2015年河南省许昌市中考一模数学试卷(解析版)

2015年河南省许昌市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）下列小题均有四个答案，其中只有一个是
正确的，将正确的答案的代号字母填入题号括号里
1．（3分）﹣2是2的（）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
2．（3分）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1D．x2+2x+1
4．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
5．（3分）已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（）A．众数是3B．中位数是6C．平均数是4D．方差是5
6．（3分）若方程mx+ny＝6的两个解，，则m，n的值为（）A．4，2B．2，4C．﹣4，﹣2D．﹣2，﹣4 7．（3分）已知点A（n2+1，n）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，则（）A．n＞0B．n＜0C．n≥﹣2D．n≤﹣2
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD ＝30°，BC＝6，那么△ACD的面积是（）
A．B．C．2D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．（3分）计算＝．
10．（3分）如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段．
11．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m＝．12．（3分）甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是．13．（3分）如图，点A在函数y＝x（x≥0）图象上，且OA＝，如果将函数y ＝x2的图象沿射线OA方向平移个单位长度，那么平移后的图象的函数关系式为．
14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是4，E是BC的中点，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ＝4．若点P从点A出发，沿A→B→E的线路，
向点E运动，相应的，点Q在DA，AB上运动．则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）若（x+1）2＝6，求多项式（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3的值．17．（9分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
18．（9分）一次函数y1＝﹣x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣4，m）．
（1）观察图象，在y轴的左侧，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；（2）求出反比例函数的解析式．
19．（9分）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）
参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD 的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
21．（10分）为了缓解市内交通拥堵，市政府决定对长4000米的某路段进行扩建，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天
的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队每天修路长度是乙工程队的2倍；乙工程队单独完成这项工程比甲工程队单独完成要多用40天．
（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工总费用最低，甲乙两队应各做多少天？最低费用是多少？
22．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5．OA与⊙O 相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC＝2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
23．（11分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）点B的坐标为，点D的坐标为，∠CDE的度数为；（2）点M是折线B﹣D﹣C上的一个动点，过点M作MN⊥DE，垂足为N，连接BM、BN．如果M点的横坐标为m，△BMN的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若抛物线上有一点P，作PQ⊥CD，交射线CD于点Q，使∠CPQ＝∠BDE，请直接写出点P的坐标．
2015年河南省许昌市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）下列小题均有四个答案，其中只有一个是
正确的，将正确的答案的代号字母填入题号括号里
1．（3分）﹣2是2的（）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
【解答】解：﹣2是2的相反数，
故选：B．
2．（3分）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．
故选：B．
3．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1B．x（x﹣2）+（2﹣x）
C．x2﹣2x+1D．x2+2x+1
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；
B、x（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；
C、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故C选项不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，故D选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝60°，
∵∠2＝45°，
∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．
故选：A．
5．（3分）已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法正确的是（）A．众数是3B．中位数是6C．平均数是4D．方差是5
【解答】解：A、数据3出现2次，最多，故众数为3，故A选项正确；
B、排序后位于中间位置的数为3，故中位数为3，故B选项错误；
C、平均数为3，故C选项错误；
D、方差为2.8，故D选项错误．
故选：A．
6．（3分）若方程mx+ny＝6的两个解，，则m，n的值为（）A．4，2B．2，4C．﹣4，﹣2D．﹣2，﹣4
【解答】解：∵方程mx+ny＝6的两个解，，
∴，
解得：．
故选：C．
7．（3分）已知点A（n2+1，n）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，则（）A．n＞0B．n＜0C．n≥﹣2D．n≤﹣2
【解答】解：∵点A（n2+1，n）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，
∴n＝﹣2（n2+1）＝﹣2n2﹣2，
∵n2≥0，
∴n≤﹣2．
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD ＝30°，BC＝6，那么△ACD的面积是（）
A．B．C．2D．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB＝AD＝x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝x．
在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，则∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝x，
∴DF＝AE＝＝x，
在Rt△CDF中，∠FCD＝30°，则CF＝DF•cot30°＝x．
又∵BC＝6，
∴BE+EF+CF＝6，即x+x+x＝6，
解得x＝2
∴△ACD的面积是：AD•DF＝x×x＝×22＝，
故选：A．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．（3分）计算＝4．
【解答】解：原式＝3+1＝4，
故答案为4．
10．（3分）如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段AD＝BC．
【解答】解：在△CAB和△DBA中，
，
∴△CAB≌△DBA（AAS），
∴BC＝AD．
11．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m＝9．【解答】解：∵方程有两个相等实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，
∴m＝9．
故答案为：9．
12．（3分）甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是．【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况，
∴甲、乙二人相邻的概率是：＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，点A在函数y＝x（x≥0）图象上，且OA＝，如果将函数y ＝x2的图象沿射线OA方向平移个单位长度，那么平移后的图象的函数关系式为y＝x2﹣2x+2．
【解答】解：∵函数y＝x2的顶点为O（0，0），
∴将函数y＝x2的图象沿射线OA方向平移个单位长度，OA＝，
∴点O的对应点为点A．
设A（x，x），由OA＝，得A（1，1），则平移后的图象的顶点为A．
又∵平移前后二次项系数不变，
∴其函数解析式为：y＝（x﹣1）2+1，即y＝x2﹣2x+2．
故答案为y＝x2﹣2x+2．
14．（3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）．
【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，
∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE＝4，
则B′E＝4，即B′E＝AE，
∵C′O∥AE，
∴B′O＝C′O＝3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故答案为（0，3）．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是4，E是BC的中点，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ＝4．若点P从点A出发，沿A→B→E的线路，向点E运动，相应的，点Q在DA，AB上运动．则点P从A到E的运动过程
中，PQ的中点O所经过的路线长等于．
【解答】解：画出点O运动的轨迹，如图红线部分，
则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于+
＝，
故答案为：
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（8分）若（x+1）2＝6，求多项式（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3的值．【解答】解：∵（x+1）2＝6，
∴x+1＝±．
∴（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3
＝x2+4x+4+2﹣2x+x﹣x2﹣3
＝（x2﹣x2）+（4x﹣2x+x）+（4+2﹣3）
＝3x+3
＝3（x+1）
＝±3．
17．（9分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有1000名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%＝1000（名）；
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150＝200，
补图如下；
（3）18000×＝3600（人）．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
18．（9分）一次函数y1＝﹣x﹣1与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣4，m）．
（1）观察图象，在y轴的左侧，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；（2）求出反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）在y轴的左侧，当y1＞y2时，x＜﹣4；
（2）把点A（﹣4，m）代入y1＝﹣x﹣1得m＝﹣×（﹣4）﹣1＝1，
则A点坐标为（﹣4，1），
把A（﹣4，1）代入y2＝得k＝﹣4×1＝﹣4，
所以反比例函数的解析式为y2＝﹣．
19．（9分）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地
面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）
参考数据：≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．
【解答】解：过B点作BD⊥AC于D．
∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，
∴在Rt△ADB中，AD＝，
在Rt△CDB中，CD＝BD，
∵AC＝AD+CD＝24m，
∴+BD＝24，
解得BD≈17m．
AB＝≈18m．
故这棵古杉树AB的长度大约为18m．
20．（9分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD 的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
【解答】（1）证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，∴△ABC∽△BGC，
∴＝，
即＝，
∴CG＝，
∵FG＝CG，
∴FC＝2CG＝，
∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝，
∴当AF＝时，四边形BCEF是菱形．
21．（10分）为了缓解市内交通拥堵，市政府决定对长4000米的某路段进行扩建，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队每天修路长度是乙工程队的2倍；乙工程队单独完成这项工程比甲工程队单独完成要多用40天．
（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工总费用最低，甲乙两队应各做多少天？最低费用是多少？
【解答】解：（1）设乙队每天修路x米，则甲队每天修路2x米，
依题意得，﹣＝40，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
当x＝50时，2x＝100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米；
（2）设甲工程队修a天，乙工程队修b天，
依题意得，100a+50b＝4000，
所以，b＝80﹣2a，
∵0≤b≤30，
∴0≤80﹣2a≤30，
解得25≤a≤40，
又∵0≤a≤30，
∴25≤a≤30，
设总费用为W万元，依题意得
W＝0.6a+0.35b＝0.6a+0.35（80﹣2a）＝﹣0.1a+28，
∵﹣0.1＜0，
∴当a＝30时，W
＝﹣0.1×30+28＝25（万元），
最小
此时b＝80﹣2a＝80﹣2×30＝20．
答：甲工程队应做30天，乙工程队应做20天，最低费用为25万元．22．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5．OA与⊙O 相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC＝2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下：
连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP＝OB＝r，P A＝5﹣r，
则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2，
AC2＝PC2﹣P A2＝﹣（5﹣r）2，
∴52﹣r2＝﹣（5﹣r）2，
解得：r＝3，
∴AB＝AC＝4，
∵PD是直径，
∴∠PBD＝90°＝∠P AC，
又∵∠DPB＝∠CP A，
∴△DPB∽△CP A，
∴＝，
∴＝，
解得：PB＝．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；
（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE＝AC＝AB
＝
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE＝≤r，
≤2r，
25﹣r2≤4r2，
r2≥5，
∴r≥，
又∵圆O与直线相离，
∴r＜5，
即≤r＜5．
23．（11分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）点B的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，﹣4），∠CDE的度数为45°；
（2）点M是折线B﹣D﹣C上的一个动点，过点M作MN⊥DE，垂足为N，连接BM、BN．如果M点的横坐标为m，△BMN的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若抛物线上有一点P，作PQ⊥CD，交射线CD于点Q，使∠CPQ＝∠BDE，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0得：
x1＝﹣1，x2＝3，
则点B的坐标为（3，0），
∵点D为抛物线的顶点，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
如图1，过点C作CM⊥DE与M，
∵点C的坐标是（0，﹣3），
∴EM＝3，
∴DM＝4﹣3＝1，
∵CM＝1，
∴DM＝CM，
∴∠CDE＝∠DCM＝45°，
故答案为：（3，0），（1，﹣4），45°；
（2）如图2：当点M在BD上时，1≤m≤3，设直线BD的解析式为y＝kx+b，
由题意
解得，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣6，
点M的坐标为（m，2m﹣6）．
＝（m﹣1）（6﹣2m）＝﹣m2+4m﹣3．∴S
△BMN
当m＝2时，S有最大值1．
如图3：当点M在CD上时，0≤m≤1．
∵∠CDE＝45°，
∴MN＝DN＝1﹣m，
＝（1﹣m）（4﹣1+m）＝﹣m2﹣m+．
∴S
△BMN
当m＝0时，S有最大值，
综上，S的最大值为．
（3）如图4：延长PQ交y轴与点F，过点P作PG⊥y轴，∵△PCQ∽△DBE，
∴＝＝，
∴PQ＝2CQ，
设CQ＝a，则PQ＝2a，
∵△CQF，△PGF均为等腰直角三角形，
∴QF＝a，CF＝a，PF＝3a，
∴PG＝FG＝a，
∴CG＝a﹣a＝a，
∴P（a，﹣3+a），
代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3，解得a＝，
∴P（，﹣）．。