变上限定积分和微积分基本公式(2)

5
4
4
(1 sin2
x)dx
2 ( 5
4
)
4
即
5
4
(1 sin2
x)dx
2
．
4
三、变上限积分函数及其导数
f (x) 在a,b上连续，且设 x 为a,b上一点，f (x) 在
a, x上连续，定积分 x f (x) d x 存在。 a 注意：区分积分上限 x 和积分变量 x 是一样的吗？ 把积分变量 x 换成 t ，则可写成 x f (t) dt ． a
当 x b 时，有
b f (x) d x F (b) F (a) ． a
为方便，把 F(b) F(a) 记成 F(x) b ， a
b f (x) d x ＝ F(x) b ＝ F(b) F(a) ．
a
a
——牛顿一莱布尼兹公式
例４ 计算 1 x3 d x ． 0
例 5
计算
11 11 x2
本节课主要内容
一、知识回顾 二、定积分的性质 三、变上限定积分及应用 四、微积分基本公式 五、小结及作业
一、知识回顾
曲边梯形？曲边梯形的面积？
A
lxim 0
n
f(i
i 1
)xi
定积分的表示？
定积分的几何意义？
y
＋
a
O
y = f(x) ＋
－
bx
5-1 定积分的概念与性质
二、 定积分性质
规定：当 a b 时，我们规定 b f (x) d x ＝ a f (x) d x ；
如何证明？是否已知两个原函数？
证明： F(x) 和(x) x f (t) dt 是 f (x) 的原函数 a F(x) －(x) ＝ C ， (a x b)
令 x a ，得
a
(a) f (t) d t 0
故 C F(a)
a
则(x) F(x) F(a) ． 即
x f (x)d x F(x) F(a) ． a
连续函数 f (x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果 还原为 f (x) 本身．
(x) 是连续函数 f (x) 的一个原函数．
定理（原函数存在定理） 如果函数 f (x) 在区间a,b
上连续，则函数(x)
x
a
f
(t) dt
就是
f
(x)
在区间a,b 上
的一个原函数．
肯定了连续函数的原函数的存在性
d
x
．
例 6 计算 5 2x 4 d x ． 0
定积分有哪些性质？
当 a b 时，我们规定 b f (x) d x ＝ a f (x) d x ；
a
b
当 a b 时， b f (x) d x ＝０． a
b
b
kf (x)dx k f (x)dx
a
a
b f (x) g(x)dx
0
0
解 因为在区间0,1 上，有 x2 x3 ，由性质６得
1 x2dx 1 x3dx ．
0
0
5
例 2
估计定积分
4
(1 sin2 x)dx 的值．
4
解
因为
f
(x)
1
sin 2
x
在区间
4
,
5
4
上的最大
值为 f ( ) 2 ．最小值为 f ( ) 1．故由定积分的估
2
值定理知
1(5 ) 44
a
a
性质8：如果函数 f (x) 在a,b上有最大值M 和最小值m ，
则 m(b a)
b
f (x)dx M (b a)
a
性质9：(积分中值定理)如果函数在区间 a,b上连
续，则在 a,b内至少有一点 ，使得 ．
b
f (x)dx f ( )(b a)， (a,b)． a
例 1 比较定积分 1 x2dx 与 1 x3dx 的大小．
a
a
5-1 定积分的概念与性质
性质5： f (x) 0，则 b f (x)dx 0 ，（ a ＜ b ) ． a
性质6：f (x) g(x) ，则
b
f (x)dx
b g(x)dx ，（ a ＜ b ) ．
a
a
性质7：
b
f (x)dx
b f (x) dx ，（ a ＜ b ) ．
揭示了定积分与原函数的关系
例１ 设(x) x etdt ，求(x) ． a
例 2 设(x) 0 cos t dt ，求(x) ．
x
x
arctan t d t
例 3 计算极限 lim 0 x0
x2
．
四、微积分基本定理
定理 若 F(x) 是 f (x) 在区间a,b 上的一个原函数，
则
b
a f (x) d x F (b) F (a)
a
b
当 a b 时， b f (x) d x ＝０． a
b

b
性质1： kf (x)dx k f (x)dx．
a
a
性质2： b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx ，
a
a
a
b
性质3： a f (x)dx
c
f (x)dx
a
b f (x)dx ．
c
性质4： b f (x)dx b dx b a ．
b
f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
a
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
b
b
a f (x)dx a dx b a
保号性；估值定理；积分中值定理
这个积分几何上表示什么？ 与之前的定积分有什么不同？
x
(x) a f (t) dt
定理 设 f (x) 在区间 a,b 上连续，变上限积分函数
(x)
x
a
f
(t) dt
在区间a,b上可导 (a
x
b) ，且
(x) d x f (t) dt f (x) ， (a x b) ． dx a
定理看出什么结论？