2015年秋高三数学文科训练十六答案

2015年秋高三数学（文科）训练十六答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，） 1、函数sin cos y x x =+最小正周期是（ A ） A 、2π
B 、π
C 、
2
π
D 、
4
π
2、已知函数y =A ，值域为区间B ，则A C B =（ B ） A 、()1,2
B 、(]1,2
C 、()0,1
D 、(]0,1
3、等比数列{}n a 中，0n a >，公比488q a a =⋅=，则267a a a ⋅⋅=（ C ） A 、2
B 、4
C 、8
D 、16
4、已知,a b R ∈，且24a b +=3b +的最小值为（ B ）
A 、
B 、6
C 、
D 、12
5、已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma nb +与2a b -共线，则m
n
=（ C ） A 、12
B 、2
C 、12
-
D 、2-
6、已知双曲线22
219x y b
-=的一个焦点在圆22280x y x +--=上，则双曲线的离
心率为（ A ）
A 、43
B 、53
C D 7、已知函数()y f x =满足()2'34f x x x =--，则()3y f x =+的单调减区间为（ A ）
A 、()4,1-
B 、()1,4-
C 、3,2⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
D 、3,2
⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
8、已知函数()()()sin 0,0f x A x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则下列判断错误的是( D )
A.函数f(x)的最小正周期为2;
B.函数f(x)的值域为[]4,4-
C.函数f(x)的图像关于(
3
10
，0)对称 D.函数f(x)的图像向左平移 3
π
个单位后得到y=Asin x ω的图像。

9、若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最
小值，则a 的取值范围是（ B ）
A 、[]6,2-
B 、()6,2-
C 、[]3,1-
D 、()3,1- 10．如图是函数f(x)=x 2 +ax-b 的部分图像，函数
()()x g x e f x '=-的零点所在的区间是（k ，k+1）(k∈Z)，则k 的值为( C )
A ．-1或0
B ．0
C ．-1或1
D ．0或1 11、一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积与剩余部分的体积之比为（ D ）
A 、1:2
B 、2:3
C 、4:5
D 、5:7 12、已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且
()()2
428f a f a -=-，
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*
n N ∈若()n
S
f n =，则
41
n n S a
a --的最小值为（ D ） A 、
276
B 、
358
C 、
143
D 、
37
8
二、填空题（本大题共 4个小题 ，每小题 5分，共20分） 13、()sin cos sin 2f ααα+=，则f
的值为 ，1
14、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S =-，
则
6n n n
a a
S a +的最大值为1
15。

15、有一个球心为O ，半径2R =的球，球内有半径r
为A ，连接AO 并延长交球面于P 点，以截面为底，P 为顶点，可以做出一个圆锥，则圆锥的体积为 。

3π
16、经过椭圆22
143
x y +=的右焦点的直线l ，交抛物线24y x =于A 、B 两点，点
A 关于y 轴的对称点为C ，则O
B O
C ⋅= 。

5-
三、解答题（共6大题，共70分）
17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且
满足
sin sin sin c b A B
a b C -+=
-。

（1）求角A ；
（2
）若cos 2B b =，求ABC ∆的面积。

17．（1）
222sin sin sin c b A B a b
c bc a b a b C c
-++==⇒-=-- 2221cos ,2
23
b c a
A A bc π
+-∴==∴=
（2）cos sin 33
B B =⇒=
由
3sin sin a b a A B
=⇒= sin
sin(A B)sinAcosB cosAsinB 6
C ∴=+=+=
1sin 2ABC S ab C ∆∴=
= 18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*233n n S a
n N =-∈。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列n n
b =
，求数列{}n b 的的前n 项和n T 。

18.（1）由题意知，当1n =时，111233,3a a a =-∴=
F
C
A
D
B G E
M
N 11233,233n n n n S a S a ++=-∴=- 111233,3n
n n n n a a a a a +++∴=-∴=
{}n a ∴是等比数列，首项是3，公比为3，3n n a ∴= （2）2332,3223n n n n
n
n n b T +=
=
∴=- 17．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，
//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.
（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；
（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且
13
AM MC
=，求证：GM //平面ABF ；
（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)
17．（Ⅰ）证明：因为
AE AF =，点G 是EF 的中点， 所以 AG EF ⊥. …1分 又因为 //EF AD ， 所以 AG AD ⊥. ………………2分 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF
平面ABCD AD =，
AG ⊂平面ADEF ，
所以 AG ⊥平面ABCD . …………………3分 因为 CD ⊂平面ABCD ，
所以 AG ⊥CD . ………………4分 （Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为
13
AM MC
=，所以
14
MN AM BC
AC
=
=
， ………………5分
因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，
又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形. 所以 //GM FN . ……………7分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，
所以 GM //平面ABF . ………………9分 （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点. ………………12分 20.（本小题满分12分）设函数()()22ln ,f x x m x h x x x a =-=-+. (1)当0=a 时，)()(x h x f ≥在),1(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围;
(2)当2=m 时，若函数)()()(x h x f x k -=在]3,1[上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围。

20.解:（1）当0,a =由)()(x h x f ≥可得ln m x x -≥- ，即ln x
m x
≤……1分
记ln x
x
ϕ=，则)()(x h x f ≥在）
，（∞+1上恒成立等价于min ()m x ϕ≤. 求得2ln 1
'()ln x x x
ϕ-= 当(1,)x e ∈时;'()0x ϕ<;当(,)x e ∈+∞时，'()0x ϕ>
故()x ϕ在e x =处取得极小值，也是最小值，
即min ()()x e e ϕϕ==，故m e ≤. -----------6分
（2）函数)()()(x h x f x k -=在[]3,1上恰有两个不同的零点等价于方程a x x =-ln 2，在[]3,1上恰有两个相异实根。

……………8分
令x x x g ln 2)(-=,则2
'()1g x x
=-
当[1,2)x ∈时，'()0g x <,当(2,3]x ∈时，'()0g x >
)(x g 在[]2,1上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数。

………10分 故min ()(2)22ln 2g x g ==- 又3ln 23)3(,1)1(-==g g
∵)3()1(g g >,∴只需)3()2(g a g ≤≤
故a 的取值范围是(]3ln 23,2ln 22-- ………………12分
21.（本小题满分12分）已知直线:13l y x =+过椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的一个焦点和一个顶点。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴交于点M ，求常数λ使得BD AM k k λ=
21. 解：（1）
直线:13
l y x =
+过两点(
)()
0,1, ……………1分 因为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的焦点在x 轴时，
故焦点为()
，顶点为()1,0 ……………2分.
3,1==∴c b ，222=+=∴c b a …………3分.
所以，所求椭圆C 的方程为2
214
x y += …………4分
（2）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，直线AB 的斜率11
AB y
k x =，
又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11
x
k y =-， …………7分
设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠， ……………8分 由22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222
(14)8440k x mkx m +++-=. 所以122
814mk
x x k +=-+， …………9分
因此12122
2()214m
y y k x x m k +=++=+，
由题意知，12x x ≠，所以121121144BD
y y y k x x k x +==-=+， …………10分 所以直线BD 的方程为1111
()4y
y y x x x +=+，
令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x 可得11
2AM y
k x =-. ………11分
所以2A M B D k k =-，即2λ=-.因此存在常数2λ=-使得结论成立. …………12分
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔填涂题号。

22、（本小题满分10分）
23、（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为12
x y ⎧=-
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为ρ=。

（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，1C 与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅的值。

23.（1）2
212:1;:14
x C x y C y +=+=
（2）将1C 的参数方程代入2C
的方程可得：2560t --=
1265
PA PB t t ∴==
24、（本小题满分10分）设函数()133f x x x a a =-+-+，x R ∈。

（1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集； （2）对任意m R +∈，x R ∈恒有()4
9f x m m
≥--
，求实数a 的取值范围。

24.（1）当1a =时，()72,15,1321,3x x f x x x x -≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
()7f x ∴>的解集为{}04x x x <>或
（2）()133133313f x x x a a x a x a a a =-+-+≥-+-+=-+ 又有4
9945m m
--
≤-= 由题意恒成立得 3135a a -+≥，解得1a ≥
a ∴的取值范围为[)1,+∞。