北师版七年级数学下册习题课件：5.3.1x 想利用“三线

△ BDC ≌ △ BDE ， 所 以 BC ＝ BE ， DE
＝DC.又因为∠BAC＝90°，∠AFB＝
∠DFC，所以∠ABF＝∠DCF.又AB＝
AC ， ∠ BAF ＝ ∠ CAE ， 所 以
△ABF≌△ACE(ASA)，即BF＝CE，故
BF＝2CD.
类型六 说明线段的和差关系
11 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AD ⊥ BC 于 点 D ， 且 ∠ABC＝2∠C.
提示：要说明∠DBC＝12∠BAC，只要作出 ∠BAC 的平分线，然后利用等腰三角形的“三 线合一”性质即可说明
类型五 说明线段的倍半关系
10．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长
线于点D. 试说明：BF＝2CD.
解：延长BA，CD交于点E.因为BF平 分∠ABC，CD⊥BD，BD＝BD，所以
6．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF. 试说明：AF⊥CD.
解 ： 连 接 AC ， AD ， 因 为 AB ＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED， 所以△ABC≌△AED(SAS)，所 以AC＝AD.又因为CF＝DF，所 以AF⊥CD.
7．如图，△ABC中，D是AB上一点，且BD＝BC， CE＝DE.
5．如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上
的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一
点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.
试说明：(1)∠CAE＝∠CBF；
(2)AE＝BF.
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底边
上 的 高 线 ， ∴ AC ＝ BC ， ∠ ACP ＝ ∠ BCP. 又
解：7
类型二 说明线段或角相等
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
试说明：DE＝DF.
解：连接AD.因为AB＝AC，BD＝ CD ， 所 以 AD 是 等 腰 三 角 形 底 边BC上的中线，又是顶角的平 分 线 ． 又 因 为 DE ⊥ AB ， DF⊥AC，所以DE＝DF
∵ CP ＝ CP ， ∴ △ ACP ≌ △ BCP(SAS) ．
∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF
(2) 在 △ ACE 与 △ BCF 中 ， ∵ ∠ ACE ＝
∠ BCF ， AC ＝ BC ， ∠ CAE ＝ ∠ CBF ，
∴△ACE≌△BCF(ASA)．∴AEABC上，AB＝AC，D是BC的中点， 点E在AD上．
试说明：BE＝CE.
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴BD ＝ CD， AD ⊥BC ， ∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°.在△EBD和△ECD中，∵BD＝CD， ∠ EDB ＝ ∠ EDC ， ED ＝ ED( 公 共 边 ) ， ∴△EBD≌△ECD(SAS)．∴BE＝CE(全等 三角形的对应边相等)
第五章 生活中的轴对称
专题(四) 利用“三线合一”解题
类型一 求线段的长或角的度数 1．已知：如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶
A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B， ∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
解 ： ∠ B ＝ ∠ C ＝ 40 ° ∠BAD＝∠CAD＝50°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB＝ BC，DE⊥AB于点E，若CD＝4，且△BDC的周长 为24，求AE的长．
试说明：AD垂直平分EF.
解 ： ∵ DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， ∠ BAD ＝ ∠ CAD ， AD ＝ AD ， ∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF， ∴AD垂直平分EF.
类型四 说明角的倍半关系
9．如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D. 试说明：∠DBC＝12∠BAC.
试说明：CD＝AB＋BD.
解：以A为圆心，AB他为半径画弧交CD于点 E，连接AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC.因 为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝ BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C. 而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所 以∠CAE＝∠C.过点E作EF⊥AC于点F，易知 △AEF≌△CEF，则CE＝AE＝AB，故CD＝AB ＋BD.
试说明：CD⊥BE.
解：在△BCE和△BDE中，BE＝ BE ， BC ＝ BD ， CE ＝ DE ， ∴△BCE≌△BDE(SSS)，∴∠CBE ＝ ∠ DBE. 又 ∵ BD ＝ BC ， ∴CD⊥BE.
8．已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE， DF分别是△ABD和△ACD的高．