反思的良好习惯.
六、当堂达标，反馈矫正
1.填空：(1)5a a ÷= ________； (2) 5
2
)(()x
x ÷
-- = ________；
(3)16
y ÷________=11
y ；(4)9
()x y -÷3
()x y - =_______.
2．用小数分或数表示下列各数：
(1)0
13⎛⎫
⎪⎝⎭
； (2)()22--； (3)42.710-⨯； (4) 36-. 处理方式：学生独立解答，检查汇报，教师针对情况讲评指导．
设计意图：给学生充足的思维空间，养成思考的习惯，培养学生仔细观察问题的习惯通过练习题使学生能分析具体问题，知识得到巩固与深化，会举一反三.
七、布置作业，巩固提高
必做题：课本 第11页 习题1.4 第1、2题． 选做题：.a b a b x x x -=32, =4, 已知求
设计意图：选做题是对课本知识的延伸拓展延伸，以备学用有余力的学生提高之需,也是对性质的灵活应用.对作业分层次处理，尊重了学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，让“不同的学生在数学上得到不同的发展”．
板书设计:
m
n m n a a a -÷＝
§1.3 同底数幂的除法（1）
1．法则
a m÷a n=a m-n（0
a≠，,m n 都是正整数，m n
>），即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．规定
1
0=
a、
p
p
a
a
1
=
-
（0
≠
a，p为正整数）
例题学生练习区。