2020-2021学年重庆巫山高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年重庆巫山高级中学高三数学理上学期期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
参考答案：
B
根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B
2. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率
为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即，
所以离心率，故选A．
3. 定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 不等式的解集为，则函数的图象大致为
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
5. ．如图所示，程序框图的输出结果S= 。

参考答案：
略
6. 已知复数，则（）
A．
B．C．
D．0
参考答案：
7. 一条光线沿直线照射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
A
直线与，轴分别相交于点，，
点关于轴的对称点．
∴光线沿直线照射到轴后反射，
则反射光线所在的直线即为所在的直线，
直线方程为，
即，
故选．
8. 某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30
之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.
【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为：，时长分钟
若听第二节课的时间不少于分钟，则需在之间到达教室，时长分钟
听第二节课的时间不少于分钟的概率为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.
9. 设，且，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
10. 已知，则的值为 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x=1对称，则a的值
为．
参考答案：
3
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题．
【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值．【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称．
又因为函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|=的图象关于直线x=1对称，
所以有=1?a=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点．在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间．
12. 已知数列{a n}的前n项和为S n，满足：a1=1，a n+1+2S n?S n+1=0，则该数列的前2017项和S2017=．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】将a n+1=S n+1﹣S n代入a n+1+2S n?S n+1=0化简后，由等差数列的定义判断出数列{}
是等差数列，由条件求出公差和首项，由等差数列的通项公式求出，再求出S n和S2017．
【解答】解：∵a n+1+2S n?S n+1=0，
∴S n+1﹣S n+2S n?S n+1=0，
两边同时除以S n?S n+1得，，
又a1=1，∴数列{}是以2为公差、1为首项的等差数列，
∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，则S n=，
∴该数列的前2017项和S2017==，
故答案为：．
13. 的二项展开式中常数项是（用数字作答）．
参考答案：
答案：84
解析：根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：
,令得,故有:
14. 在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下结论：
①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P为直线上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”
的必要不充分条件是“”.
其中正确的结论有（填上你认为正确的所有结论的序号）.
参考答案：
①③
略
15. 盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．
参考答案：
16. （4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．
参考答案：
[9，+∞）
【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】：计算题；压轴题．
【分析】：先根据基本不等式可知a+b≥2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得．
解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，
∴ab﹣2﹣3≥0
∴≥3或≤﹣1（空集）
∴ab≥9
故答案为：[9，+∞）
【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．
17. 已知点，，，若，则实数m的值
为．
参考答案：
点，，，，又，
，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，实数的值为，故答案为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
参考答案：
本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
19. 正项等比数列{a n}中，已知，.
(Ⅰ)求{a n}的前n项和S n；
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的S n，设，且，求数列b n的通项公式.
参考答案：
解：(Ⅰ)设正项等比数列的公比为，则
由及得，化简得，解得或（舍去）.
于是，所以，.
(Ⅱ)由已知，，所以当时，由累加法得
.
又也适合上式，所以的通项公式为，.
20. （12分）如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角。

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
参考答案：
（1）如图,过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接
A'E,A'F,AD. ----------------------------2分
由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF. ----------------------------4分
因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC, ----------------------------5分
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.
又∵斜三棱柱的底面积为2×a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2. ----------------------------8分
（2）---------------------------12分
21. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*），数列{b n}满足b1=1，且点P（b n，b n+1）（n∈N*）在直线y=x+2上．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n?b n}的前n项和D n；
（3）设（），求数列{c n}的前2n项和T2n．
参考答案：
（1）当n=1，a1=2,当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n﹣1（n≥2），
∴{a n}是等比数列，公比为2，首项a1=2, ∴
又点在直线y=x+2上，∴b n+1=b n+2，∴{b n}是等差数列，公差为2，首项b1=1，∴b n=2n﹣1
（3）∵
∴ ①
②
①﹣②得
所以，
（3）
T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）－（b2+b4+…b2n）
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值．
【解答】解：（1）对于曲线C2有，即
，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．。