2017高考新课标数学文二轮复习配套：选择题、填空题专

选择题、填空题专项练(四)
时间：45分钟 满分：80分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2016·河南八市重点高中质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )
A ．A ∪
B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R
C ．(∁U A )∪B ＝R
D ．A ∩(∁U B )＝A
答案：D 解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.
2．(2016·河北联考)若复数z ＝a ＋3i i ＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )
A ．－4
B ．－3
C ．1
D ．2
答案：A 解析：若z ＝a ＋3i
i ＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a <－3，故选A.
3．(2016·广东广州模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，cos θ与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ的值等于( )
A ．－22
B ．0
C ．－1
2 D ．－1
答案：C 解析：∵a ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，cos θ与b ＝(－1,2cos θ)垂直，∴a ·b ＝0，
即－12＋2cos 2 θ＝0，则cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝12－1＝－12.
4．(2016·浙江宁波模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( )
A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β
B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β
C ．a ⊂α，b ⊥β，α∥β
D ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β
答案：C 解析：A.若α⊥β，a ⊥α，a ⊄β，b ⊄β，b ⊥α，则a ∥b ，故A 错；
B ．若a ⊥α，α∥β，则a ⊥β，又b ⊥β，则a ∥b ，故B 错；
C ．若b ⊥β，α∥β，则b ⊥α，又a ⊂α，则a ⊥b ，故C 正确；
D ．若α⊥β，b ∥β，设α∩β＝c ，由线面平行的性质得，b ∥c ，若a ∥c ，则a ∥b ，故D 错．故选C.
5．(2016·云南师大附中月考)已知sin α＝45，且α为锐角，则cos α
2＝( )
A.55
B.255
C.355
D.32
答案：B 解析：∵sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝35＝2cos 2 α2－1，cos 2 α2＝45，∴cos α2＝25
5，故选B.
6．(2016·山西四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8
＝( )
A ．1＋ 2
B ．1－ 2
C ．3＋2 2
D ．3－2 2 答案：C 解析：∵a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列， ∴1
2a 3×2＝a 1＋2a 2，
即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ， 解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)，
∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 7．(2016·山东日照校际联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.4π3
B.5π3 C ．2＋2π3 D ．4＋2π3
答案：B 解析：几何体是由直径为2的半球，和底面直径为2，高为2的半圆柱(被轴截面一分为二)构成，所以体积V ＝12×43πR 3＋1
2×πR 2h ＝12×43π·13＋12×π×12×2＝5π
3.
8．(2016·浙江嘉兴一中模拟)已知函数y ＝3cos x 的图象与y ＝8tan x 在⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，π2的交点为M ，过点M 作x 轴的垂线MN ，直线MN 与y ＝sin x
的图象交于点Q ，则线段MQ 的长度为( )
A ．22－1
3 B.13 C.22
3
D ．2 2
答案：A 解析：设3cos x ＝8tan x ，则3sin 2x ＋8sin x －3＝0，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x ＝13且cos x ＝223，因此|MQ |＝3cos x －sin x ＝22－13.
9．(2016·辽宁沈阳模拟)阅读如图所示的程序框图，若输出的n ＝5，则满足条件的整数p 共有( )
A ．8个
B ．16个
C ．24个
D ．32个
答案：D 解析：由题意知0＋22＋23＋24<p ≤0＋22＋23＋24＋25，其中的整数共有32个，故选D.
10.(2016·天津六校联考)已知集合A ＝{x |log 4 x <－1}，B ＝
{x |2x ≤2}，命题p ：∀x ∈A,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈B ，x 30＝1－x 2
0，则下
列命题中为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．(綈p )∧q
C ．p ∧(綈q )
D ．(綈p )∧(綈q )
答案：C 解析：∵A ＝{x |log 4 x <－1}
＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
0<x <14， ∴命题p ：∀x ∈A,2x <3x 为真命题； ∵B ＝{x |2x
≤2}＝⎩⎨⎧
x ⎪⎪⎪
⎭
⎬⎫x ≤12，
令f (x )＝x 3＋x 2－1，f ′(x )＝3x 2＋2x ，
∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23，0上为减函数． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2327<0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－58<0， ∴当x ≤12时，f (x )<0，即命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20为假命题．
∴p ∧(綈q )为真命题．
11．(2016·海南海口调研)如图，在△ABC 中，C ＝π
3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A ＝( )
A.22
3 B.2
4 C.6
4
D.63
答案：C 解析：依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22
sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .
在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD
sin C ，
即4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，
即42sin A cos A ＝42
3sin A ，
由此解得cos A ＝6
4，故选C.
12．若曲线y ＝1
2e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a ＝( )
A ．－2 B.12 C ．1
D ．2
答案：C 解析：由点P 为曲线y ＝12e x 2
与曲线y ＝a ln x 的公共点可
知，⎩⎨⎧
t ＝12e
s 2，t ＝a ln s .
①
又两曲线在点P 处的导数分别为 ⎩⎪⎨⎪⎧
y P ′＝s e ，
y P ′＝a s ，
由题意得s e ＝a
s ，
∴s ＝e a ，a >0.
将s ＝
e a 代入①中得⎩⎨
⎧
t ＝12e ×e a ＝a 2，
t ＝a ln
e a ＝a (1＋ln a )2
，
∴a 2＝a (1＋ln a )
2，∴ln a ＝0，∴a ＝1. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．(2016·重庆模拟)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为____________________．
答案：2
5 解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4(种)(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25.
14．(2016·四川新津中学月考)已知圆C 过点(－1,0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．
答案：(x ＋3)2＋y 2＝4 解析：设圆C 的圆心C 的坐标为(a,0)，a <0，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.圆心C 到直线l ：y ＝x ＋1的距离为d ＝|a ＋1|2
，又因为该圆过点(－1,0)，所以其半径为r ＝|a ＋1|.由直线l ：y
＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22知，d 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝r 2
，即⎝
⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋2＝|a ＋1|2，解得a ＝－3或a ＝1(舍去)．
所以r ＝|a ＋1|＝2，
所以圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋y 2＝4.
15．设a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 1
2 016－1
2 016，则a ，b ，c 的大小关系为________．
答案：a >b >c 解析：令f (x )＝ln x －x ， 则f ′(x )＝1
x －1＝1－x x .
当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>12 014>12 015>1
2 016>0， ∴a >b >c .
16．(2016·四川自贡一中、二中联考)在平面直角坐标系中，已知M (－a,0)，N (a,0)，其中a ∈R ，若直线l 上有且只有一点P ，使得|PM |＋|PN |＝10，则称直线l 为“黄金直线”，点P 为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是________．
①当a ＝7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a ＝5时，坐标平面内有无数条黄金直线； ③当a ＝3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a ＝0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线． 答案：①②③ 解析：①当a ＝7时，|PM |＋|PN |≥ |MN |＝14>10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a＝5时，|PM|＋|PN|＝10＝|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a＝3时，|PM|＋|PN|＝10>6＝|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a＝0时，点M与N重合为(0,0)，|PM|＋|PN|＝10＝2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有无数条黄金直线．。