海南省海口市海南中学2020-2021学年高一上学期数学11月单元检测3

海南中学2020级高一数学单元检测3
（考试范围：第一、二章+函数的概念，考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()
A．2个B．4个C．6个D．8个
2.如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则图中阴影部分表示的集合是()
A．A∩B B．B∩(∁U A)
C．A∪B D．A∩(∁U B)
3.“x2＞x”是“x＞1”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为()
A．∀x，y，z，n，m，p∈Z且n≥2，x n＋y m≠z p恒成立
B．∀x，y，z，n，p∈Z且n＞2，x n＋y n≠z p恒成立
C．∀x，y，z，n∈Z且n＞2，x n＋y n≠z n恒成立
D．∀x，y，z，n∈Z且n≥2，x n＋y n≠z n恒成立
5.若<<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是()
A．a<b B．a＋b>ab
C．|a|>|b| D．ab<b2
6.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：
①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是()
A．①B．②C．③D．④
7.若a＋b＝ab(a>0，b>0)，则a＋b的最小值等于()
A．2B．3C．4D．5
8.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1，x <0，
1，x ≥0，则不等式xf (x －1)≤1的解集为( )
A ．[－1,1]
B ．[－1,2]
C ．(－∞，1]
D ．[－1，＋∞)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知关于x 的不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是( )
A ．当a <b <1时，不等式a ≤3
4
x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅
B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4}
C ．当a ＝2时，不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式
D ．不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b －a ＝4
10.已知f (2x ＋1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝36 B ．f (－3)＝16 C ．f (x )＝4x 2 D ．f (x )＝x 2－2x ＋1
11.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m
2a ＋b 恒成立，则实数m 可以取的值是( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
12.下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x B ．f (x )＝－x 2 C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝
1x －1
第Ⅱ部分（选择题，共40分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知a ，b ，c ∈R ，给出下列条件：①a 2>b 2；②1a <1
b ；③a
c 2>bc 2，则使得a >b 成立的充分而不必要条件对
应的序号是____________．
14.已知x >0，y >0，若＋>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．
15．如图，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地。

仓库的长L 大于宽W 的4倍，上述不等关系可用W 表示为________。

16．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台。

四、解答题：本小题共2小题，共20分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）若不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}。

(1)试求a ，b 的值；
(2)求不等式ax ＋1
bx －1>0的解集。

19.（12分）若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝2。

(1)求f (x )的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围。

21．（12分）某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y (元)关于用电量x (度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y 关于x 的函数关系式；
(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？
22．（12分）已知函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1。

(1)求证：f (x )是R 上的增函数；
(2)若)(y x f ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－)3
1
( x f ≤2。

2020级高一数学周考试题（11月4日）
（考试范围：第一、二章+函数的概念，考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.集合A ＝{－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个 C ．6个 D ．8个
解：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}， {－1，0，1}，共有4个．故选B.
2.如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．A ∩B B ．B ∩(∁U A ) C ．A ∪B D ．A ∩(∁U B )
解：由Venn 图知，阴影部分为B ∩(∁U A )．故选B. 3.“x 2＞x ”是“x ＞1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解：由x ＞1，两边同乘x ，得x 2＞x ；反过来，当x ＝－1时，x 2＞x ，但不满足x ＞1，所以是必要不充分条件．故选B.
4.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为( ) A ．∀x ，y ，z ，n ，m ，p ∈Z 且n ≥2，x n ＋y m ≠z p 恒成立 B ．∀x ，y ，z ，n ，p ∈Z 且n ＞2，x n ＋y n ≠z p 恒成立 C ．∀x ，y ，z ，n ∈Z 且n ＞2，x n ＋y n ≠z n
恒成立
D ．∀x ，y ，z ，n ∈Z 且n ≥2，x n ＋y n ≠z n 恒成立 解：同次，即次数相同，高于二次，即次数大于2，“不可能”即不相等恒成立，故C 正确．故选C. 5.若<<0(a ，b ∈R )，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a <b B ．a ＋b >ab C ．|a |>|b | D ．ab <b 2 解：由1a <1b <0，得ab >0，则1a ·ab <1
b ·ab ，即b <a ，两边都乘b ，得b 2>ab .故选D.
6.已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：
①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |，其中能构成从M 到N 的函数是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④
解析 只有y ＝|x |是符合题意的对应关系。

故选D 。

答案 D
7.若a ＋b ＝ab (a >0，b >0)，则a ＋b 的最小值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 解：依题意有＋＝＝1，则a ＋b ＝(a ＋b )·＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 另解：由ab ≤得a ＋b ≤，从而解得a ＋b ≥4.故选C.
8.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1，x <0，
1，x ≥0，则不等式xf (x －1)≤1的解集为( )
A ．[－1,1]
B ．[－1,2]
C ．(－∞，1]
D ．[－1，＋∞)
解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1<0，x ×(－1)≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x －1≥0，x ×1≤1，
解得－1≤x ≤1。

故选A 。

答案 A
四、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知关于x 的不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b ，下列结论正确的是( )
A ．当a <b <1时，不等式a ≤3
4
x 2－3x ＋4≤b 的解集为∅
B ．当a ＝1，b ＝4时，不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b 的解集为{x |0≤x ≤4}
C ．当a ＝2时，不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b 的解集可以为{x |c ≤x ≤d }的形式
D ．不等式a ≤3
4
x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好为{x |a ≤x ≤b }，那么b －a ＝4
解析 由34x 2－3x ＋4≤b ，得3x 2－12x ＋16－4b ≤0，当b <1时，Δ＝48(b －1)<0，从而不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4≤b
的解集为∅，故A 正确。

当a ＝1时，不等式a ≤3
4x 2－3x ＋4就是x 2－4x ＋4≥0，解集为R ，当b ＝4时，不
等式3
4x 2－3x ＋4≤b 就是x 2－4x ≤0，解集为{x |0≤x ≤4}，故B 正确。

在同一平面直角坐标系中作出函数y
＝34x 2－3x ＋4＝3
4
(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示。

由图知，当a ＝2时，不等式a ≤3
4
x 2－3x ＋4≤b 的解集为
{x |x A ≤x ≤x C }∪{x |x D ≤x ≤x B }的形式，故C 错误。

当b ＝4时，由3
4a 2－3a ＋4＝b ＝4，解得a ＝0，或a ＝4，
a ＝0满足a ≤1，所以a ＝0，此时
b －a ＝4－0＝4。

故D 正确。

答案 ABD
10.已知f (2x ＋1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝36 B ．f (－3)＝16 C ．f (x )＝4x 2
D ．f (x )＝x 2－2x ＋1
解析 当2x ＋1＝3时，x ＝1，因此f (3)＝4×12＝4，所以A 不符合题意；当2x ＋1＝－3时，x ＝－2，因此f (－3)＝4×(－2)2＝16，所以B 符合题意；令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，因此f (t )＝4×⎝⎛⎭⎫t －122＝t 2
－2t ＋1，所以
C 不符合题意，
D 符合题意。

故选BD 。

答案 BD
11.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m
2a ＋b 恒成立，则实数m 可以取的值是( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋1b ≥m 2a ＋b 等价于(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ≥m ，又(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2a
b ≥5＋2
2b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a
b
，即a ＝b 时取等号，所以9≥m ，故m 的最大值为9。

故选CD 。

答案 CD
12.下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x B ．f (x )＝－x 2 C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝
1
x －1
解析 通过观察各函数的图象，易知f (x )＝－x 2，f (x )＝x ＋1在(－∞，0]上单调递增，f (x )＝x 2－2x ，f (x )＝
1
x －1在(－∞，0]上单调递减。

故选AD 。

答案 AD
第Ⅱ部分（选择题，共40分）
五、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知a ，b ，c ∈R ，给出下列条件：①a 2>b 2；②1a <1
b ；③a
c 2>bc 2，则使得a >b 成立的充分而不必要条件对
应的序号是____________．
解：由①a 2>b 2，得|a |>|b |，不一定有a >b 成立，不符；对于②，当a ＝－1，b ＝1时，有1a <1
b ，但a >b 不成立，
所以不符；对于③，由ac 2>bc 2，知c ≠0，所以有a >b 成立，
当a >b 成立时，不一定有ac 2>bc 2，因为c 可以为0，符合题意．故填③.
14.已知x >0，y >0，若＋>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解：由x >0，y >0，得＋≥2＝8，
当且仅当＝，即2x ＝y 时等号成立，由此可得＋的最小值是8. 则m 2＋2m <8，解得－4<m <2.故填{m|－4<m<2}．
15．如图，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地。

仓库的长L 大于宽W 的4倍，上述不等关系可用W 表示为________。

解析 仓库的长L ＝350W ＋10－10，所以350
W ＋10－10>4W 。

答案
350
W ＋10
－10>4W 16．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台。

解析 依题意得25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，整理得x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)。

因为0<x <240，所以150≤x ＜240，即最低产量是150台。

答案 150
五、解答题：本小题共2小题，共20分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）若不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}。

(1)试求a ，b 的值；
(2)求不等式ax ＋1
bx －1
>0的解集。

解 (1)因为不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}，所以a <0且ax 2＋bx －1＝0的解是
1和2。

故⎩⎨⎧
1＋2＝－b a
，
2×1＝－1
a
，解得⎩⎨⎧
a ＝－12
，
b ＝3
2。

(2)由(1)得－12x ＋132
x －1>0，整理得到x －23x －2<0，即(x －2)(3x －2)<0，解得2
3<x <2，
故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
23<x <2。

19.（12分）若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝2。

(1)求f (x )的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围。

解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
因为f (0)＝2，所以c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2。

因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以2ax ＋a ＋b ＝2x ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1，
所以f (x )＝x 2－x ＋2。

(2)由题意知x 2－x ＋2>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋2－m >0在[－1,1]上恒成立。

令g (x )＝x 2－3x ＋2－m ＝2)2
3(-x －1
4－m (x ∈[－1,1])，
则g (x )在区间[－1,1]上是减函数，
所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋2－m >0，所以m <0， 即实数m 的取值范围为(－∞，0)。

21．（12分）某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y (元)关于用电量x (度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)求y 关于x 的函数关系式；
(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
(3)若该用户某月用电62度，则应交费多少元？若该用户某月交费105元，则该用户该月用了多少度电？ 解 (1)当0≤x ≤100时，设函数关系为y ＝kx 。

将x ＝100，y ＝65代入，得k ＝0.65，所以y ＝0.65x 。

当x >100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b 。

将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0.8，
b ＝－15。

所以y ＝0.8x －15。

综上可得y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100。

(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元。

(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)；
当y ＝105时，因为0.65×100＝65<105，故x >100， 所以105＝0.8x －15，x ＝150。

即若该用户月用电62度，则应交费40.3元；若该用户月交费105元，则该用户该月用了150度电。

22．（12分）已知函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1。

(1)求证：f (x )是R 上的增函数；
(2)若)(y x f ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－)3
1
(-x f ≤2。

解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，即f (x 2－x 1)>1，
所以f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是R 上的增函数。

(2)因为)(y
x f ＝f (x )－f (y )， 所以f (y )＋)(y
x f ＝f (x )。

在上式中取x ＝4，y ＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)， 因为f (2)＝1，所以f (4)＝2。

于是不等式f (x )－)3
1
(
-x f ≤2等价于f [x (x －3)]≤f (4)(x ≠3)。

又由(1)，知f (x )是R 上的增函数， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x (x －3)≤4，x －3≠0，解得－1≤x <3或3<x ≤4，
所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]。