山东省烟台市1213学年高一下学期期末考试数学(扫描版)(附答案) (1)

参考答案
一、选择题
A B C B B B D A B A D C
二、填空题
13．1 14．
5
15．322 16三、解答题
17．解答：（1）设,a b 所成角为θ，由32-=a b 2291247-⋅+=a a b b ，将1==a b 代入得：12
⋅=
a b ， ……………4分 所以1||||cos cos 2θθ⋅===a b a b ， ……………5分 又[0,]θπ∈，故3π
θ=，即,a b 所成角的大小为3
π． ……………7分 （2）因为22222|3|969||6||13+=+⋅+=+⋅+=a b a a b b a a b b ……………10分
所以3+=a b ……………12分
18．解答：（1）由图像可知2A =.
8T =，∵28,4T π
π
ωω==∴=，故()2sin()4f x x π
ϕ=+ ……………3分
又图象经过点(1,2),∴2sin(
)24πϕ+=，即sin()14πϕ+= ∵||2π
ϕ<，∴4π
ϕ=，∴()2sin()44f x x ππ
=+； ……………6分 （2）()(2)2sin()2sin()44424y f x f x x x πππππ
=++=++++ 2sin()2cos()4444x x ππππ
=+++
sin()424
x x πππ=+=， ……………9分 ∵2
[6,]3x ∈--，∴3246x πππ-
≤≤-， 当324
x πππ-≤≤-，即[6,4]x ∈--时，()f x 单调递减； ……………11分 当46x π
π
π-≤≤-，即2
[4,]3
x ∈--时，()f x 单调递增. …………12分
19.解：(1)∵(cos 2,sin )AC αα=-，(cos ,sin 2)BC αα=-，
∴|
=, |
= ……………2分
由||=||得sin cos αα=. ……………4分
又∵ α∈(
2π,2
3π)，∴ α=45π. ……………5分 （2）1(2,2),(cos ,sin )2
AB DC αα=-=-，由//AB DC 得 1(2sin )2(cos )02αα---=， ……………7分 所以1sin cos 2
αα+=,
可得sin()44
π
α+=，即3sin 24α=-. ……………9分 而α∈3(,)22ππ
，所以tan()4πα+= ……………10分
222sin sin 22sin 2sin cos sin 2tan()sin 1tan 41cos 3()(4αααααπααααα
++==⋅+--=-⋅= ……………12分
20．解答：
方法一：（1）1sin cos 2sin cos ()1sin cos x x x x f x x x
+++=++
222sin cos sin cos 2sin cos =1sin cos (sin cos )sin cos (sin cos )(1sin cos )1sin cos 1sin cos sin cos 4x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x π
++++++++++++==++++=+=+)
……………6分
方法二：1sin cos 2sin cos ()1sin cos x x x x f x x x +++=++=2sin cos 11sin cos x x x x
+++ 2(sin cos )12sin cos x x x x +=+
22sin cos (sin cos )1(sin cos 1)(sin cos 1)x x x x x x x x ∴=+-=+++-
代入上式得：()sin cos )4f x x x x π
=+=+ ……………6分
（2）当[0,]x π∈时，5[,]444x πππ+
∈，sin()[4x π+∈ ……………8分
)[4x π+
∈-，即()f x ……………10分 此时42x π
π
+=，所以4x π
=． ……………12分
21．解答：（1） ⊥m n ， 22sin (12sin )024
x x x ∴-= …………………2分
2sin cos sin 22
x x x x ==
tan x ∴= ,3x k k Z π
π∴=+∈, ………………5分
∴x 的取值的集合为：{|,}3x x k k Z ππ∴=+
∈ ………………6分
（2）2()2sin (2cos 1)2sin 224
x x f x x t x x t =---=- 2sin()23x t π
=-- ……………8分
∵函数()f x 有两个零点 ∴方程2sin()203x t π
--=当[0,]x π∈时有两个解
∴y=2t 与y=2sin([0,]3x x π
π-∈)，图象有两个交点 ……………10分
当[0,]x π∈时，2[,]333x π
ππ
-∈-，由图像得，2t ∈ ……………12分
t ∴的取值范围为 ……………13分
22．解答：(1)解:由已知||||OA OB =,由三角函数定义得,
因为cos
3α==,
所以 sin α== ……………3分
33
)sin 322B x αα-απ=+===………6分 (2)解:不妨设1122(,),(,),A x y B x y OA OB r ==，
依题意得：11cos ,sin x r y αα==， 1sin y r α=,2sin()3y r απ=+. 所以 22111111cos sin sin 2224
S x y r r ααα==⋅=, ……………8分 5,),(,)
62326
απππππ∈(∴α+∈ 所以222221112||[cos()]sin()sin(2)22334
3S x y r r αααπππ==-+⋅+=-+……10分 依题意得 2sin 22sin(2)3π
=-+αα,
整理得 cos 20=α 因为 62π
π
<<α, 所以 23π
<<πα,
所以 22π
=α, 即 4π
=α
……………13分。