高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》分类汇编附答案

【最新】数学《复数》高考复习知识点
一、选择题
1．已知复数z ，则|z |＝( )
A ．
14 B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
解：因为
4i
===，因此|z |＝12
2．已知复数2
1i
z =-+，则（ ） A ．2z =
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为1-
D ．z 的共轭复数为
1i +
【答案】C 【解析】
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()
()()
()21211112
i i z i i i ----==
=---+--，
则
z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误；
z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z
i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )
A B C ．3
D ．5
【答案】B 【解析】
(2)2z i i i i =-=-==B ．
4．已知i 是虚数单位，则131i
i
+=+（ ） A ．2i - B ．2i +
C ．2i -+
D ．2i --
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】
由复数的运算法则有：
13(13)(1)422(1)(11)2
i i i i
i i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】
对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
5．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i -
C ．3i
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()()
362361151
322255i i i i z i i i i -----=
===--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】
复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
6．若43i z =+，则z
z
=（ ） A ．1 B ．1-
C ．
4355
i + D ．
4355
i - 【答案】D 【解析】 【详解】
由题意可得 ：5z =
=，且：43z i =-，
据此有：4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
7．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案. 【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则(
)2
22
2z a b
abi =-+，
2z
为纯虚数22
0020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D. 【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
8．设(
)(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定. 【详解】
()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误；
z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下
方，所以C 正确；
21
3,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；
21
,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C 【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
9．复数
1
1i +的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122i -
C ．1i -
D ．1i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数1
1i
+，进而可得结果. 【详解】 因为
()()1111212
11i i i i i -+--==+， 所以
11i
+的共轭复数是1122i +，
故选：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）
A ．
5
B ．
15
C ．
25
D ．
5
【答案】D
【解析】 【分析】 化简得到13
55
z i =+，再计算复数模得到答案. 【详解】
(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++=
==-，∴1355z i =+
，∴||z =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.
11．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．1 B
C ．2
D
【答案】A 【解析】
分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求
1z i ++的最小值.
详解：设复数z 对应的点Z(x,y),
6=，
它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6， 所以点Z 的轨迹为线段AB,
因为1z i ++
Z 到点C （-1,-1）的距离， 所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A
点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.
12．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，
4
i i e e
ππ
表示的复数在复平面中位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
根据欧拉公式计算
4i i
e e π
π，再根据复数几何意义确定象限.
【详解】
因为
4
22
4422
i
i
e cos isin
i
cos isin
e
π
π
ππ
ππ
+
===-+
+
，所以对应点
22
-
（，，在第
二象限，选B.
【点睛】
本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.
13．已知复数
1
34
z
i
=
+
，则下列说法正确的是（）
A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为
4
25
i
C．复数z的共轭复数为
34
2525
i
+D．复数的模为1
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数的基本概念得选项.
【详解】
13434
34252525
i
z i
i
-
===-
+
，
所以z的实部为
3
25
，虚部为
4
25
-，
z的共轭复数为
34
2525
i
+
1
5
=，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.
14．已知复数z在复平面内对应点是()
1,2
-，i为虚数单位，则
2
1
z
z
+
=
-
（）
A．1i
--B．1i+C．
3
1
2
i
-D．
3
1
2
i
+
【答案】D
【解析】
21z z +=-323
122
i i i -=+- ，选D.
15．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C 【解析】 【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
16．已知复数z 满足(1)2i z i -=，i 为虚数单位，则z 等于 A ．1i - B ．1i +
C ．
11
22
i - D ．
1122
i + 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得2
1z i
=-，根据复数的除法运算即可. 【详解】
由()12i z i -=，可得22(1)112
i z i i +===+-， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题.
17．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ）
A ．i
B ．1
C ．i -
D ．1-
【答案】B 【解析】
()()1i 1i z +=-，则()()()2
1i 1i
2i 1i 1i 1i 2
z ---====-++-i
，1z ∴=，故选B.
18．复数3
21i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）
A ．2155i -
+ B ．
2133
i + C ．2155
i -
- D ．
2133
i - 【答案】C 【解析】
试题分析：由题；
3(21)22121(21)(21)555i i i i i i i i -+-===-+--+-，则共轭复数为：21
55
i --． 考点：复数的运算及共轭复数的概念.
19．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1
z
=( ) A ．i B ．i -
C ．2i
D ．2i -
【答案】A 【解析】
因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010
m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，
则
11i z i
==-.
20．已知i 是虚数单位，则2
3
31i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ）
A ．32i --
B ．33i --
C ．24i -+
D ．22i --
【答案】B 【解析】 【分析】
根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简． 【详解】 ()()()2
2
2
31i 3i 3i i i 12i i 33i 1i
2轾--骣-÷
犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+
臌
故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。