萧县中学高三月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f'(1)$的值为（）
A. 0
B. 2
C. -2
D. 3
2. 若$a > 0$，$b > 0$，$a + b = 1$，则$\sqrt{a} + \sqrt{b}$的最大值为（）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2
3. 已知复数$z = 1 + 2i$，则$|z|$的值为（）
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{3}$
4. 下列命题中，正确的是（）
A. $x^2 + y^2 = 1$表示一个圆
B. $x^2 + y^2 = 0$表示一个圆
C. $x^2 - y^2 = 1$表示一个双曲线
D. $x^2 - y^2 = 0$表示一个双曲线
5. 若$a$，$b$是方程$x^2 - (a+b)x + ab = 0$的两个实数根，则$a^2 + b^2$的值为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6. 下列函数中，定义域为$\mathbb{R}$的是（）
A. $f(x) = \sqrt{x-1}$
B. $f(x) = \frac{1}{x^2}$
C. $f(x) = \log_2(x+1)$
D. $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 4}$
7. 函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在区间$(-\infty, +\infty)$上的单调性为（）
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 先增后减
D. 先减后增
8. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_5 + a_6 + a_7 + a_8$的值为（）
A. $4a_1 + 14d$
B. $4a_1 + 16d$
C. $4a_1 + 18d$
D. $4a_1 +
20d$
9. 已知圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$，则圆心坐标为（）
A. $(2, -3)$
B. $(-2, 3)$
C. $(2, 3)$
D. $(-2, -3)$
10. 若向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则$\vec{a} \cdot
\vec{b}$的值为（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 若$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则$f(2)$的值为______。

12. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为______。

13. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_5 = a_1 + 4d$。

14. 函数$f(x) = \log_2(x+1)$的定义域为______。

15. 若圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$，则圆的半径为______。

三、解答题（本大题共5小题，共75分）
16. （15分）已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f'(x)$。

17. （15分）已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，求$a_5 + a_6 + a_7 + a_8$。

18. （15分）已知圆的方程为$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$，求圆心坐标和半径。

19. （15分）已知向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，求$\vec{a} \cdot \vec{b}$。

20. （15分）已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f(x)$在区间$(-\infty,
+\infty)$上的单调性。