保险精算练习题

4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴
)2(i ,⑵ i, ⑶ )3(d 。

解：⑴ 1200)2
1(1000)
2(=+⨯i ；所以
4.0)2(==i
⑵2
)2()2
1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n
d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()
(1)(；
所以， 13)3()1()3
1(-+=-i d ;34335.0)3(=d 5．当1>n
时,证明：
i i
d
d n n <<<<)
()
(δ。

证明：①)
(n d d <
因为， +⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)(3
2)(2)
(10)()()(1)1(1n
d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n )
(1n d ->所以得到，
)(n d d <;
②
δ<)
(n d )1()
(m
n e
m d
δ
-
-=；m
m C m C m C m e
n
n
n
m
δ
δ
δ
δ
δ
δ
-
>-⋅+⋅-⋅+-
=-
1)()()(14
43
32
2
所以,
δ
δ
=-
-<)]1(1[)
(m
m d
n
③
)(n i <δ
i n
i n
n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+⋅)1ln()1ln()(i n i n n 所以，
)1()(-⋅=n n e n i δ
m
m
C m
C m
C m
e n n n n δ
δ
δ
δ
δ
δ
+
>+⋅+⋅+⋅++
=1)(
)(
)(
144
33
22
δ
δ
=-+>]1)1[()(n
n i n
④
i i n <)(
i n
i n
n +=+1]1[)
(,)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+
所以，
i
i
n <)
(
6．证明下列等式成立，并进行直观解释：
⑴n m
m
n m a v a a +=+；
解：i
v
a n
m n
m ++-=
1,
i
v a m m
-=
1，i
v v i v v a v n
m m n m
n
m +-=-=1
所以，n m n
m m m n m
m
a i
v v v a v a ++=-+-=+1
⑵n m
m
n m s v a a -=-；
解：
i v a n m n
m ---=1,i
v a m m -=1,i v v s v n m m n m
--=
-
所以,n m n
m m m n m
m
a i
v v v s v a --=-+-=-1
⑶
n
m
m n m a i s s )1(++=+；
解:
i i s m m
1)1(-+=，i
i i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1()
1()1(+-+=-++=++
所以，n
m m
n m m n m
m
s i
i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(
⑷
n
m
m n m a i s s )1(+-=-。

解：（同上题）略.
7．某人今年30岁， 其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。

假设存款利率在前十年为6％,后20年为12％，求每年能取的养老金额。

解：2
10
2202110120
2021030
1)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s
-+++⋅-+=++⋅=
所以60岁时存款有5.5975930030=⋅s （元)
由此知，20
20s a X =⋅，可得X=7774。

12（元)
8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。

从存入最后一笔款后的第2年起,每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工,这种奖励形式将永远持续下去。

假设存款的利率为8％，求每次能够提取的最大金额。

解：82.22880950001
20=⋅=⋅=⋅∞
s i
X A X .所以79.18304=X (元）
10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付.假设年利率为12％，求这一年金的现值。

解:
94
.436211000)1(8100
)1(1001000)(1001009881
91=⋅⋅++-++=++=--∞
v i
i
i a
i a Ia a a
1．依据生命表的基础填充下表:
x
x l
x d
x p
x q
0 1000 100 0。

9 0.1 1 （900) （150） （5/6) （1/6) 2 750 (150） 0.8 （0。

2) 3 （600） （300) (0.5) （0。

5） 4 300 （180） (0。

4) 0。

6 5 （120) （120）
（0） (1） 6
3.已知)120
1(1000x
l x -=,计算： ⑴0l
，120l
，
33d ,3020p ，2030q ；
⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率; ⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。

解：⑴1000)120
1(10000=-
=l ；0)1201201(1000120=-=l 3
25
12011000343333=⋅
=-=l l d
9
7
305030
20
==l l p ；3.020502020
30=-=l l l q ⑵19
1
25504525
520=
-=l l l q
⑶074646449.0)19
8()(3
3258025
55
===l l p
4．若)(
100000x
c x
c l x +-=，4400035=l ,求：⑴c 的值;⑵生命表中的最大年龄；⑶从出生存活到50岁的概率;
⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。

解：⑴
44000
)35
35
(10000035
=+-=c c l 。

所以,c=90 ⑵0)9090(
100000=+-=x
x
l x ，所以,
90=ω ⑶
13
4
050050==l l p ⑷32155040151052=-=l l l q 。

5．证明并作直观解释:
⑴
x m n x n x m
n p p q +-=；
证明：x m n x n x
m
n x x n x x m n x n x x m n p p l l l l l l l q +++++++-=-=-= ⑵
n x x n x n
q p q +⨯=；
证明:n x x n n
x n x x n x x n x x n x n x x n
q p l l l l l l l l l q +++++++++⨯=⋅-=-=1
1
⑶
n
x m x n x m
n p p p ++⨯=。

证明:n x m x n n
x m
n x x n x x m n x x m
n p p l l l l l l p ++++++++⨯=⋅==
6．证明：
⑴
⎰
-++=x
x
t x t x l dt l ωμ0
; ⑵
⎰
-+=x
t x x t
dt p ωμ0
1； ⑶)(t x x x t x t p p x
+-⨯=∂∂
μμ； ⑷
t x x t x t p p t
+⨯=-∂∂
μ. 证明：⑴
x x
x x x x t x t x l l l l l dt l =-=-=⎰
--++++ωωωμ0
⑵
⎰
⎰⎰
--+-+-++++=-⋅-=
⋅-=-=x
x x x x
x
t x x x
t x t x x t x t x x t
l l l dl l dl l l l dt p ωωωωμ0
1)(1
111； ⑶
)()()()(2t x x x t x
x
t x t x x t x x t x x t x x t x x x t x x t
x x
t p l Dl l Dl l l l Dl l Dl l l Dl l Dl l l x p x +++++++++-⨯=-=-=
⋅-⋅=∂∂=∂∂μμ
⑷
t x x t t
x t x x t x x t x x t
x x t p l Dl l l l Dl l l x p t ++++++⨯=-⋅==∂∂==∂∂μ)(。

8．若774640
=l
,768141=l ，计算4
140μ：
⑴死亡均匀分布假设；⑵鲍德希假设； ⑶假设x l x -=1001000
解：⑴008409068.0140
40
4
1
40=⋅-=q t q
μ
；
⑵
008426834
.0,140
41
4
140
=∴==
===-⋅-μμ
μ
μ
μe l l p t e p x t x t 可令 ⑶
008444573.0)1(14
140
=--=x
x
q t q μ。

9．证明在鲍德希规律下，x
n q
与n 无关.
证明：
x
x s n x s n x s q x
x s x
n -=++-+=-
=ωω
1)()1()(1)(
所以，x n q
与n 无关.
1某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现值。

解：5.45522775.020002000
200010
1
881018101088=⋅=-=⋅+++++N N N a （元)
2．证明下列等式成立，并解释其含义.
⑴
1+=x x x a vp a ； 证明：111++=-=-==x x x x
x
x x x x a vp a
D D N D N a ⑵
11++=x x x a vp a ； 证明：11+=-x x x a vp a 所以，11++=x x x a vp a
⑶
)1(::x n n x n x E a a
-+= ；证明：n x x
n
x x x
n X n x x x x n X x n x x x n n x a
D N N D D N D N D D D N N
E a :11
11:)
()1()1( =-=
+-+=-+-=-++++++++++
⑷
n x x n n
x n
a p v a +⋅⋅=；
证明:n x x n n n x n x x n n x
n x n x x n x n x x n
a p v D N
p v E D N E D N a ++++++++⋅⋅=⋅⋅=⋅==
111
⑸n
m x x m m
m x m n x a p v a a :::++⋅⋅+=；
证明：
m
n x x
n m x x x n m x m x x m x x n
m x x m m
m x x
n m x m x m x n m x m x x m n
m x x m m
x
m x x m x x
m n x x m n x a D N N D N N D N N a p v a D N N D N N E a p v D N N a D N N a ++++++++++++++++++++++++++++++++++=-=-+-=⋅⋅+∴-=-⋅=⋅⋅-=
-=:1
11111::1
1
11:1
1:1
1:
⑹
11)1(--+=⋅x x x a i a
p 证明：11
11111111)1(---------+=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅
=⋅x x x x
x x x x x x x x x x a i D p v N p D E N p D N p a p
3．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k 元的生存年金。

假设购买后次月开始给付，求k 值。

解:
62
.33850000
)24
11
26683.12(12)122112(121250)
12(50==+⋅=⨯-+
⋅=⋅k k a k a k
4．给付50岁的人每月200元,第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。

解: )24
13
(24002400240070605010)
12(10
:605010)
12(50
1010a a E a E a
-+⋅⋅=⋅⋅=⋅
7．以转换函数表达下面变动年金的现值。

对(x ）第一年末给付1000元，以后每年比上年增加给付500元，，当年给付金额达到5000元时,又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止.
解：1414
4
:998:1000)(1000)(500500++⋅⋅+⋅++x x x a v Da v Ia v 8．假设对所有x,有x x p r p )1(+='，证明以利率i 和x p '为基础计算的终身年金现值与以r
r i i +-='1和x
p 为基础计算的终身年金现值相等。

解：以'
,
x p i 为计算基础
t
x x x t t
t
x x x t t x t t x x p p p r i
p p p i tp v tE a ++++∞
=∞=⋅⋅+⋅+=⋅⋅+=⋅==∑∑∑∑ 1'
'1'1
'1)1()11()11(
以r
r i i
+-=
1'
、
x p 计算
t
x x x t
t
x x x t
t x t t x x p p p i
r p p p i tp v tE a ++++∞
=∞
=⋅⋅++=⋅⋅+=⋅==∑∑∑∑ 111
1)11()11(
1．假设10.0),115
1(1000=-=i x
l x ，求50岁的人投保100000元终身寿险的精算现值。

解：)1(115
1000
1
+=-=++t l l d t x x x
∑=++⋅⋅
=115
1
5050)]1([1100000100000t t t v l A 2．某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡,则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。

写出对(x)的保单精算现值的表达式. 解：
x
x t t x t t t x t t A q v q v
q v
A 20190
2020
1
19
20
)()
()(+=+
=
∑∑∑=∞
=+=
3．某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。

解：x
n
m x m x x t n
m m
t t n x m
D M M q v
A ++++=+-=
⋅=
∑1
:
所以,
80
.29835
.222867249
.4036405.106910000
100001000025
75
5520:2530=-=-=D M M A
4．证明：1++=x x x x A vp vq A ，并说明其意义。

证明：
1
111
11
11
1
11111111111
1
1.)(,,,,,++++++++++++++++++++++⋅⋅+⋅=⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅⋅=
⋅⋅+
⋅⋅=+=+=∴=⋅=⋅=+=⋅===
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A p v q v A p v l d v A p v l v d v l l v D M p v D C p v D M C vp D M C A D D vp l v D l v D M C M d v C D M A D M A
即(X)寿险精算现值等于在第一年内死亡赔付x vq ，在一年后死亡赔付的精算现值
1+x x A vp 之和.
5．证明:
x
x x x
A dx
A d μδμ-+=)(,并说明其意义。

证明:x
x
y y x
x x
D dy D D M A ⎰
∞
⋅==μ
x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x
x
y y x x x x
x
y y x
A l l v A l v l v l v v A D D A D D dy
D D D dx
D dy D d
dx
A d μδμμμμμμμ-+=-'+-=-'⋅+⋅-=-'-='⋅⋅-⋅-=
⋅=⎰⎰∞
∞
)()(ln ln )(2
6．假设死亡概率
n
x q +变成为
k
q n x ++（为常数)，其他年龄的死亡率不变，试证明
x
A 将增加
)1(11+++-n x x n n A p kv 。

解：
)
1()
1()(1111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
1
0101
+++∞
+=++∞
+=+++∞
+=++∞
+=+++-=+∞
=+∞
=++-⋅+=⋅-
⋅+=⋅⋅
-⋅+=⋅⋅
-⋅++⋅+⋅='⋅=⋅=
∑∑∑∑∑∑∑n x x n n x x n t t t x n
n x x n t t t x n n x n
n x x
n t t t x n
n x n t t t n x x n
n x x n t t t x
x
t t t t t x t x
x A k p v A q v
k p v
A q v p kv k p v A q v p kv
q v
k q p v A q v A q v d v
l A
增加值：)(1
k q p v n x x n n +⋅++
7．假设5.15=x
a ,25.0=x A ，求利率i 的值.
解：21
15.151)
1(25.01)1(=
∴⋅-=+⋅-=+i i i ia A i x
x
8。

假设某人从30岁开始投保终身寿险，若在投保第一年死亡，则给付1000元，以后每多活一年后死亡，给付额增加3000元，达到16000元时，又以每多活一年给付额减少4000元递减，当给付额降为4000元时保持不变。

以转换函数的形式写出这一保单的精算现值表达式. 解：
39
39
30
993640373130
6631
36
3631
30303636303930993:36130665:311306:304000534000530001000
4000)(4000)(30001000D M p v D R R M p v D M R R vp D D M M A p v DA p v IA vp A A x ++-++-++-=+++=。