高考最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)文科数学试题及解答(WORD版) 精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（重庆卷）
（文史类）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须用0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B 、相互独立，那么()()()P A B P A P B =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：
()(1)
k k n k
n n P k C p p -=- 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5,7}A =，{3,4,5}B =，则()()A B =U U 痧
（A ）{1,6} （B ）{4,5} （C ）{2,3,4,5,7} （D ）{1,2,3,6,7} （2）在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 （A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22
(2)(1)3x y ++-= （C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22
(2)(1)3x y ++-=
（4）若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 （5）()5
23x -的展开式中2
x 的系数为
（A ）－2160 （B ）－1180 （C ）1180 （D ）2160
（6）设函数()y f x =的反函数为1
()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2
，则
1()y f x -=的图像必过
（A ）1(,1)2 （B ）1(1,)2
（C ）(1,0) （D ）(0,1)
（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。

为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。

若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13
（8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)A B C k --，其中k 为常数。

若AB AC =，则AB 与AC 的夹角为
（A ）24arccos()25-
（B ）2π或24arccos 25 （C ）24arccos 25 （D ）2
π或24
arccos 25π-
（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演
出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5180
（10）若,(0,
)2
π
αβ∈，cos()2
β
α-
=
,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于
（A ） （B ）12- （C ）12 （D
（11）设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆
22
1259
x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 （A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
（12）若,,0a b c >且2
22412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是
（A ） （B ）3 （C ）2 （D 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

（13）已知sin α=
2π
απ≤≤，则tan α= 。

（14）在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

（15）设0,1a a >≠，函数2()log (23)a f x x x =-+有最小值，则不等式log (1)0a x ->的
解集为 。

（16）已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩。

若目标函数z ax y =+（其中0a >）
仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

三．解答题：本大题共6小题，共76分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为
16、13、1
2。

若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。

求：
（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；
（18）（本小题满分13分）
设函数2()sin cos f x x x x a ωωω++（其中0,a R ω>∈）。

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6
π。

（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间5[,
]36ππ
-
a 的值；
（19）（本小题满分12分）
设函数3
2
()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。

（20）（本小题满分12分）
如图，在增四棱柱1111ABCD A BC D -中
，
11,31A B B =+，E 为1BB 上使11B E =的点。

平面1AEC 交1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求： （Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
（22）（本小题满分12分）
如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 角抛物线于另一点(,)n n n B s t 。

（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

试证：
112221n n n FC FC FC -+++
+=-+；
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（重庆卷）
（文史类）参考答案
二、填空题
13、－2；14、2n-1；15、(2,)+∞；16、1
2
a >
三、解答题 17、解：（1）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，所求概率为3331
111()()()6326
P =++= （2）这是n=3,P=
1
6的独立重复试验，故所求概率为 2233
155(2)()()6672
P C ==
18、（1）1()2sin 22f x x x a ωω=+++
sin(2)3x a πω=++
依题意得2632πππω+=，解得1
2
ω=
（2）由（1）知，()sin()3f x x a π=++
+ 又当5[,]36
x ππ∈-时，7[0,]36x ππ
+∈
故1sin()123
x π
-≤+≤
从而5()[,]36
f x ππ
-在上取得最小值12a -+
+
因此，由题设知12a -=，故a =
19、解：（1）求导得2'()363f x x ax b =-+
由于()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点（1，－11），
所以(1)11,'(1)12f f =-=-，即
13311
36312a b a b -+=-⎧⎨
-+=-⎩
解得a=1,b=-3 (2)由a=1,b=-3得
22'()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x =-+=--=+-
令'()0f x >，解得13x x <->或； 又令'()0f x <，解得13x -<<
所以当(,1)x ∈-∞-时，()f x 是增函数； 当(3,)x ∈+∞时，()f x 也是增函数； 当(1,3)x ∈-时，()f x 是减函数。

20、解法一：
（1）由11//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角。

连接1C F .因为AE 和1C F 分别是平行平面
1111ABB A CC D D 和与平面1AEC G 的交线，所以1//AE C F ,由此可
得1D F BE =,再由1FD G △∽
FDA △
得1D G
在11Rt 6
C G
D π
∠=
11111△C D G 中，由C D =1,D
(2)作1111,D H C G H FH FH C G D HF
⊥⊥∠于，连接，由三垂线定理知故为二面角
11F C G D --即二面角11A C G A --的平面角
在1111t 6
R GFD D G D GH D H π
=∠=
=
△中，由得从而
111an 2D F
t D HF D H
∠=
==
解法二：
（1）由11//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角。

因为1EC 和AF 分别是平行平面
1111BB C C AA D D 和与平面1A E C G 的交线，所以1//EC AF ,由此可得
1114
AGA EC B π
∠=∠=
从而1
11AG AA =
，于是1D G =
在11Rt 6
C G
D π
∠=11111△C D G 中，由C D =1,D
(2)
在
11
11,4
6
C AG AGC π
π
∠=∠=
11△A C G 中，由知
11AC G
∠为钝角，
作
111,A H GC H AH GH AH AHA ⊥⊥∠1交GC 的延长线于，连接，由三垂线定理知故为二面角
二面角11A C G A --的平面角,
在1111t 1,6
R A A G A GH A H π
∠==
△HG 中，由得,
从而1
11an 2AA t AHA A H
∠=
==
解法三：（1）以1A 为原点，11111,,A B A D A A 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。

于是0A （1）
，1C (1,1,0)
，，E(1,0,1)，(0,1,0)=AD ，1(0,1,1)EC =-
因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D 和与平面1A E C G
的交线，所以1//EC AF ，设(0,y ,0
G (0,,31))
A G y =+ 由11//y EC AG －得＝
，于是1
故11,0),(1G C G =-,设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ，则
113c o s ||||
A D C G A D C G θ⋅=
=
⋅,从而6πθ=。

（2）作111
,A H C G H G H A H A H A ⊥⊥∠于，由三垂线定理知故为二面角二面角11
A C G A --的平面角,设(,,0),H a b 1则A H=(a,b,0),1C H=(a-1,b-1,0)，
由11A H C G ⊥得110A H C G ⋅=,由此得0()a i
=
又由1,,H C G 共线得11//C H C
G
，从而
11a -=-
1)0
()b ii +-
=
联立（i ）和（ii ）得
a =
,b =,故H
由1||(
A H
=1||31A A =+得
111||
3an 2||
3A A t AHA A H ∠=
==
21、解：（1）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）＝0，即
102b
a
-+=+，解得b ＝1， 从而有f （x ）＝121
2x x a
+-++。

又由f （1）＝－f （－1）知11
21
241a a -+-+=-++，解得a ＝2 （2）由（1）知f （x ）＝1212x x a +-++＝11
221
x -++
由上式易知f （x ）在(,)-∞+∞上为减函数。

又因f （x ）为奇函数，从而不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于
222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+
因f （x ）为奇函数，由上式推得
2222t t t k ->-+
即对一切t R ∈有2320t t k -->
从而判别式4120k ∆=+<，解得1
3
k <-
22、证明：（1）对任意固定的1n ≥，因为焦点F （0，1），所以可设直线n n A B 的方程为1n y k x -=，将它与抛物线方程24x y =联立得2440n x k x --= 由一元二次方程根与系数的关系得4n n x s =-
（2）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率2
n n
A x k =，故24x y =在n A 处的切线方程为()()2
n
n n x y y x x i -=
- 类似地可求得24x y =在n B 处的切线方程为()()2
n
n n s y t x s ii -=-
由（ii ）－（i ）得
22
22n n n n
n n x s x s y t x ---=-+
从而22224422
n n n n n n
x s x s x s x ---=-+ 22
24n n n n
x s x s x --= ()2
n n x s x iii +=
将(iii)代入(i)并注意4n n x s =-得交点n C 的坐标为(,1)2
n n
x s +- 由两点间的距离公式得
222
2||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++2
2242
2()42n n n n
x x x x =++=+
从而||2
||2||
n n n x FC x =
+
现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，
12||||FC FC ++
n +|FC |1212111(||||||)2(
)||||
||
n n x x x x x x ++
+++++
1
=2
221
11
1
(222)2()222
2
n n =++++++
+
11(21)(22)221n n n n -+-+=-+-=-+。