第二章 不等式章节测试

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不等式章节测试
一、选择题：
1、不等式x 〉11
-x 的解集是
A.（-∞，1）
B.（-∞，1）⋃（1，51+）
C.（-∞，1）⋃（251+，+∞）
D.（-∞，0）)1,0(⋃⋃（251++∞）
2、已知22
)2
1(,21,,2-=-+
=∈>n q a a p R x a ，则q p ,的大小关系是 A.q p ≥ B.q p > C.q p < D.q p ≤
3、下列各组命题中，M 是N 的充要条件的是
A.M ：b a >；N ：2
2bc ac > B.M ：b a >，d c >；N ：c b d a ->-
C.M ：;0,0>>>>d c b a N ：bd ac >
D.b a -=a +b ；N ：0≤ab
4、不等式组⎩⎨⎧〈-〉-a
x a x 2412有解，则实数a 的取值范围是
A.（-1，3）
B.（-∞，-1）⋃（3，+∞）
C.（-3，1）
D.（-∞，-3）⋃（1，+∞） 5、方程Sin 2x+cosx+k=0有解，则k 的范围是
A.451≤
≤-k B.045≤≤-k C.450≤≤k D. 04
5
≤≤-k 6、若0>x ，0>y 且
18
2=+y
x ，则xy 有 A.最大值64 B.最小值64 C.最小值
641 D.最小值2
1 7、若不等式022
>+-a ax x 对R x ∈恒成立，则关于t 的不等式13
21
22
<<-++t t
t a a 的
解为
A.21<<t
B.12<<-t
C.22<<-t
D.23<<-t 8、买4枝郁金香和5枝丁香的金额和小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额之和大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是
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A.2枝郁金香贵
B.3枝丁香贵
C.相同
D.不能确定 9、不等式22x a -＜)0(2>+a a x 的解集是
A.Φ
B.（0，+∞）⋃（-∞，-54
a ）
C.（0，a ]
D.（0，a ）
10、若,,R b a ∈则使1||||>+b a 成立的充分而不必要条件是 A. 1||||≥+b a B.21||≥
a 且2
1
||≥b C.1≥a （1，2） D.1-<b 11、设数集M=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+≤≤43|m x m x ，N`={}
n x n x ≤≤-1，且M 、N 都是集合{}10|≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x
≤≤的“长度”
，那么集合M ⋂N 的“长度”的最小值是 A.
31 B.32 C.121 D.12
5
12、设A （11,y x ），B （22,y x ）（21x x <）是函数)0(sin <<-=x x y π上两不同点，
试根据函数图象特征判定下列四个不等式的正确性：①
2
2
11sin sin x x x x <
; ②21sin sin x x < ；③
;2sin )sin (sin 21
2121x x x x +>+④ 2
sin 2sin 21x x x >其中正确的不等式的个数是（ ）
二、填空题：
13、设10<<x ，则函数x
x y -+=
111的最小值为 14、若不等式1-x ＜a 成立的充分条件是40<<x ，则a 的取值范围是
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15、已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别为（-1，1）和（2，2），若直线L ：
0=++m my x 与PQ 的延长线的相交，则m 的取值范围是
16、关于x 的不等式1)lg()520lg(2+->-x a x 的整数解只有1，则实数a 的取值范围是
三、解答题：
17、解关于x 的不等式1|232|≤---a
x a
x
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18、⑴ 已知<a 1，b ＜1，求证：b a ab ->-1
⑵求实数λ的取值范围，使不等式b a ab ->-λλ1对满足<a 1，b ＜1的一切实数b a ,恒成立。

19、设10<<a ，3
3log )(+-=x x x f a 的定义域为[α，β），值域为（)
1()1(log ,log --αβa a
a a ）， ① 证明：α＞3
② 证明：)(x f 在[α，β）上是减函数 ③求a 的取值范围
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20、已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/小时，船
在静水中的速度为ν千米/小时（8＜)0v v ≤。

若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当ν=12千米/小时，每小时的燃油费为720元，为了使全程燃油费最省，船的实际速度应为多少？
21、设n ∈N *,n ≥2，求证：2＜（1+3)1<n n
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22、给定函数c bx ax x F ++=2)(，以及,)(2a bx cx x G ++=
其中)0(F ≤1，
)1(F ≤1，)1(-F ≤1，
证明：对于x ≤1，① )(x F ≤4
5
；② )(x G ≤2
第二章单元测试题
1、C ，x 很大时不等式显然成立，故排除A 、B ，又x=0时不等式成立，故选C 。

2、A ，∵p=a-2+2
1-a +2≥4，0＜q ≤4；∴p ≥q 3、D
4、A ，由不等式组有解知a 2+1＜2a+4，解证-1＜a ＜3
5、D ，k=cos 2x-cosx-1，∵cosx ∈[-1，1]，∴k ∈[-4
5，1] 6、B ，1=y
x 82+≥2y
x 8
2⋅=xy
8 ∴xy ≥64
7、A ，由x 2
-2ax+a ＞0对x ∈R4完成已知0＜a ＜1,∴2t+1＞t 2
+2t-3＞0，解得1＜t ＜2 8、A,设每枝郁金香x 元，每枝丁香y 元，问题即为若4x+5y ＜22，6x+3y ＞24，则2x 与3y 谁大，用不等式性质或线性划知识可解。

9、C ，原不等式组化为,440202
22222⎪⎩
⎪
⎨⎧++<-≥+≥-a ax x x a a x x a 解得⎪⎩⎪⎨⎧>-<-≥≤≤-0542
x a x x a
x a a 或 ∴0＜x ≤a
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10、D.
11、C ，由题意可得0≤m ≤41，3
1≤n ≤1，当n=1，m=0时，M ⋂N 的“长度”取得最小值121。

12、C ，通过举反例排除②、④，把x
x sin 看作是（0，0），（x ，sinx ）两点连线斜率可判断①正确，由点（
2sin sin 2
2
12
1,
x x x x ++）在点（
2
2
212
1sin
,x x x x ++）上方知③正确。

13、4，y=x
x -+111=22
1)(11x x -+≥
=4，当x=1-x 即x=2
1时取等号。

14、a ≥3，由1-x ＜a 知1-a ＜x ＜1+a ，故（0，4）⊆（1-a ，1+a ），∴a ≥3 15、（-3，-3
2） 16、[2，)25 lg(20-5x 2)＞lg10(a-x)⎪⎩
⎪
⎨⎧->->->-⇔)
(105200)(100
52022x a x x a x
⎩
⎨⎧
<-+-=<⇔0)2(22)(2
a x x x f a x ，因为不等式的整数解只有1， ∴⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<>0)0(0)1(1f f a ⇒2≤a ＜2
5 17、原不等式价于⎩⎨⎧-≥≤------11232232a x a x a x a
x ⇔⎩⎨⎧⎩⎨⎧<+≥+≤<⇔≥≤+--+-a x a x a x a a x a
x a x 或1300)]
1([3)3( 故原不等式的解集为{}
31+≤≤+a x a x
18、⑴ ab -12
-b a -2
=1+a 2b 2
-a 2
-b 2
=(a 2
-1)(b 2
-1)
∵a ＜1，b ＜1 ∴a 2
-1＜0，b 2
-1＜0
∴ab -12
-b a -2
＞0 即ab -1＞b a -。

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⑵
b
a a
b --λλ1＞12
2
1b a ab ---⇔λλ=（a 2λ2-1）(b 2
-1)＞0
∵b 2
＜1 ∴a 2
λ2
-1＜0对于任意满足a ＜1的a 恒成立，
当a =0时a 2
λ2
-1＜0成立
当a ≠0时，要使λ2＜2
1a 对于任意满足a ＜1的a 恒成立
而
2
1a ＞1 ∴λ≤1 故λ∈[-1，1]
19、解：1）由
03
3
>+-x x 得3-<x 或3>x [3
01,013
3),)(>>∴>->->>-<<∴αβαβαββαβα又或的定义域为
x f
2）在[
),βα内任取21,x x 且21x x <则
[上是减函数
在又),)()()(100)
3)(3()
(633331212121122βαx f x f x f a x x x x x x x x ∴<∴<<>++-=+--+-
3）由)(x f 在[),βα上是减函数及值域知 [][])1(log )(,)1(log )(-=-=ββαa f x a f a a
[]432100
)3(3221033)12()(3033)12(3)1(log 3
3
log ,22-<<⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧>>->∆-+-+==-+-+∴>∂>-=+-∂∴a g a
a a x a ax x g a x a ax x a x x a a
令的实根有两个大于方程又的两个根是方程ββ
20、设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k(k ＞0)，则y 1=νk 2
， 当ν=12小时，y 1=720得k=5，设全程的燃料费为y ，依题意
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有：y=y 1•8200-ν=8
10002
-νν=1000(8648-++νν)=1000(168864++--νν)≥32000 当8
648-=-νν 即ν=16时取“=” ∵8＜N ≤0ν ∴当0ν≥16时, ν =16时全程燃料费最省；
当0ν＜16时，合t=8864-+-νν，则t(ν)=8864-+-νν在（8，0ν）上是减函数，当ν=0ν
时，y min =8
100002
0-νν
21、∵(1+n 1)n
=1+C 1
n •n
1+ C 2
n •2
1n +……
n
n 1
，n ∈N ，n ≥2
1
222!12)...2)(1(....!3)2)(1(12)1(11)11(2
1....12)1(11)11(-⋅⨯--+
+--+⋅-++=+>++⋅-++=+∴n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
3
)1
1(23
213211)
211(21221
....212111!1
....!31!2111111
2<+<∴<-=--+=+++++<++++
+<---n n n n n
n
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)0(1)1(2
)1()1(2)1()
0()1()1(2)
1()1(2)1()()0()1()1(2
)1()1(2)1()
0(2
)
1()1(2)0(2)1()1()(2
)
1()1(,2)0(2)1()1()1(,)1(,)0()1.(222222F x F x x F x x F x F x x F x x x F F x F x x F x x F x F F x F F F x F F F b F F F a c b a F c b a F c F ⋅-+-⋅-+++≤
-+--++=∴⋅-+--++=+--+--+=∴--=
--+=∴+-=-++==
4
5
)(4
5
45)21(1)1()1(2
)1(2)(110,210,1112
)
1(2)1(22222
≤
≤
+--=++-=-+-++≤
∴≤-≤≤+≤≤≤--+-++≤
x F x x x x x x
x x x F x x x x x x x x 即 (2)2
)
0(2)1()1(2)1()1()0()(2
F F F x F F x F x
G --++
--+
= []2
211)(01,01,011,12
1211)1(2
1)1(21)0(1)1(21)1(21)0()1(222222≤-=+-≤∴>->+>-∴-∈-+++
-≤-⋅-+⋅++⋅-≤--+++-=x x x G x x x x x x x F x
F x F x F x F x F x
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