广东省梅州市伏溪中学2021年高三数学理模拟试题含解析

广东省梅州市伏溪中学2021年高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知为第二象限角，，则 ( )
A．
B． C． D．
参考答案：
2. 已知向量与向量平行，则锐角等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 设为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕
关于的极小值﹐试问下列（）选项是正确的﹖
A． B． C． D．不存在参考答案：
C
知识点：方程的根与函数的关系；函数的极值.
解析：解：方程式的相异实根数等价于函数与直线两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕(1)当的最高次项系数为正时﹕
(2) 当的最高次项系数为负时﹕
因为极小值点位于两水平线与之间﹐所以其坐标（即极小值）的范围为﹒故选C﹒
思路点拨：方程式的相异实根数等价于函数与直线的交点数，然后画图形即可.
4. 已知复数为实数，则实数m的值为（）
A． B． C． D．
A．-1 B．-3 C．3或-3 D．3
参考答案：
D
5. 已知定义在上的函数，对任意，都有成立，若函数
的图象关于直线对称，则（）
A．0 B．1008 C．8
D．
参考答案：
A
略
6. 从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
先求出基本事件总数n，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率
【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，
基本事件总数n，
这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m4，
∴这两个数字的和为偶数的概率为p．
故选B．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7. 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）
A．B．C．D．
参考答案：B
8. 函数的定义域为
A. {x|x>1}
B.{x|x<1}
C. {x|－1<x<1}
D. ?
参考答案：
B
略
9. 若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a– 5},B={x|3≤x≤22},则能使A⎨A∩B成立的所有a的集合是( )
（A）{a | 1≤a≤9} (B) {a | 6≤a≤9}
(C) {a | a≤9} (D) ?
参考答案：
B
解：A⎨B，A≠?．T 3≤2a+1≤3a－5≤22，T6≤a≤9．故选B．
10. 已知集合，则
（）
A.{(－1,1),(1,1)}
B.[0,2]
C.[0,1]
D.{1}
参考答案：
B
，
，
，故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知sinα=3sin（α+），则tan（α+
）= ．
参考答案：
2﹣4
【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．
【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan
（α+）的值．
【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，
∴tanα=．
又tan=tan（﹣）===2﹣，
∴tan（α+）====﹣=2
﹣4，
故答案为：2﹣4．
12. 已知直线y=a与函数f（x）=2x及函数g（x）=3?2x的图象分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为．
参考答案：
log23
考点：指数式与对数式的互化．
专题：计算题．
分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．
解答：解：由2x=a，可得x=log2a；由3?2x=a，可得x==log2a﹣log23
∴A，B两点之间的距离为log2a﹣（log2a﹣log23）=log23故答案为：log23
点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于基础题．
13. 已知函数，若，且，都有不等式
成立，则实数的取值范围是．
参考答案：
14. 已知
且，则___________.
参考答案：
略
15. 在中，
,的平分线交于,若，且,则的长为 .
参考答案：
16. 已知集合，那么集合是_____________参考答案：
17. 如右图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC 边上，∠ADC=，则AD的长
为
参考答案：
在△ABC中，因为AB=AC=2，BC=，所以，又∠ADC=，所以∠DAC=，所以
CD=AC=2，所以由余弦定理得：，所以
AD=。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当时，的面积为1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2为定值.
参考答案：
（Ⅰ）设由题，
解得，则，
椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，，
当直线的斜率不存在时，设，则，直线的方程为代入，可得
，，则
直线的斜率为，直线的斜率为，
，
当直线的斜率不存在时，同理可得.
当直线、的斜率存在时，
设直线的方程为，则由消去可得：
，
又，则，代入上述方程可得
，
，则
，
设直线的方程为，同理可得，直线的斜率为，
直线的斜率为，
.
所以，直线与的斜率之积为定值，即.
19. （13分）
已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由.
参考答案：
解析：(Ⅰ)由椭圆定义知故.即椭圆方程为,将(1,1)代入得.
故椭圆方程为
. ……………4分因此,离心率
. ……………6分
(Ⅱ)设由题意知,直线的倾斜角不为90,故设的方程为
,联立
消去得. ……8分
由点在椭圆上,可知.
因为直线的倾斜角互补,
故的方程为,同理可得.
所以.
又,
所以,即直线的斜率为定值. …………………13分
20. 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求直线的方程.
参考答案：
(1) (2) 或解析：（1）因为椭圆过点
，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得
所以椭圆的方程为：……… （4分）
（2）①当直线的倾斜角为时，
，不适合题意。

……… （6分）
②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，
代入得：……… （7分）设，则
，
所以直线方程为：或……… （12分）.
略
21. 已知函数．
(I)判断的单调性；(Ⅱ)求函数的零点的个数；
(III)令，若函数在(0，)内有极值，求实数a的取值范围；参考答案：略
22. 已知数列{a n}的前n项和S n，满足，. （1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
（1）由…………①
当时，，得
当时，…………②
①②得：
即且
故数列是首项为，公比为等比数列．
（2）由（1）知：
故
．。