关于矩阵奇异值分解的注记

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Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｓｂａｓｅｄｏｎｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｍａｔｒｉｘａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｐｒｏｐｅｒ —
Ｍｍ（Ｆ）表示数域Ｆ上的所有７７ｚ × Ｔ／阶矩阵的集
合；（Ｆ）表示数域Ｆ上的所有 × 阶矩阵的集
ｔｒ（Ａ）是矩阵Ａ的迹，其中Ａ∈ ，其他未加说文献［３．６】讨论埃尔米特矩阵并给出了Ｗｅｙｌ单调性合；定理；文献【７】研究了半正定矩阵之差的奇异值结论；明的符号参见文献［６】。下面是与本文有关的几个定义和引理：之后文献［８．１０］讨论了分块矩阵，文献【１１ — １６］讨论了
ｔｉｅｓｏｆｔｈｅｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅａｎｄｃｈｒａａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｖａｌｕｅ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｐｒｏｄｕｃｔｏｆｍａｔｒｉｘｔｒａｃｅｎｄａｍａｔｒｉｘｔｒａｃｅｏｆ
关于矩阵奇异值分解的注记
需未任芸国
（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安７１００６２）
摘
要：利用矩阵的奇异值分解及奇异值与特征值关系，研究矩阵的主对角线元素、矩阵的迹、
矩阵的表示、矩阵的谱范数及范数与矩阵奇异值之间的关系，获得了矩阵的迹的实部与矩阵的奇异值的关系、矩阵的Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数与矩阵奇异值等式关系及矩阵是正规矩阵的充要条件。关键词：奇异值分解；正规矩阵；酉矩阵；Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数中图分类号：Ｏ１５２．２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７２ — ２９１４（２０１６）０６ — ００４２ — ０６
ＲｅｍａｒｋｓｏｎｔｈｅＳｉｎｇｕｌａｒＶａｌｕｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆＭａｔｒｉｘ
ＪＩＡＪｉｅ，ＲＥＮＦａｎｇｇｕｏ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａａｎｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｙ，ｔＸｉ ’ ａｎ７１００６２，Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）
定义１［５１设Ａ∈ Ｍ（Ｃ），则存在阶酉矩阵及矩阵特殊积奇异值及其不等式。本文在已有奇异值使得不等式结果的基础上，利用矩阵的奇异值分解及奇对角线元素为Ａ的特征值的上三角矩阵Ｄ，ＤＵ，称Ａ具有Ｓｃｈｕｒ分解。异值与特征值关系，研究矩阵的主对角线元素、矩阵Ａ＝Ｕ
矩阵奇异值在矩阵理论中起着重要的作用。文矩阵Ａ的共轭转置矩阵，Ｔ表示矩阵的转置；
献［１．２】给出了奇异值的算术一几何平均不等式
２（ＡＢ） ≤ （ＡＡ＋ＢＢ），＿，＝１，２， …，７ｚ
２０１６年１１月
咸阳师范学院学报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＸｉａｎｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏｖ．２０１６Ｖ＿０ｌ－３１ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＯ．６
第３１卷第６期
【数理科学与信息科学研究】
ｒｅａｌｐａｒｔｎｄａｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｍａｔｒｉｘｓｉｎｇｕｌｒａｖａｌｕｅａｒｅｓｔｕｄｉｅｄａｎｄｓｏｍｅｒｅｓｕｌｔｓｒｅａｏｂｔａｉｎｅｄ；ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｉｃｆｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｍａｔｒｉｘａｒｅｅｘｐｌｏｒｅｄ．Ｌａｓｔｌｙ，Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓｎｏｒｍｏｆｔｈｅｍａｒｉｔｘａｎｄｔｈｅｓｉｎｕｌｇａｒｖａｌｕｅｎｄａｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｗｅｔｅｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｖａｌｕｅｓａｒｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｕｌｇａｒｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｎｏｒｍａｌｍａｔｒｉｘ；ｕｎｉｔａｒｙｍａｔｒｉｘ；Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓｎｏｒｍ