湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题

湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题
总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题意要求的． 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U = 集合{}1,2,3,4,5,6A = 集合{}3,4,5,6,7,8B =，则集合
U U
A
B 痧为（ ）
A ． {}3,4,5,6
B ． {}1,2,7,8,9
C ． {}1,2,3,4,5,6,7,8
D ． {}9 2．已知点()1,3A ，()4,1B -则与AB 同方向的单位向量是（ ） A ． 3
4,55⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ． 43,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭ C ． 34,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭ D ． 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
3．命题“对任意x R ∈都有2
1x ≥”的否定是（ ） A ．对任意x R ∈，都有2
1x <
B ．不存在x R ∈，使得2
1x <
C ．存在0x R ∈，使得2
01x ≥
D ．存在0x R ∈，使得2
01x <
4．已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则()f x 的定义域为（ ） A ． 31,24⎛⎫
-
⎪⎝⎭ B ． 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． ()3,2- D ． ()3,3-
5．已知角x 的终边上一点坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，则角x 的最小正值为（ ） A ．
56π B ． 53π C ． 116π D ． 23
π
6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2
=32ln f x x xf x '++，则()2f '的值等于（ ）
A ．2
B ． 2-
C ．
94 D ． 9
4
- 7．已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．
6365 B ． 6365- C ． 6365± D ． 5
13
8．已知点(),a b 在圆2
2
1x y +=上，则函数()2
cos sin cos 12
a
f x a x b x x =+-
-的最小正周期和最小值分别为（ ）
A ． 32,2π-
B ． 3,2π-
C ． 5
,2
π- D ． 52,2π-
9．函数()3
f x m x =
-+有零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ． ⎛ ⎝⎭
B ．
⎡⎢⎣⎦ C ．
⎡⎢⎣⎦ D ．
⎛ ⎝⎭
10．设分程220x
x ++=和方程2log 20x x ++=的根分别为p 和q ，函数
()()()2f x x p x q =+++，则（ ）
A ． ()()()203f f f =<
B ． ()()()023f f f <<
C ． ()()()302f f f <=
D ． ()()()032f f f <<
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．请把答案填在答题卡上． 11．已知()tan 2θπ-=，则2
2
sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为
13．
ABC 中，60A =︒，1b =，三角形ABC 面积S =sin sin sin a b c
A B C
++=++
14．已知函数()3
2
2
f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a b +取值的集合为 15．若关于x 的方程4
3
2
10x ax ax ax ++++=有实根，则实数a 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证
明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
17．（本小题满分12分）
已知函数()2
cos cos f x x x x ωωω-，
其中ω为使()f x 能在23
x π
=时取得最大值的最小正整数． （1）求ω的值；
（2）设ABC 的三边长a 、b 、c 满足2
b a
c =，且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．
18．（本小题满分12分）
ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，角A 的平分线AD 交BC 边于D ，60A =︒．
（1）求证：AD b c
=
+；
（2）若2BD DC =，AD =a 、b 、c 的值． 19．（本小题满分12分）
工厂生产某种产品，次品率P 与日产量x （万件）间的关系()()1
0623
x c x
P x c ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩
（c 为常数，且06c <<），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元
（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： 100⨯次品数
次品率=%产品总数
）
20．（本小题满分13分）
已知()()20f x ax bx c a =++>，当1x ≤时，()1f x ≤． （1）证明1c ≤；
（2）若2
2
4442a b a b ab ++=+-成立，请先求出c 的值，并利用c 值的特点求出函数()f x 的表
达式． 21．（本小题满分14分）
已知函数()()()()()
1212ln ,x f x a x x g x xe -=---=（a 为常数，e 为自然对数的底）
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值；
（3）若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立，求a
的取值范围．
数学（理）参考答案
11．
195
12．3,32
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
13．
3
14．{}7-
15．[)2,2,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
16．若命题p 为真 ()()210a x a x +-= 显然0a ≠
2x a ∴=-或1x a
=
[]1,1x ∈- 故有21a -≤或1
1a
≤ 1a ∴≥
………………………5分
若命题q 为真，就有()2
2420a x a -=
0a ∴=或2a =
∴命题“p 或q ”为假命题时，()
()1,00,1a ∈-
………………………12分
17．（1）()1sin 262f x x πω⎛
⎫=-
- ⎪⎝
⎭，依题意有()42362k k Z πωπππ-=+∈ 即()31
2
k k Z ω+=∈ ω的最小正整数值为2
2ω∴=
………………………5分 （2）2b ac = 又 222
2c o s b a c a B =+-
22
2cos a c ac B ac ∴+-= 即22212cos 2a c ac B ac ac
++=
≥= 12cos 2B ∴+≥ 1c o s
2B ∴≥ 03
B π∴<≤ 即0,3A π⎛⎤
= ⎥⎝⎦
……………………………………8分
()1sin 462f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭ 03x π<≤
74666
x πππ
∴-<-≤
1sin 4,162x π⎛
⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………………………10分
()11,2f x ⎡⎤
∴∈-⎢⎥⎣⎦
故函数()f x 的值域是11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
…………………………12分
18．（1）S ABC S ABD S ACD =+ 即
1
11
sin 60sin 30sin 302
2
2
b c c
AD b
AD ︒=
︒+︒
AD ∴=
………………………………5分 （2）2BD DC = 2c B D b D C
∴== 2c b ∴= ①
……………………7分
又()4bc b c b c
=
∴=++ ②
…………………………9分
由①②解得6,12b c ==
…………………………………………10分
又在ABC 中 2
2
2
2
2
1
2c o s 61226122
a b c b B =+-=+-⨯⨯⨯
a ∴= ……………………………………………………12分
19．（1）当x c >时，23p =，222130333y x x ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
…………2分
当0x c <≤时，1
6p x
=-
()()2
3921131366226x x y x x
x x x -⎛⎫⎛⎫
∴=--= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
……………4分 ∴日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数关系式为
()()()
()23920260
x x x c y x x c ⎧-⎪<≤=-⎨⎪
>⎩
……………………………………5分
（2）当x c >时，日盈利额为0
当0x c <≤时，()
()
239226x x y x -=-
()()
()
2
23932
6x x y x --'∴=
- 令0y '=得3x =或9x =（舍去）
∴当03c <<时，0y '> ∴y 在(]0,c 上单增 ∴y 最大值()()()
239226c c f c c -==
- ………………………………9分
当36c ≤<时，y 在()0,3上单增，在()3,c 上单减 ∴y 最大值()9
32
f ==
……………………………………10分
综上：当03c <<时，日产量为c 万件y 日盈利额最大
当36c ≤<时，日产量为3万件时日盈利额最大
20．（1）
1x ≤时 ()()1
01
f x f ≤∴≤ 0c ∴≤ ……………………………………………………4分
（2）由2
2
4442a b a b ab ++=+-得到()2
20a b +-=
2a b ∴+= ……………………………………………………5分 又
1x ≤时 ()11f ∴≤ 即11a b c -≤++≤
将2a b +=代入上式得
31c -≤≤- 又 11c -≤≤
1c ∴=- ……………………………………………………8分
又()01f c ==- 1x ≤时()1f x ≥
()()0f x f ∴≥
对1x ≤均成立
0x ∴=为函数()f x 为对称轴 ………………………………10分
002b
b a
∴-
=∴= 又22a b a +=∴= 201a b c ∴===- ………………………………………………12分 ()221f x x ∴=- ………………………………………………13分
21．（1）1a =时，()()2
2ln 11f x x x f x x
'=--=-
由()0f x '>得2x > ()0f x '<得02x <<
故()f x 的减区间为()0,2 增区间为()2,+∞ …………………………3分 （2）因为()0f x <在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立不可能
故要使()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0f x >恒成立 即10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时，2ln 21x a x >-- …………………………………5分 令()2ln 120,12x l x x x ⎛⎫
=-
∈ ⎪-⎝⎭
则()()
2
2
2ln 2
1x x l x x +-'=- 再令()212ln 20,2m x x x x
⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭
()()2
210x m x x --'=< 于是在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上()m x 为减函数 故()122ln 202m x m ⎛⎫
>=-> ⎪⎝⎭
()0l x '∴>在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立
()l x ∴在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上为增函数
()12l x l ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭ 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上恒成立
又124ln 22l ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
故要使ln 21x
a x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞
若函数()f x 在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上无零点，a 的最小值为24ln 2-
………………8分
（3）()()11x
f x x e -'=-
当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x ∴为增函数 当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x ∴为减函数
()()()100,11
0e g g g e e e -===>
∴函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1 …………………………………9分
当2a =时，不合题意 当2a ≠时，()()()2220,a x a f x x e x
⎛⎫
--
⎪-⎝⎭
'=∈
故2
02e a <
<- 2
2a e
∴<-① ……………………………………………………10分
此时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下
0x →时，()f x →+∞，2ln 22f a a a ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()()()212f e a e =---
∴任意定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =
使得()()0i f x g x =成立， 当且仅当a 满足下列条件
202f a ⎛⎫< ⎪-⎝⎭即22ln 02a a ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭
② ()1f e >即()()2121a e ---≥ ③
……………………11分
令()222ln ,22h a a a a e ⎛⎫
⎛
⎫=-∈-∞-
⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭
()2
a
h a a '=
- 令()0h a '=得0a = 当(),0a ∈-∞时，()0h a '> 函数()h a 为增函数 当20,2a e ⎛
⎫
∈-
⎪⎝
⎭
时，()0h a '< 函数()h a 为减函数 所以在任取2,2a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭时有()()00h a h ≤=
即②式对2,2a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭恒成立 ……………………………………13分
由③解得3,21a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭ ④
由①④ 当3,21a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭
时
对任意(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使()()0i f x g x =成立。