【KS5U解析】云南省昆明三中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年云南省昆明三中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0
2．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）
A．14 B．30 C．20 D．55
3．双曲线﹣=1与直y=﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为（）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
4．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
6．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）
A．或B．C．或D．
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）
A．8 B． C．10 D．
8．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）
A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？
9．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）
A．x=±B．y=C．x=D．y=
10．若动圆C过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是（）
A．x2=8y B．x2=8y（x≠0）C．y2=8x D．y2=8x（x≠0）
11．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
12．（理）已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线上任
意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为（）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上情况都有可能
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．（坐标系与参数方程选做题）
圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是．
14．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．
15．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为．
16．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为S n，，
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求证：b1+b2+…+b n＜2．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD= 90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
20．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，曲线（α为参数）．
（1）求曲线C1的普通方程；
（2）若点M在曲线C1上运动，求M到曲线C的距离的最小值，并求出M点的坐标．
21．如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．
22．已知椭圆C：，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=﹣1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=﹣4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年云南省昆明三中高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜0
【考点】命题的否定；全称命题．
【专题】证明题．
【分析】根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：
命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．
故选A．
【点评】熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．
2．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）
A．14 B．30 C．20 D．55
【考点】循环结构．
【专题】计算题；算法和程序框图．
【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．
【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，
第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，
第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，
第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，
输出S=30，
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．
3．双曲线﹣=1与直y=﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为（）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线解析式确定出渐近线方程，分类讨论m=0与m≠0，确定出双曲线与直线公共点个数即可．
【解答】解：由双曲线﹣=1，得到a=3，b=2，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
当m=0时，直线y=﹣x与双曲线没有公共点；
当m≠0时，直线y=﹣x+m与双曲线渐近线平行，与双曲线只有一个公共点，
综上，双曲线﹣=1与直y=﹣x+m（m∈R）的公共点的个数为0或1，
故选：C．
【点评】此题考查了双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．
4．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先画出满足约束条件：，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后
将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，
由得，
由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6．
故选B．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．
【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选D．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．
6．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）
A．或B．C．或D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】综合题；直线与圆．
【分析】根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值．
【解答】解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，所以∠POQ=120°（其中O为原点），如图
可得∠OPE=30°；OE=OPsin30°=，
即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d==，
所以k=．
故选：A．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，求出圆心（0，0）到直线的距离是解题的关键．
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）
A．8 B． C．10 D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．
【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，
显然面积的最大值，10．
故选C．
【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．
8．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）
A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？
【考点】程序框图．
【专题】操作型．
【分析】由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i ﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．
【解答】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，
由于12×11=132，故此循环体需要执行两次
所以每次执行后i的值依次为11，10
由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意
故选B
【点评】本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．
9．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）
A．x=±B．y=C．x=D．y=
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点
∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，
∴=2
双曲线的渐近线方程为y=±=±x
故选D
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合．考查了学生综合运用双曲线的基础的能力．
10．若动圆C过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是（）
A．x2=8y B．x2=8y（x≠0）C．y2=8x D．y2=8x（x≠0）
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=4，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．
【解答】解：设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=4，
∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．
故选：C．
【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）
A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2
C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．
【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．
故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．
故选B．
【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》
12．（理）已知双曲线的左焦点为F1，左、右顶点为A1、A2，P为双曲线上任
意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为（）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上情况都有可能
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；双曲线的应用．
【专题】计算题；作图题；综合题；压轴题；数形结合．
【分析】画出图象，考查两圆的位置关系，就是看圆心距与半径和或与半径差的关系，分情况P在左支、右支，推导结论．
【解答】解：如图所示，若P在双曲线坐支，则
，
即圆心距为半径之和，两圆外切；
若P在双曲线右支，则|O1O2|=r1﹣r2，两圆内切，
所以两圆相切；
故选B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，双曲线的应用，考查数形结合思想方法，是基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
13．（坐标系与参数方程选做题）
圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是（1，0）．
【考点】参数方程化成普通方程；抛物线的简单性质．
【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可．
【解答】解：由方程（t为参数）得y2=4x，它表示焦点在x轴上的抛物线，其焦点
坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力．
14．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理
得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
15．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；数形结合；待定系数法．
【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN 垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A
（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，
，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，
而，，由直线AB：y=k（x﹣），代入抛物线的方程可得，
k2x2﹣（pk2+2p）x+k2p2=0，
即有，
∴，
得y2=3x．
故答案为：y2=3x．
【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．
16．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2
的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
【解答】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为S n，，
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求证：b1+b2+…+b n＜2．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）等差数列{a n}中a1=1，公差d=1，由能求出数列{b n}的通项公式．（2）由，能证明b1+b2+…+b n＜2．
【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中a1=1，公差d=1
∴
∴…
（2）∵…
∴
=…
=…
∵n＞0，
∴
∴
∴b1+b2+…+b n＜2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的证明，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列前n项和公式的应用和裂项求和法的灵活运用．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
【考点】正弦定理；余弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．
【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣
sinCcosA，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，
∴sinA﹣cosA=1，
整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，
∴A﹣=或A﹣=，
解得：A=或A=π（舍去），
则A=；
（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，
∴bcsinA=bc=，即bc=4①；
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，
整理得：b+c=4②，
联立①②解得：b=c=2．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD= 90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题．
【分析】（I）由已知易得，AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD的方向向量及平面PAC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（II）设侧棱PA的中点是E，我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判断及得E点符合题目要求；
（III）求现平面APD的一个法向量及平面PCD的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【解答】解：因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD=90°，
所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设AD=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．（Ⅰ）证明：，，，
所以，，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．
（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，则，．
设平面PCD的一个法向量是n=（x，y，z），则
因为，，
所以取x=1，则n=（1，1，2）．
所以，所以．
因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．
（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，所以为平面PAD的一个法向量．
由（Ⅱ）知，n=（1，1，2）为平面PCD的一个法向量．
设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
所以．
即二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．
【点评】利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．
20．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，曲线（α为参数）．
（1）求曲线C1的普通方程；
（2）若点M在曲线C1上运动，求M到曲线C的距离的最小值，并求出M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．
【分析】（1）由，得，代入公式sin2α+cos2α=1可得C1普通方程．
（2）曲线C是直线，其直角坐标方程为x+2y﹣10=0，点M的坐标可表示为（3cosα，2sinα），由点到直线距离公式可得M到直线的距离能求出最小值．
【解答】解：（1）∵曲线（α为参数），
∴，代入cos2α+sin2a=1，
得曲线C1的普通方程：．
（2）曲线C的普通方程是：x+2y﹣10=0，
设点M（3cosα，2sinα），
由点到直线的距离公式得：，
其中，
∴α﹣φ=0时，，此时．
【点评】本题考查曲线的普通方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．
21．如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．
（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．
【考点】抛物线的应用．
【专题】计算题．
【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．
（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA=﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．
【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px
∵点P（1，2）在抛物线上∴22=2p×1，得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x
准线方程是x=﹣1
（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB
则，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补
∴k PA=﹣k PB
由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）
∴
∴y1+2=﹣（y2+2）
∴y1+y2=﹣4
由（1）﹣（2）得直线AB的斜率
【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．
22．已知椭圆C：，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=﹣1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=﹣4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．设直线l为x=ty﹣4，写出AB 中垂线方程，进而得到P点坐标，表示出P到直线l的距离d，据弦长公式求出|AB|，则有
d=•|AB|
，解出即可，注意要保证直线与椭圆有两个交点，即直线与椭圆方程联立消元后△＞0．【解答】解：（Ⅰ）设点N（0，n），则MN的中点为（﹣，），
∴=1，解得n=，
所以直线l的方程为：y=±（x+1）．
（Ⅱ）假设在x轴上存在点P，使得△PAB为等边三角形．
设直线l为x=ty﹣4，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，∴（3t2+4）y2﹣24ty+36=0，
∴y1+y2=，，△=144（t2﹣4）＞0，
∴AB中点为（，），
∴AB的中垂线为：y﹣=﹣t（x+），
∴点P为（﹣，0），∴P到直线l的距离d==，
∵|AB|=，
∴=，
∴t=±，
∴存在点P为（﹣，0）．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
2016年2月28日。