专题2.5 数列中的最值问题(讲)-(文)二轮复习讲练测

热点五 数列中的最值问题
数列中的最值问题在高考中出现的频率较高，注意考查：等差数列前n 项和
的最值问题和数列与函数、不等式的结合.等差数列前n 项和的最值问题是高考考
查的热点之一，考查形式为选择或填空小题，也可以是解答题的一个小题，是中
档题；数列与函数、不等式的结合，是高考考查的重点和热点，重点考查利用数列的相关知识和函数、不等式知识求数列的最值或已知不等式成立求参数取值范围或是证明不等式，为解答题的一个小题，难度为中档偏上试题.
1 等差数列中的最值问题
求等差数列前n 项和的最值问题的方法：
（1）二次函数法：将n S 看成关于n 的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n 是正整数这一条件.
（2）通项公式法：若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，
①若10a >，0d <，且满足1
00n n a a +≥⎧⎨≤⎩，则前n 项和n S 最大; ②若10a <，0d >，且满足1
00n n a a +≤⎧⎨≥⎩，则前n 项和n S 最小. （3）不等式法：借助n S 取最大值时，有
，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应n S 的值（即为n S 的最值）.
例1【2018年11月浙江省学考】等差数列
的公差为d ，前n 项和为，若，则当取得最大值时，n ＝
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C
【解析】 根据题意，等差数列中，， 则， 又由为等差数列，则
， 又由，则， 则当时，取得最大值； 故
选：C ．
例2已知数列{}n a 是等差数列，
，则前n 项和
n S 中最大的是（ ） A ．3S B ．4S 或5S C ．5S 或6S D ．6S 【答案】B.
【解析】由已知，，由
得5n ≤，所以40a >，50a =，60a <，所以45S S =是n S 中的最大值．故选B ．
2.数列与函数、不等式的结合中的最值问题
(1)求数列}{n a 的前n 项和n S 的最值，主要是两种思路：①研究数列)(n f a n =的项的情况，判断n S 的最值；②直接研究n S 的通项公式，求n S 的最值.
(2) 求数列}{n a 的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数)(x f y =的性质，求数列
)(n f a n =的最值；②利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+1
1k k k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况. (3)对数列不等式相结合的最值问题，往往借助于函数的性质（如二次函数、“对号函数”、指数函数等）或基本不等式.
例3【四川省宜宾市第四中学2019届高三12月月】正项等比数列
中,，若,
则的最小值等（ ） A ．1 B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】
∵正项等比数列{a n }中，a 2018＝a 2016+2a 2014，
a 2014q 4＝a 2014q 2+2a 2014，
∵a 2014＞0，
∴q 4＝q 2+2，
解可得，q 2＝2，
∴
， ∵
，
4
q m+n﹣2＝4，
∴m+n＝6，
则（）（m+n），
当且仅当且m+n＝6即m＝n＝3时取等号．
故选：C．
例4【四川省攀枝花市2019届高三第一次统考】已知数列的前项和为,,且
,则的最小值和最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由，得，
化为，
，
，
当时，最小值为；
当时，最大值为，故选D.
例5设等差数列的前项和为，，，若，，则数列的最小项是A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项
【答案】B
例6【云南省昆明市2019届高三1月测试】已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）8.
【解析】
（1）由，得
解得，或，（舍）.
所以.
（2）由（1）可知：.
因为，所以单调递增.
所以，恒成立时，
又因为，故的最小值为8.
例7【贵州省高三11月37校联考】记为等比数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；学-科网
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【反思提升】数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 或 )等.已知数列的前n 项和n s 的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：（1）将和n s 转化为项n a ,即利用
将和转化为项.（2）可将条件看作是数列{}n s 的递推公式，先求出n s ，然后题目即转化为已
知数列的前n 项和n s ，求数列通项公式n a ．。