高中物理 第一章 静电场 第7讲 电势差与电场强度的关系学案 新人教版选修31

电势差与电场强度的关系
[目标定位] 1.理解在匀强电场中电势差与电场强度的关系：U AB ＝Ed ，并了解其适用条件.2.会用U AB ＝Ed 或E ＝
U AB
d
解决有关问题． 一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系式：U AB ＝Ed .
2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积．
3．适用条件：匀强电场． 深度思考
如图1所示，在电场强度为E 的匀强电场中，A 、B 之间的距离为L ，若A 、B 两点连线与场强方向成α角，则A 、B 两点间的电势差U 为多少？
图1
答案 U ＝EL cos α.
例1 如图2所示，在xOy 平面内有一个以O 为圆心、半径R ＝0.1m 的圆，P 为圆周上的一点，O 、P 两点连线与x 轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小E ＝100V/m ，则O 、P 两点的电势差可表示为( )
图2
A ．U OP ＝－10sin θ(V)
B ．U OP ＝10sin θ(V)
C ．U OP ＝－10cos θ(V)
D ．U OP ＝10cos θ(V)
解析 在匀强电场中，U OP ＝－E ·R sin θ＝－10sin θ(V)，故A 对． 答案 A
U AB ＝Ed 中的d 为A 、B 两点沿电场方向的距离．
例2 如图3所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa ＝50V ，φc ＝20V ，则a 、c 连线中点
b 的电势φb 为( )
图3
A ．等于35V
B ．大于35V
C ．小于35V
D ．等于15V
解析 从电场线疏密可以看出E a ＞E b ＞E c ，由公式U AB ＝Ed 可以判断U ab ＞U bc ，所以φb ＜φa ＋φc
2＝35V. 答案 C
U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性
地分析有关问题.
如图3中电场线分布可知，ab 段上任一点的场强都大于bc 段上任一点的场强，由U ＝Ed 知，U ab ＞U bc .
在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小等势面越密，场强E ＝U d
就越大.
二、从电势差的角度理解电场强度
1．公式：E ＝
U AB
d
. 2．(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向距离的比值．
(2)适用条件：匀强电场． (3)单位：伏特每米，符号V/m. 深度思考
V/m 和N/C 都是电场强度的单位，它们之间如何换算呢？ 答案 1V/m ＝1J C·m ＝1N·m
C·m
＝1N/C
例3 如图4所示，A 、B 是匀强电场中相距4cm 的两点，其连线与电场方向成60°角，两点间的电势差为200V ，则电场强度大小为( )
图4
A ．8V/m
B ．50V/m
C ．5×103
V/m
D ．1×104
V/m
解析 由电势差和电场强度的关系U ＝Ed ，得E ＝U d ＝U AB cos60°
＝1×104
V/m ，D 正确．
答案 D
关于场强E 的几个表达式的比较
E ＝F
q
是电场强度的定义式，适用于任意电场. E ＝kQ
r 2是真空中点电荷电场强度的决定式，只适用于真空中的点电荷.
E ＝U AB
d
是匀强电场中电场强度与电势差间的关系式，只适用于匀强电场.
三、等分法确定等势点
例4 如图5所示，虚线方框内有一匀强电场，A 、B 、C 为该电场中的三点，已知：φA ＝12V ，φB ＝6V ，φC ＝－6V ，试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线.
图5
解析 要画电场线，先找等势面(线)．
因为U AC ＝18V 、U AB ＝6V ，U AC U AB
＝3，将线段AC 等分成三份，即使AH ＝HF ＝FC ，则φH ＝6V ，φ
F
＝0V ，故B 、H 等电势．连接BH 即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示． 答案 见解析图
(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等，如图6甲AB ＝BC ，则U AB ＝U BC .
(2)在匀强电场中，相互平行且相等的线段两点间的电势差相等．如图乙AB 綊CD ，则U AB ＝
U CD .
图6
(3)确定电场方向的方法：先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)．
1．(公式U AB ＝Ed 和E ＝
U AB d 的理解与应用)对公式E ＝U AB
d
的理解，下列说法正确的是( ) A ．此公式适用于计算任何电场中A 、B 两点间的电势差 B ．A 点和B 点间距离越大，则这两点的电势差越大 C ．公式中d 是指A 点和B 点之间的距离 D ．公式中的d 是A 、B 两个等势面间的垂直距离 答案 D 解析 公式E ＝
U AB
d
只适用于匀强电场，A 错，公式中的d 是A 、B 两个等势面间的垂直距离，A 点和B 点间距离大，等势面间的垂直距离不一定大，故B 、C 错，D 正确．
2．(公式U AB ＝Ed 和E ＝
U AB
d
的理解与应用)平行的带电金属板A 、B 间是匀强电场，如图7所示，两板间距离是5cm ，两板间的电压是60V.
图7
(1)两板间的场强是________；
(2)电场中有P 1和P 2两点，P 1点离A 板0.5cm ，P 2点离B 板也是0.5cm ，P 1和P 2两点间的电势差U 12＝________.
答案 (1)1.2×103
V/m (2)48V
解析 (1)两板间是匀强电场，由U AB ＝Ed 可得两板间的场强E ＝U d ＝60V 5×10－2m
＝1.2×103
V/m.
(2)P 1、P 2两点间沿场强方向的距离：d ′＝4cm. 所以U 12＝Ed ′＝1.2×103
×4×10－2
V ＝48V. 3．(应用U AB ＝Ed 或E ＝
U AB
d
定性分析非匀强电场)如图8所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A 、B 、C 分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A 、C 两点的电势依次为φA ＝10V 和φC ＝2V ，则B 点的电势是( )
图8
A ．一定等于6V
B ．一定低于6V
C ．一定高于6V
D ．无法确定
答案 B
解析 从等势面的疏密可以看出E A ＞E B ＞E C ，又AB ＝BC 由公式U AB ＝Ed 可以判断U AB ＞U BC ，所以φB ＜6 V.
4．(用等分法画电场线)如图9所示，A 、B 、C 是匀强电场中等腰直角三角形的三个顶点，已知A 、B 、C 三点的电势分别为φA ＝15V ，φB ＝3V ，φC ＝－3V ，试确定场强的方向，并画出电场线．
图9
答案 见解析
解析 根据A 、B 、C 三点电势的特点，在AC 连线上取M 、N 两点，使AM ＝MN ＝NC ，如图所示，
尽管AC 不一定是场强方向，但可以肯定AM 、MN 、NC 在场强方向上的投影长度相等，由U AB ＝Ed 可知，U AM ＝U MN ＝U NC ＝φA －φC 3＝15－(－3)
3V ＝6V ．由此可知，φN ＝3V ，φM ＝9V ，B 、N
两点等电势，BN 的连线即为等势线，那么电场线与BN 垂直．电场强度的方向为电势降低最快的方向.
题组一 公式U AB ＝Ed 和E ＝
U AB
d
的理解与应用 1．(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( ) A ．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积 B ．沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等 C ．电势降低最快的方向必是场强方向
D ．在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大 答案 BC
解析 U AB ＝Ed 中的d 为A 、B 两点沿电场方向的距离，选项A 、D 错误；由U AB ＝Ed 可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B 、C 正确．
2．如图1所示，A 、B 两点相距10cm ，E ＝100V/m ，AB 与电场线方向的夹角θ＝120°，求
A 、
B 两点间的电势差为( )
图1
A ．5V
B ．－5V
C ．10V
D ．－10V
答案 B
解析 A 、B 两点在场强方向上的距离d ＝AB ·cos (180°－120°)＝10×1
2cm ＝5cm.由于
φA ＜φB ，则根据U AB ＝Ed 得U AB ＝－Ed ＝－100×5×10－2
V ＝－5V.
3．在水深超过200m 的深海，光线极少，能见度极小，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出生物电，获取食物、威胁敌害、保护自己．该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104
N/C 时可击昏敌害．身长50cm 的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达________V. 答案 5000
解析 根据U AB ＝Ed 可得U ＝104N/C ×0.5m ＝5000V.
4．如图2所示，一电场的电场线分布关于y 轴(沿竖直方向)对称，O 、M 、N 是y 轴上的三个点，且OM ＝MN .P 点在y 轴右侧，MP ⊥ON .则下列说法正确的是( )
图2
A ．M 点的电势比P 点的电势高
B ．将负电荷由O 点移动到P 点，电场力做正功
C ．M 、N 两点间的电势差大于O 、M 两点间的电势差
D ．M 、N 两点间的电势差等于O 、M 两点间的电势差 答案 A
解析 根据电场线和等势面的关系画出等势面，可以判断M 点的电势比P 点的电势高，A 正确．负电荷由O 点移到P 点，电场力做负功，B 错误．由U ＝Ed 进行定性分析可知，C 、D 错误．
5．(多选)如图3所示，A 、B 两板间电压为600V ，A 板带正电并接地，A 、B 两板间距离为12cm ，C 点离A 板4cm ，下列说法正确的是( )
图3
A ．E ＝2000V/m ，φC ＝200V
B ．E ＝5000V/m ，φ
C ＝－200V
C ．电子在C 点具有的电势能为－200eV
D ．电子在C 点具有的电势能为200eV 答案 BD
解析 A 板接地，则其电势为零，又因为A 、B 两板间的电压为600V ，则B 板电势为－600V ，
由此知C 点电势为负值，则A 、B 两板间场强E ＝U d ＝600V
12cm
＝50V/cm ＝5 000 V/m ，φC ＝E ×d C
＝50V/cm ×(－4cm)＝－200V ，A 错误，B 正确；电子在C 点具有的电势能为200eV.C 错误，D 正确．
题组二 找等势点，定电场方向
6．如图4所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm ，由此可确定电场强度的方向及大小为( )
图4
A ．竖直向下，E ＝0.4V/m
B ．水平向右，E ＝0.4V/m
C ．水平向左，E ＝40V/m
D ．水平向右，
E ＝40V/m 答案 D
解析 电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E ＝
U d ＝100.25
V/m ＝40 V/m ，故D 项正确． 7．如图5所示，A 、B 、C 三点都在匀强电场中，已知AC ⊥BC ，∠ABC ＝60°，BC ＝20cm ，把一个电荷量q ＝10－5
C 的正电荷从A 移到B ，电场力做功为零；从B 移到C ，电场力做功为－1.73×10－3
J ，则该匀强电场的电场强度大小和方向为( )
图5
A ．865V/m ，垂直AC 向左
B ．865V/m ，垂直A
C 向右
C ．1000V/m ，垂直AB 斜向上
D ．1000V/m ，垂直AB 斜向下 答案 D
解析 把电荷q 从A 移到B ，电场力不做功，说明A 、B 两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB 即为等势线，电场强度方向垂直于等势面，
可见，选项A 、B 错误；U BC ＝W BC q ＝－1.73×10－3
10
－5
V ＝－173V ，B 点电势比C 点低173V ，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB 斜向下，电场强度大小E ＝U d
＝U
BC sin60°
＝
173
0.2×
3
2
V/m≈1 000 V/m，因此选项D 正确，C 错误． 8．下列图中，a 、b 、c 是匀强电场中的三个点，各点电势φa ＝10V ，φb ＝2V ，φc ＝6V
，a 、
b 、
c 三点在同一平面上，图中电场强度的方向表示正确的是( )
答案 D
解析 直线ab 的中点的电势为6V ，与c 点等电势．电场的方向则由电势高处指向电势低处．故D 图正确．
9．a 、b 、c 、d 是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a 点的电势为20V ，b 点的电势为24V ，d 点的电势为4V ，
如图6所示．由此可知c 点的电势为( )
图6
A ．4V
B ．8V
C ．12V
D ．24V 答案 B
解析 方法一：连接bd ，因U bd ＝20 V ，可将bd 等分为5份，找到4个等分点e 、f 、g 、h ，由图可知φe ＝20 V ，则a 、e
等电势，由对称关系可知h 点与c 点电势相等，即φc ＝8 V.
方法二：因为bc 与ad 平行且相等，由匀强电场特点可得：φb －φc ＝φa －φd ，解得φc ＝
8 V.
题组三 综合应用
10．电子的电荷量的绝对值为e ，质量为m ，以速度v 0沿电场线方向射入场强为E 的匀强电场中，如图7所示．电子从A 点射入，到B 点速度变为零．问：
图7
(1)A 、B 两点间的电势差是多大？ (2)A 、B 两点间的距离是多大？
答案 (1)mv 202e (2)mv 20
2eE
解析 (1)由题意可知全过程只有电场力做功，则有eU AB ＝12
mv 2
0，
解得U AB ＝mv 20
2e
(2)由U AB ＝Ed ，可得d ＝U AB E ＝mv 20
2eE
.
11．如图8所示，在匀强电场中，有A 、B 两点，它们之间的距离为2cm ，两点的连线与场强方向成60°角．将一个电荷量为－2×10－5
C 的电荷由A 移到B ，其电势能增加了0.1J ．问：
图8
(1)在此过程中，电场力对该电荷做了多少功？ (2)A 、B 两点的电势差U AB 为多大？ (3)匀强电场的场强为多大？
答案 (1)－0.1J (2)5000V (3)5×105
V/m
解析 (1)电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1J 的功． (2)由W AB ＝qU AB ，得U AB ＝W AB q ＝－0.1
－2×10－5
V ＝5000V. (3)由U AB ＝Ed ，得E ＝
U AB d ＝U AB AB cos 60°
＝5×105
V/m. 12．如图9所示，平行金属带电极板A 、B 间可看成匀强电场，场强E ＝1.2×102
V/m ，极板间距离d ＝5cm ，电场中C 和D 点分别到A 、B 两板的距离均为0.5cm ，B 板接地，求：
图9
(1)C 和D 两点的电势、两点间电势差各为多少？
(2)将点电荷q ＝2×10－2C 从C 点匀速移到D 点时外力做多少功？
答案 (1)－5.4V －0.6V －4.8V
(2)9.6×10－2J
解析 (1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，则U BD 、U BC 均大于零，由U AB ＝Ed 得 U BD ＝Ed BD ＝1.2×102×0.5×10－2V ＝0.6V ，
即φD ＝－0.6V.
由于d CB ＝5cm －0.5cm ＝4.5cm ＝4.5×10－2m ，
所以U CB ＝－Ed CB ＝－1.2×102×4.5×10－2V
＝－5.4V ＝φC .
所以U CD ＝φC －φD ＝－5.4V －(－0.6V)＝－4.8V.
(2)因为点电荷匀速移动，外力所做的功等于点电荷克服电场力所做的功，W 外＝|qU CD |＝2×10－2×4.8J ＝9.6×10－2J.
13．把一个带正电荷q 的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O 点，小球质量m ＝2g ，悬线长L ＝6cm ，两板间距离d ＝8cm ，当两板间加上U ＝2×103V 的电压时，小球自悬线水平的A 点由静止开始向下运动到达O 点正下方的B 点时的速度刚好为零，如图10所示，以后小球一直在A 、B 之间来回摆动．取g ＝10m/s 2
，求小球所带的电荷量．
图10
答案 8×10－7C
解析 取小球为研究对象，重力mg 竖直向下，电场力Eq 水平向左，绳的拉力为F T ，在小球由A 向B 运动的过程中，重力mg 对小球做正功，电场力Eq 对小球做负功，拉力F T 不做功，根据动能定理mgL －qEL ＝0，
又因为E ＝U d ，
由以上两式可得：q ＝8×10－7C.。