湖北省黄冈市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末达标检测试题

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x ，y 满足(
)()
2212411x x y y ++++=，则x 与y 的关系是（ ）
A ．0x y ==
B ．0xy =
C ．20x y +=
D ．20x y +>
2．如图所示阴影部分是由函数x y e =、sin y x =、0x =和2
x π=
围成的封闭图形，则其面积是（）
A ．2
2e π
+
B ．2
2e π
-
C ．2e
π
D ．
22e π
-
3．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
4．若实数
满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A ．
B ．1
C ．10
D ．12
5．在等差数列{}n a 中0n a >，且122019...4038+++=a a a ，则12019⋅a a 的最大值等于( ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =（ ） A ．e -
B ．e
C ．2
D ．-2
7．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ） A ．12种
B ．24种
C ．48种
D ．60种
8．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A ．
112
B ．
12
C ．
13
D ．
16
9．函数()cos f x x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ）
A ．0y =
B ．20x y -=
C ．0x y +=
D ．0x y -=
10．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥1．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ￢∧
C ．p q ∧￢
D ．p q ∧￢￢
11．复数34i -的模是( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
12．设函数()f x 满足()()()2
2
2,2,8
x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )
A ．有极大值，无极小值
B ．有极小值，无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
二、填空题：本题共4小题
13．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点B 与椭圆的两个焦点1F 、2F 组成的三角
形的周长为4+1223
F BF π
∠=
，则椭圆的方程为________. 14．命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是______．
15
．二项式6
ax ⎛ ⎝⎭
的展开式中5x
2
0a
x dx =⎰________. 16．一个正方体的8个顶点可以组成__________个非等边三角形. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付50元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已知一年中的出险率为0.15%，现有6000人参保.
（1）求保险公司获利在[)6,12（单位：万元）范围内的概率（结果保留小数点后三位）； （2）求保险公司亏本的概率．（结果保留小数点后三位） 附：()600060000
0.00150.9985k
t
t t i P k C
-==
⨯⨯∑.
18．2019年高考前夕某地天空出现了一朵点赞云，为了将这朵祥云送给马上升高三的各位学子，现以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，在直角坐标
系xOy 中，曲线2C 的参数方程为cos 7sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（θ为参数），曲线3C 的参数方程为1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t
为参数）.
（1）求曲线123,,C C C 的直角坐标方程：
（2）点P 为曲线2C 上任意一点，点Q 为曲线3C 上任意一点，求||PQ 的最小值。

19．（6分）观察下列等式:
311=； 33123+=；
3331236++=； 3333123410+++=； 333331234515++++=；
(1)猜想第n(n ∈N *)个等式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.
20．（6分）已知函数()x
f x xe =，e 为自然对数的底数.
（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间与极值.
21．（6分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 32sin a b A =. （1）求角B 的大小； （2）若7b =
5a c +=，求ABC ∆的面积.
22．（8分）已知函数()2log 1n f x m x ⎛
⎫
=+
⎪+⎝
⎭
为奇函数，其中,,0m n R m ∈< ()1求,m n 的值；
()2求使不等式()1f x ≥成立的x 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
设a x =
，2b y =+1ab =
，对2a x b y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩22
2141
a ax
b by ⎧-=⎨-=⎩，代入1ab =得24a x b
b y a -=⎧⎨-=⎩，两式相加即可. 【详解】
设a x =
，2b y =+ 则1ab =且,0a b ≠
2a x b y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩
等式两边同时平方展开得：
222222
214441a ax x x b by y y ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 即2221
41a ax b by ⎧-=⎨-=⎩
令等式中1ab =，化简后可得：
24a x b
b y a -=⎧⎨
-=⎩
两式相加可得20x y += 故选：C 【点睛】
本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题 2．B 【解析】 【分析】
根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。

【详解】
由定积分的几何意义可知：
阴影部分面积
2
22
2
(sin)(cos)(cos)(cos0) 2.
2
x x
s e x dx e x e e e π
ππ
ππ
=-=+=+-+=-⎰
故选B.
【点睛】
本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．
3．C
【解析】
【分析】
根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数. 【详解】
设抽取x件，次品全部检出的概率为
22
28
10
0.6
x
x
C C
C
-
>，化简得()154
x x->，代入选项验证可知，当8
x=
时，符合题意，故选C.
【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值
.
解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 5．B 【解析】 【分析】
先由等差数列的求和公式，得到120194+=a a ，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】
因为在等差数列{}n a 中122019...4038+++=a a a ， 所以
120192019()
40382
+=a a ，即120194+=a a ，
又0n a >， 所以2
1201912019
42+⎛⎫
⋅≤= ⎪⎝⎭
a a a a ，
当且仅当120192==a a 时，12019⋅a a 的最大值为4. 故选B 。

【点睛】
本题主要考查基本不等式求积的最大值，熟记等差数列的求和公式以及基本不等式即可，属于常考题型. 6．D 【解析】
试题分析：题中的条件()2(1)ln f x xf x +'=乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了．对()f x 进行求导：()f x '=，所以(1)f '=
，(1)f '=-1.
考点：本题考查导数的基本概念及求导公式．
点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数()f x 进行求导；②的导数不知道是什么．实
际上是一个常数，常数的导数是0.
7．D 【解析】 【分析】
直接根据乘法原理得到答案. 【详解】
根据乘法原理，一共有54360⨯⨯=种选法.
【点睛】
本题考查了乘法原理，属于简单题. 8．C 【解析】 【分析】
基本事件总数n 23
43C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此
能求出小明恰好分配到甲村小学的概率． 【详解】
解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，
基本事件总数n 23
43C A ==36，
小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322
332A C A =+=12，
∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363
m n ===． 故选C ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．D 【解析】
分析：由题意，求得()f x '，得到()()0,0f f '，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程； 详解：由题意，函数()cos f x x x =，则()cos sin f x x x x =-'， 所以(0)1f '
=，即切线的斜率为1k =，
又()00f =，所以切线过点(0,0)，所以切线的方程为y x =，即0x y -=，故选D ．
点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程问题，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10．B 【解析】 【分析】
先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】
命题p ：∃x=1∈R ，使x 2-x+1≥1成立．
故命题p 为真命题；
当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，
故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选：B ． 【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 11．C 【解析】 【分析】
直接利用复数的模的定义求得34i -的值． 【详解】
|345i -==， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题． 12．D 【解析】 【分析】 【详解】
函数()f x 满足2
'()2()x e
x f x xf x x
+=，
()2
'x e x f x x
⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2
F x x f x =， 则()()()2
',24?22
x e e F x F f x ===，
由()()2'2x
e x
f x xf x x +=，得()()3
2'x e F x f x x
-=，令()()2x
x e F x ϕ=-， 则()()()2'2',x x
e x x e F x x
ϕ-=-=
()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.
又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，
()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】
本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2
F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
二、填空题：本题共4小题
13．22
14
x y +=或2214y x +=
【解析】 【分析】
先假设椭圆的焦点在x 轴上，通过直角三角形△2F OB 推出a ，c 的关系，利用周长得到第二个关系，求出a ，c 然后求出b ，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在y 轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案. 【详解】
设椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为2a ，焦距为2c ，如图所示， 则在△2F OB 中，由23
F BO π
∠=
得：3
2
c a =
， 所以△21F BF 的周长为2223423a c a a +=+=+， 2a ∴=，3c =
，
21b ∴=；
故所求椭圆的标准方程为2
214
x y +=．
当椭圆的焦点落在y 轴上，同理可得方程为：2214
y
x +=.
故答案为：22
14
x y +=或2214y x +=
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出a ，b 的值，易错点是没有判断焦点位置．
14．如果 1x ≤或 2y ≤ ，则 3x y +≤ 【解析】 【分析】
由四种命题之间的关系，即可写出结果. 【详解】
命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是“如果 1x ≤或 2y ≤ ，则 3x y +≤”. 故答案为：如果 1x ≤或 2y ≤ ，则 3x y +≤ 【点睛】
本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 15．
1
3
【解析】
分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．
详解：二项式6
6ax ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r r
r T C ax a C x r ---+===，
令1r =，可得5x
的系数为51
566
a C ⋅=，
5= 解得1a =．
∴1
2
3100
11|33
x dx x =
=⎰
． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．
16．48
【解析】
分析：从正方体的8个顶点中人取三个点共有3
8C 种取法，其中等边三角形共有8个，作差即可得结果. 详解：从正方体的8个顶点中人取三个点共有38C 种取法，
其中等边三角形共有8个，
所以非等边三角形共有
38848C -=个，故答案为48. 点睛：本题主要考查组合数的应用，属于简单题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）0.289；（2）0.022.
【解析】
【分析】
（1）由题意知，总的保费为30万元，分析出保险公式获利6万元和12万元的人数X 别为12X =、9X =，由此得出所求概率为()()()912129P X P X P X ≤<=≤-≤；
（2）由题意得出保险公式亏本时15X >，由此可得出所求概率为()()15115P X P X >=-≤.
【详解】
每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤害看作成功，则成功概率为0.0015.
6000人参保可以看成是6000次独立重复试验，用X 表示一年内这6000人中遭遇意外伤害的人数，则()6000,0.0015X B .
（1）由题意知，保险公司每年的包费收入为30万，若获利6万元，则有12人出险；
若获利12万元，则有9人出险.
当遭遇意外伤害的人数(]9,12X ∈时，保险公司获利在[)6,12（单位：万元）范围内.
其概率为()()()9121290.8760.5870.289P X P X P X <≤=≤-≤=-=.
∴保险公司获利在[)6,12（单位：万元）范围内的概率为0.289；
（2）当遭遇意外伤害的人数15X >时，保险公司亏本.
()()1511510.9780.022P X P X ∴>=-≤=-=.
∴保险公司亏本的概率为0.022.
【点睛】
本题考查概率的计算，考查对立事件概率的计算，解题时要结合条件分析出出险人数，结合表格中的概率
进行计算，考查计算能力，属于中等题.
18． (1) 1C ：22(2)4x y +-=；2C ：2
2712x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭；3C ：10,x y x +=≥；
1
【解析】
【分析】
（1）根据222
,sin x y y ρρθ=+=得1C 的直角坐标方程，根据平方关系消参数得2C 的直角坐标方程，根据加减消元得3C 的直角坐标方程（2）结合图像确定||PQ 的最小值取法，再计算得结果.
【详解】
解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=
直线2C 的直角坐标方程为22712x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
直线3C 的直角坐标方程为10,x y x +=≥
（2）由2C 与3C 的方程可知，||PQ 的距离的最小值为2C 的圆心722⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与点的距离减去2C 的半径。

min 11PQ == 【点睛】
本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
19． (1)()
12n n +；(2) (i) 当1n =时,等式显然成立；(ii) 见证明；
【解析】
【分析】
（1）猜想第n ()
12n n +=.
（2）先验证1n =时等式成立，再假设n k =等式成立，并利用这个假设证明当1n k =+时命题也成立.
【详解】
（1）猜想第n ()
12n n +=.
（2）证明：①当1n =时，左边1=，右边1=，故原等式成立；
②设n k =()
12
k k +=，则当1n k =+时，
=
((()()12112
k k k k ++=+=+=
()()1112
k k ⎡⎤+++⎣⎦= 故当1n k =+时，命题也成立，由数学归纳法可以原等式成立.
【点睛】
数学归纳法可用于证明与自然数有关的命题，一般有2个基本的步骤：（1）归纳起点的证明即验证0n k =命题成立；（2）归纳证明：即设n k =命题成立并证明1n k =+时命题也成立，此处的证明必须利用假设，最后给出一般结论.
20．（1）20ex y e --=；（2）()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞；极小值为1e
-，无极大值. 【解析】
【分析】
首先求得()()1x
f x x e '=+；（1）将1x =代入()f x 求得且点坐标，根据导数的几何意义可求得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）令导函数等于零，求得1x =-，从而可得导函数在不同区间内的符号，进而得到单调区间；根据极值的定义可求得极值.
【详解】
由()x f x xe =得：()()1x x x
f x e xe x e '=+=+ （1）在1x =处切线斜率：()12k f e '==，又()1f e =
∴所求切线方程为：()21y e e x -=-，即：20ex y e --=
（2）令()0f x '=，解得：1x =-
当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>
()f x ∴的单调递减区间为：(),1-∞-；单调递增区间为：()1,-+∞
()f x 的极小值为：()111f e e
--=-=-；无极大值 【点睛】
本题考查利用导数求解曲线在某一点处的切线方程、求解导数的单调区间和极值的问题，考查学生对于导
数基础应用的掌握.
21．（1）3
π；（2【解析】
【分析】
(1)2sin sin A B A =，从而可得答案.
(2)由余弦定理可得6ac =，再由面积公式可求答案.
【详解】
解：（1） 2sin b A =2sin sin A B A =，sin 0A ≠，
∴sin 2
B =， 又因为AB
C ∆为锐角三角形，∴3B π
=.
（2）由余弦定理可知，2222cos b a c ac B =+-，
即()223b a c ac =+-，解得6ac =，
∴1sin 2S ac B ==. 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题.
22．（1）1m =-，2n =.（2）1(1,
]3
【解析】
【分析】
（1）根据()()0f x f x -+= ，可化简为2222()1m x m n x -+=-，已知0m <，解出,m n 的值；（2）根据（1）的结果，解不等式2
1log 11x x
-≥+，求x 的取值范围. 【详解】 解：()1因为()f x 为奇函数，所以()
()0f x f x 对定义域内任意的x 恒成立 即22log ()log ()0+1+1n n m
m x x 化简得2222()1m x m n x -+=-
故21m =，2()1m n ，解得1m =-，2n =.
()2由()1知21()log 1x f x x
由21()log 11x f x x ，得121x x
解得113x 综上，满足题意的x 的取值范围是1(1,
]3 【点睛】
本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函数是奇函数时，经常利用()()0f x f x -+=，计算求解.
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量满足，，若，则（ ） A ．
， B ．
， C ．
， D ． ， 2．已知,若.则实数的值为( )
A ．-2
B ．2
C ．0
D ．1
3．θ为第三象限角，1tan 43πθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A ．355B ．155C 355 D 155
4．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：
①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ）
A ．③④
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④
5．某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有( )种 A ．60 B ．90 C ．120 D ．150
6．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
7．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ）
A ．(1,)+∞
B ．[)1,+∞
C ．(,)e +∞
D ．[),e +∞ 8．设0sin a xdx π=
⎰，则二项式51ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的所有项系数和为（ ） A ．1 B ．32 C ．243 D ．1024
9．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若6
ax x ⎛- ⎝
展开式的常数项为60，则a 值为( ) A ．4 B ．4± C ．2 D ．2± 11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则BF CF =（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．312．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18 B ．38 C ．58 D ．78
二、填空题：本题共4小题
13．浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）
14．在二项式5(2x x 的展开式中，2x 的系数为__________．
15．函数()()()log 2,0212,0
a x x f x a x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______. 16．已知顶点在原点的抛物线C 的焦点与椭圆22
1167
x y +=的右焦点重合，则抛物线C 的方程为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()3f x x x a =+--.
（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-的解集；
（2）若不等式()4f x <对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
18．某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度d (单位: mm )服从正态分布(195,16)N ,公司规定:轮胎宽度不在(191,203)()mm 内将被退回生产部重新生产.
(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到0.1)；
(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取3件作检验,这3件产品中至少有2件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.
(¡)求这批轮胎初步质检合格的概率;
(¡¡)若质检部连续质检了10批轮胎,记X 为这10批轮胎中初步质检合格的批数,求X 的数学期望. 附:若2(,)Z N μσ,则()P Z μσμσ-<<+=0.6826P (22)Z μσμσ-<<+0.9544=.
19．（6分） (本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和p 。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
4950，求p 的值； （Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。

20．（6分）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：()f x '
在区间()0,π上存在唯一零点； （Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意[]
10,x π∈，均存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围.
21．（6分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的A 处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正
北方向行驶30m 后到达B 处，测得此塔顶在南偏东15︒的方向上，仰角为α，且sin 5α=
，若塔底C 与河面在同一水平面上，求此塔CD 的高度．
22．（8分）不等式
5212x x ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B 。

(1)若1m =,求A B ；
(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围。

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】
依题意可知：
0 1
0 1
由于，不妨设.故
,，故选C.
【点睛】
本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题. 2．C
【解析】
【分析】
由函数，将x＝1，代入，构造关于a的方程，解得答案．
【详解】
∵函数，
∴f（﹣1）＝，
∴f[f （﹣1）]1，
解得：a ＝0， 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 3．B 【解析】
分析：先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． 详解：由1tan 43
πθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，得 1+1
ππ3
tan tan[()]=21
4413
θθ=-+=-，
由同角三角函数基本关系式，得
22sin 2cos sin cos 1
θ
θ
θθ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩， 解得2
212
cos ,55
sin θθ=
= 又因为θ为第三象限角， 所以255
sin θθ== 则5
sin cos θθ-= 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：
ππ=(),2()()44
θθααβαβ-+=++-、2=()()βαβαβ+--；
2.利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号． 4．D 【解析】 【分析】
画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假.
【详解】
画出()()f x x g x =-的图象，如图所示，
可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =，
可得(201867)(0.67)0.67f f ==.
，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=> ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 5．D 【解析】
分析：由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知，5人的安排方案为113++或122++， 结合平均分组计算公式可知，
方案为113++时的方法有11
33
215
322
C C C A A ⋅⋅种， 方案为122++时的方法有2213
425
32
2
C C C A A ⋅⋅种， 结合加法公式可知安排方法共有22111333
42215
3532
222
150C C C C C A C A A A ⋅⋅+⋅⋅=种. 本题选择D 选项.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其
他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 6．B 【解析】
试题分析：对于选项A ，
a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R
上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B. 【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 7．B 【解析】 【分析】
2
ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥
恒成立，令()2
ln x x
f x x
+=， 则问题转化为()max a f x ≥，对函数()f x 求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。

【详解】
2
ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥
恒成立，令()2
ln x x
f x x
+=， 则问题转化为()max a f x ≥，
()()312ln 0x x
f x x x --'=
>，令()12ln g x x x =--，
则()()22
10x g x x x x +'=--=->，所以当0x >时，()0g x '<
所以()12ln g x x x =--在()0,∞+单调递减且()10g =， 所以()f x '在()0,1上单调递增，在()1,+∞上的单调递减， 当1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 1f x =， 所以1a ≥
故选B 【点睛】
本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数()2
ln x x
f x x +=，属于一般题。

8．C 【解析】 【分析】
根据定积分求得2a =，得出二项式，再令1x =，即可求得展开式的所有项的系数和，得到答案. 【详解】 由题意，可得00
sin cos |2a xdx x π
π=
=-=⎰
，
所以二项式为5
1(2)x x
+，
令1x =，可得二项式5
1(2)x x
+展开式的所有项系数和为5
(21)243+=，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了微积分基本定理的应用，以及二项展开式的系数问题，其中解答中熟记定积分的计算，以及二项式的系数的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【解析】
()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；
又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则
则极值点0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，故选C ．
点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B 、D 选
项，在A、C选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．
10．D
【解析】
【分析】
由二项式展开式的通项公式写出第k1
+项，求出常数项的系数，列方程即可求解.
【详解】
因为
6
ax
⎛
-
⎝
展开式的通项为()()36
666
22
166
T11
k
k
k k
k k k k k
k
C a x x C a x
--
---
+
=-=-，
令
3
60
2
k
-=，则4
k=，所以常数项为()4
464
6
160
C a--=，即2
1560
a=，所以2
a=±.
故选D
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项即可求解，属于基础题型.
11．B
【解析】
【分析】
由双曲线的离心率可得a＝b，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．【详解】
，可得c=，
即有a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），
由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），
由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（2
3
c
，
2
3
c
-），
设BF=λFC，即有0﹣2c＝λ（
2
3
c
--0），
解得λ＝1，即则BF
CF
=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 12．C 【解析】
分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率.
详解：因为1
4
2
4
441
1(1)(),(2)(),2
2
P x C P x C ====
所以1424
44411105(03)(1)(2)()(),2228
P x P x P x C C <<==+==+==
选C.
点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n k
n C p p --.
其中p 为1次试验种A 发生得概率. 二、填空题：本题共4小题 13．27； 【解析】 【分析】
根据题意，分四种情况讨论即可，最终将每种情况的个数加到一起. 【详解】
根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法
有2
615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生
物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种. 故答案为：27. 【点睛】
（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；。