海南省海口四中2020学年高一数学下学期期末考试试题

海南省海口四中 2020 学年高一数学下学期期末考试一试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.
在等差数列 { a n } 中， a 1＋ a 5＝ 10，a 4＝ 9，则数列 { a n } 的公差为 ()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2. 在△
中，角 ， ， 所对的边分别为
a ， ， ，若 ＝ ， ＝ 3， ＝ 2，则 ＝ ()
ABC
A B C
b c
a
b
c
A
A.
B.
C.
D.
3. 若向量 a ＝ (2,1) ， b ＝ ( －1,2) ， c ＝
，则 c 可用向量 a ， b 表示为 ()
A.
B.
C.
D.
4. 以下命题中，正确的选项是（
A.若 ，
，则
）
B. 若
，则
C. 若
，则
D. 若
， ，则
5.
设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，若 2sin A cos B ＝ sin C ，那么△
ABC 必定是()
A. 直角三角形 C. 等腰直角三角形
B. 等腰三角形
D. 等边三角形
6.
已知等比数列 { a n } 的前 n 项积记为Ⅱ n ，若 a 3a 4a 8＝ 8，则Ⅱ 9＝ ()
A. 512
B. 256
C. 81
D. 16
7.
在边长为
1 的等边△
ABC 中，
设
＝ a ，
＝ b ，
＝ c ，则
a ·
b ＋ b ·
c ＋ c ·
a ＝( )
A.
B.0
C.
D.3
8. 设 x ∈R ，向量 a ＝ ( x ,1) ， b ＝ (1 ，－ 2) ，且 a ⊥ b ，则 | a ＋ b | ＝( ) A.
B. 10
C.
D.
9.
中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题 : “三百七十八里关 , 初行健步不犯难 ,
次日脚痛减一半 , 六朝才获得其关 , 要见次日行里数 , 请公认真算相还。

”其意思为 : 有一 个人走了 378 里路 , 第一天健步行走 , 从次日起脚痛每日所走的行程为前一天的一半 ,
走了 6 天抵达目的地 , 请问次日走了 ( )
A.192 里
B.96 里
C.48 里
D.24 里
10. 已知不等式 x 2－ 2x － 3＜ 0 的解集为 A ，不等式 x 2＋ x － 6＜ 0 的解集为 B ，不等式 x 2＋ ax
＋ b ＜0 的解集为 A ∩ B ，则 a ＋ b 等于 ()
A. 3
B. 1
C.
D.
11. 在△ ABC 中，已知 a - b =4，a +c =2b ，且最大角为
120°，则这个三角形的最大边等于 （
）
A. 4
B. 14
C.4 或 14
D. 24
12. 已知不等式 ( x ＋y )≥16 对随意的正实数 x ， y 恒建立，则正实数 a 的最小值为 ()
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
二、填空题（本大题共
4 小题，共 20.0 分）
13. 已知向量 a =( ,4) ， =(3,-2)
，且 a ∥ ，则 =___________.
m b
b
m
14.
设△
的内角 ， ， 的对边分别为
a ， ， c ，若
＝
， sin ＝ ， ＝ ，则
b
ABC
A B C
b
a
BC
＝
.
15. 实数 x ， y 知足 x ＋ 2y ＝ 2，则 3x ＋ 9y 的最小值是 ________________.
16. 直线 l 过点 (1 ， 0) ，且与以 (2 ，1) ， (0， ) 为端点的线段有公共点，则直线
l 斜
P
A
B
率的取值范围为 ________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17. 已知
n
为正项数列 { a n }
的前 n 项和，且知足
n
＝
a ＋ a n ( ∈ * ) ．
S
S n N
(1) 求 a 1， a 2， a 3， a 4 的值；
(2) 求数列 { a n } 的通项公式．
18. 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 sin 2B ＋ sin 2C ＝sin 2A ＋ sin B sin C .
(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 cos B ＝ ， a ＝ 3，求 c 的值．
19. 等差数列 { a n } 中， a 3＋ a 4＝ 4， a 5＋a 7＝ 6.
( Ⅰ ) 求{ a n } 的通项公式；
( Ⅱ ) 设 b n ＝ [ a n ] ，求数列 { b n } 的前 10 项和，此中 [ x ] 表示不超出 x 的最大整数， 如 [0.9] ＝ 0， [2.6] ＝ 2.
20. 在△ ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 (2 b － c )cos A ＝ a cos C ．
(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a ＝ 3， b ＝ 2c ，求△ ABC 的面积．
21. 已知函数 f ( x ) ＝ x 2－ 2ax －1＋ a ， a ∈R .
(1) 若 ＝ 2，试求函数 y ＝ ( >0) 的最小值；
a
x
(2) 对于随意的 x ∈ [0,2] ，不等式 f ( x ) ≤ a 建立，试求 a 的取值范围．
22. 数列 { a n } 知足 a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ 2a n ( n ∈ N * ) ，S n 为其前 n 项和．数列 { b n } 为等差数列，且
知足b 1＝ a 1， b 4＝S 3.
(1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式；
(2) 设 c n ＝
，数列 { c n } 的前
n 项和为
T n ，证明：
≤ T n < .
答案和分析
1.【答案】 D
【分析】
略
2.【答案】 C
【分析】
【剖析】
本题主要考察余弦定理的应用，属于基础题.
【解答】
解：易知cos A ＝＝＝，又A∈ (0，π )，所以A＝，
应选 C．
3.【答案】 A
【分析】
略
4.【答案】 C
【分析】
【剖析】本题考察利用不等式的性质比较大小，注意不等式的性质应用的条件.
【解答】解：举出反例：固然5＞ -1 ＞ -2 但 5×（ -1 ）＜ 2×（ 2），故 A 不正确；对于B：若 c<0，则不建立，出反例：固然5＞4， 3＞ 1，但 5-3 ＜ 4-1 ，故 D 不确；∵，∴，∴ a＜ b，故 C 正确；选C．
5. 【答案】B
【分析】
略
6. 【答案】A
【分析】
略
7.【答案】 A
【分析】
依题意有a· b＋ b· c＋ c· a＝＋＋＝－，应选 A.
8.【答案】 D
【分析】
略
9.【答案】 B
【分析】
【剖析】
本题考察等比数列的乞降公式，求出数列的首项是解决问题的重点，属基础题．由题意可知这人每日走的步数组成为公比的等比数列，由乞降公式可得首项，可得答案．
【解答】
解：由题意可知这人每日走的步数组成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的乞降公式可得=378，
解得 a1=192，
∴第这人二天走192×=96 步.
应选 B.
10.【答案】 D
【分析】
略
11.【答案】 B
【分析】
解：∵ a-b=4 ， a+c=2b，∴ a=c+8， b=c+4
∴a为最大边∵最大
角为 120°，
∴（ c+8）2=c2+（ c+4）2-2c （ c+4）cos120°
∴c2-2c-24=0
∴c=6 或 -4 （负值舍去）
∴a=c+8=14
应选 B．
先确立最大边，再利用余弦定理求出最小边 c 的值，即可求得结论．
本题考察余弦定理的运用，考察学生的计算能力，属于基础题．
12.【答案】 C
【分析】
略
13.【答案】 -6
【分析】
【剖析】
本题考察了平面向量共线的充要条件.
直接利用向量共线的充要条件列出方程求解得结论.
【解答】
解:向量,,
由得,
解得 m=-6．
故答案为 -6.
14.【答案】 1
【分析】
【剖析】
本题主要考察正弦定理，第一依据，得出∠ B 的度数，从而得出∠ A 的度数，而后依据正弦定理得出 b 的值 .
【解答】
解：∵ sin B ＝且B∈ (0，π )，
∴B＝或B＝.
又∵ C＝，B＋C<π，
∴B＝，A＝π－B－C＝.
∵a＝，由正弦定理得＝，即＝，
解得 b＝ 1.
故答案为 1.
15.【答案】 6
【分析】
【剖析】
本题考察了基本不等式和指数运算的性质，解题的重点是基本不等式的娴熟运用．
利用基本不等式和指数运算的性质即可得出．
【解答】
解：∵实数x， y 知足 x+2y=2 ，
∴，
当且仅当x=2y=1 时取等号．
x y
所以 3 +9 的最小值为6．
16.【答案】
【分析】
【剖析】
本题考察直线的斜率公式的应用，属于基础题．先设出当直线l 过 B 时直线 l 的倾斜角为α，求出 tan α，当直线 l 过 A 时直线 l 的倾斜角为β，求出 tan β，则直线 l 斜率的取值范围可求．
【解答】
解：当直线l 过 B 时设直线 l 的倾斜角为α（0≤α＜π），
则 tan α=，
当直线 l 过 A 时设直线l 的倾斜角为β（0≤β＜π），
则 tan β=，
直线 l 斜率的取值范围为．
故答案为．
17. 【答案】解： (1) 由( n∈N* ) ，可得
，解得 a1＝1；
，解得 a2＝2；
同理， a3＝3，a4＝4．
(2)，①，
当 n≥2时，，②，
①－②得 ( a n－a n－1－1)( a n＋a n－1) ＝ 0．
因为 a n＋ a n－1≠0，
所以 a n－ a n－1＝1，
又由 (1) 知a1＝ 1，
故数列 { a n} 是首项为1，公差为 1 的等差数列，
故 a n＝ n．
【分析】
本题考察了数列的递推关系、等差数列的判断和通项公式，是中档题.
(1) 由题意得，解得a1，，解得a2，同理，a3，a4．
(2) ，①，当n≥2时，，②，由①－②得a n－
a n－1＝ 1，所以数列{a n} 是首项为1，公差为 1 的等差数列，从而得出结果.
18. 【答案】解：（ 1）由正弦定理可得，
由余弦定理：，
∵
∴；
（2）由（1）可知，sin A= ，
∵，B 为三角形的内角,
∴,
∴,
由正弦定理，得.
【分析】
本题考察了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟掌握定理是解本题的关键．
（1）利用余弦定理表示出，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出的值，即可确立出 A 的度数；
（2）由 cosB 的值求出sinB 的值，再由cosA 与 sinA 的值，利用两角和与差的正弦函数公
式化简，把各自的值代入求出的值，即为sinC 的值，利用正弦定理求出 c 的值即可．
19.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列 { a n } 的公差为d，
∵a3+a4=4， a5+a7=6．
∴，
解得：，
∴a n=；
（Ⅱ）∵ b n=[ a n]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列 { b n} 的前 10 项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
【分析】
（Ⅰ）设等差数列{a n} 的公差为d，依据已知结构对于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）依据b n=[a n] ，列出数列 {b n} 的前 10 项，相加可得答案．
本题考察的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．
20. 【答案】解 :(1)因为（2b-c）cos A=a cos C，
由正弦定理得：2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，
即 2sin B cos A=sin （A+C），
所以 2sin B cos A=sin B，
∵0＜B＜π，
∴sin B≠0，
所以，
因为 0＜A＜π，
所以;
(2)因为 b=2c,所以，
解得，
∴,
所以．
【分析】
本题考察余弦定理，正弦定理，三角形中的三角函数，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考察 .
(1) 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知可得2sinBcosA=sinB ，由 sinB ≠0，可得
，联合 A 的范围，即可解得 A 的值 ;
(2) 由 b=2c 及余弦定理联合, 解得 c， b，由三角形面积公式即可得解.
21. 【答案】解： (1) 依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为 x>0，所以 x＋≥2.当且仅当x＝，即 x＝1时，等号建立．
所以 y≥－2.所以当x＝1时，y＝的最小值为－ 2.
(2) 因为f ( x) －a＝x2－2ax－ 1，所以要使得“随意的x∈ [0,2] ，不等式f ( x) ≤a建立”只需“ x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒建立”．
当 x＝0时，明显恒建立，a∈R；
当 x∈(0,2]时，有 a≥，令g(x)＝，
则 g( x)＝在 (0,2] 上单一递加，∴ g( x) ＝ g(2)＝.∴a≥.
max
综上得 a 的取值范围是[，＋∞ )．
【分析】
本题考察利用基本不等式求最值以及利用函数的单一性求最值.
（1）函数 y＝(x>0)=，由基本不等式可求得最小值；
（2）不等式即为，由函数的单一性求出最大值，就获得 a 的取值范围 .
22. 【答案】解：（ 1）因为，
所以数列是等比数列，且，又，
所以，
所以，，
因为是等差数列，且，，
所以，
所以.
（2）由题意，，
所以,
所以，,
因为当，，
所以是一个递加数列，
所以，又（）,
综上所述，.
【分析】
本题主要考察等差数列与等比数列，数列的递推以及不等式关系.
（1）利用题中条件求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比，依据定义求、的通项公式；
（2）将求出的数列、的通项代入获得的通项公式，求得
的表达式，依据不等式性质及单一性得出结论即可.。