第五讲 时间序列的平稳性检验

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ARMA( p, q)
ARIMA( p, d , q) :
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单位根过程
• 随机序列 y t 称为单位根过程，如果，
1
1 1
平稳过程
非平稳过程、非单位根过程
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单位根检验
20世纪70年代,Dickey和Fuller提出了DF统计量,用于检验序列 是否包含单位根过程以及单整的阶数,称为DF检验。
第五节
时间序列的平稳性检验
1
平稳性的检验方法之一:时序图检验方法
• 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时 序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而 且波动的范围有界、无明显趋势及无季节性特征
税收收入（亿元）
80.00%
60.00%
40.00%
20.00%
0.00%
第 1季 19 94 度 年 第 3季 19 95 度 年 第 1季 19 95 度 年 第 3季 19 96 度 年 第 1季 19 96 度 年 第 3季 19 97 度 年 第 1季 19 97 度 年 第 3季 19 98 度 年 第 1季 19 98 度 年 第 3季 19 99 度 年 第 1季 19 99 度 年 第 3季 20 00 度 年 第 1季 20 00 度 年 第 3季 20 01 度 年 第 1季 20 01 度 年 第 3季 度
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ADF检验
ADF检验中两个重要问题: (1)关于位移项和趋势项的判断:实际中并不知道被检验序列的 DGP 属于哪一种形式，怎样选择单位根检验式呢？先采用有趋势 和漂移项的。因为它对应的ADF统计量的检验功效最高。 (2)关于滞后阶数的判断:k尽量小，以保持更大的自由度; k充分 大以消除残差内的自相关。
-100 100
25
200
300
400
500
600
700
800
900 1000
确定性趋势过程：（去势平稳过程）
y=0.1t+u 20 15 10 5 0 -5 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
yt a t t
yt ( yt t ) a t
表 5.1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较 随机游走过程 方差 自相关系数 穿越零均值点的期望时间 记忆性 tu2 (无限的)
随机游走和平稳的AR（1）过程的统计性质
平稳的一阶自回归过程
u2/(1-12) k =1k
有限的 暂时的
(有限的)
k = 1 (k / T ) 1, k, T
yt yt 1 t
DF
ˆ ˆ 1 t ˆ ˆ
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注意
• 1. DF检验采用的是OLS估计。但DF统计量并不服从t分布。
(1 / 2)(W (1) 2 1) W (1) W (i )di{ W (i ) 2 di ( W (i )di) 2 }1 / 2
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检验 1964年—1999年 中国纱年产量序列 的平稳性
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检验1949年——1998 年北京市每年最高气 温序列的平稳性
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平稳性检验之三: 单位根检验
由于伪回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用 非平稳变量。因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问 题。以上介绍了用相关图判断时间序列的平稳性，这里讨 论严格的统计检验方法，即单位根检验。
-20.00% -40.00%
19 94 年
年份
-60.00%
税收收入的增长率
2
平稳性的检验之二: 相关图检验
• 随机变量的相关系数: • 自相关函数:
Cov( yt , yt ) E[( yt )( yt )]
2 0 Cov( yt , yt ) Var( yt ) y
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单位根检验一般程序
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29
phillips-perron 检验
30
31
ARMA( p, q) :
• 如果自回归滞后算子多项式的所有p个根的逆都在单位圆内,则该过 程是一个平稳过程;如果其中一个根位于单位圆上,则称该过程有一个 单位自回归根(unit autoregressive root),简称单位根（unit root）。
ARMA( p 1, q)
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yt yt 1 t
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包含时间和漂移项的随机游走
(含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程)
yt t yt 1 t
含有随机趋势和确定性趋势的混 合随机过程实际上是随机游走加 上一个时间t的2次方过程。
250
y=0.1+0.1t+y(-1)+u
200 150 100 50 0 -50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
平稳过程
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自相关函数的不同形式
4
自相关函数的不同形式
5
• 什么样的自相关函数图形才能判断时间序列是平稳的呢？ 随着位移的增加，所有协方差平稳过程的自相关函数 （和偏自相关函数）都会以某种方式趋近于0，其准确衰 减模式则取决于序列本身的性质。 平稳序列的ACF随着滞后期的增加而迅速下降,而非平 稳序列的ACF随着滞后期的增加而下降的很缓慢,由 此,ACF表示了序列的 “记忆”长度。
Dickey, D. and Fuller, WA (1979) “Distribution of the estimates for autoregressive time series. with a unit root”, Journal of the American Statistical Association, 74: 427-31.

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单整性 单整过程的统计特 征 DF分布 DF临界值 单位根检验
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AR（1）过程
yt yt 1 t
随机游走过程 非平稳过程
1
差分变换
yt yt yt 1 t
平稳过程
单整性
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单整性
• 如果一个非平稳时间序列能够通过适当的差分变换成为平稳的时间序列, 那么该序列就是单整序列(integrated series)。如果只需要一次差分，则 称序列是一阶单整的，或写成I（1）。更一般地，如果需要d次差分，则称 序列是d阶单整的，或I（d）。
0
1
0
1
• 2. DF检验是左单端检验。因为 > 1意味着强非平稳， < 1意味着平稳。当接受 < 1，拒绝 = 1时，自然也应拒 绝 > 1。所以DF检验只考虑两种情形。
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DF检验的其他形式
加入位移（飘移）项：
加入位移项和趋势项：
经验规律： （1）表示流量的序列，如不变价的消费、收入等通常表现为I（1）过程。 （2）增长率变量，例如GDP增长率通常表示为I（0）过程。
无限的 永久的
1
?
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• 包含漂移项的随机游走（random walk with drift）
这是一个趋势项和一个随机游走过程之和，称作随机趋势过 程（差分平稳过程）。 20 120
100 80 60
-40
y=0.1+y(-1)+u
y=-0.1+y(-1)+u
0 -20
40
-60
20
-80
0 -20 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
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实践中如何检验序列的平稳性?

样本自相关函数可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取 值范围在-1到 1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越 高。 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析 图判定时间序列平稳性的准则是： (1)若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置信区间，且逐渐趋于 零，则该时间序列具有平稳性； (2)若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面,则该时间序 列就不具有平稳性。
1 备择假设 〈1
零假设
DF ˆ 1 ˆ s ( )
非平稳 平稳
当DF 临界值时，不能拒绝H 0，yt 非平稳
1 T 2 ˆ ˆ s ( ) ut T t 2
当DF 临界值时，拒绝H 0，yt 平稳
yt yt 1 ( 1) yt 1 t