空间向量解立体几何课件一

(3)相等向量： 长度相等 且 方向相同 的向量叫做相等向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向 相同或相反 的非零向量叫做
平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作
a∥b .②规定：零向量与 任一向量
平行．
温馨提示：注意 0 与 0 的含义与书写的区别
第二节 平面向量及其运算规律
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垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式
cos θ＝ a·b ＝ |a||b|
x12＋x1xy21＋2·yx1y222＋y22.
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第三节 空间向量
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考点整合
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)．平面 α、β 的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4， c4)(以下相同)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直
温馨提示：向量可以用有向线段表示，但不能说向量是有向线段． 向量的含义比有向线段更广泛！
(2)向量的几何表示法 以 A 为 起点 ，以 B 为 终点 的有向线段记作A→B.
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如果有向线段A→B表示一个向量，通常我们就说向量A→B.
(3)用字母表示向量
通常在印刷时，用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，在手写
高考数学 向量法解立体几何
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高考数学 向量法解立体几何一
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第一节 向量的基本概念
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1．向量 既有大小，又有方向 的量叫向量．
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2．向量的几何表示 (1)有向线段 带有 方向 的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方 向、长度．线段 AB 的长度叫做有向线段A→B的长度，记作|A→B| .
榆的求法 ①利用向量求二面角的大小，可以不作 出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所 求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可 以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向 量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
y
叫做向量a的坐
3．平面向量的坐标运算
文字
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符号
加法
两个向量和的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，
y2)，则a＋b＝ (x1＋x2，
y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，
两个向量相应坐标的差
y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2)
温馨提示：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数 化，将数与形紧密结合起来，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
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注意．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥
b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.
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2．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝||aa|·|bb||(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则 有 sin φ＝|cos θ|＝||ee|·|nn||.
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时用带箭头的小写字母→a ， →b ， →c ，…表示向量．
也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如A→B，C→D.
再次提示：向量可以用有向线段表示，但不能说向量是有向线段．
3．与向量有关的概念 (1)零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 .
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(2)单位向量：长度为 1 的向量叫做单位向量．
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2．平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标 如图在直角坐标系中，分别取与x轴、 轴方向相同的两个 单位向量 i、j作为基 底，对于平面内的一个向量a，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对 (x，y) 标．
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数乘向 量
实数与向量的积的坐标等于用 这个实数乘原来向量的相应坐 标
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝
(λx，λy)
重要 结论
文字
符号
一个向量的坐标等于表示此向 量的有向线段的终点的坐标减 去始点的坐标
已知向量A→B的起点A(x1，
y1)，终点B(x2，y2)，则A→B＝
(x2－x1，y2－y1)