华师大版数学八年级下册19章强化试题及答案

专训1 矩形性质与判定的灵活运用名师点金：
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．
判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．
利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)
1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．
(第1题)
利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．
(第2题)
利用矩形的性质与判定证明角相等
3．(中考·北京)如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD 上，DF＝BE，连结AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
(第3题)
利用矩形的性质与判定求面积
4．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连结AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．
(第4题)
专训2 菱形性质与判定的灵活运用名师点金：
菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：
(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．
利用菱形的判定与性质证明角的关系
1．(中考·秦安)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.
(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD 是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
(第1题)
利用菱形的判定和性质判定两线段的位置关系
2．如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC 交AB 于点E ，DF∥AB 交AC 于点F ，求证：AD⊥EF.
(第2题)
利用菱形的判定和性质解折叠问题
3．(中考·漳州)如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将该矩形沿AE 折叠，使点D 落在边BC 上的点F 处，过点F 作FG∥CD，交AE 于点G ，连结DG.
(1)求证：四边形DEFG 为菱形； (2)若CD ＝8，CF ＝4，求
CE
DE
的值．
(第3题)
利用菱形的判定与性质解决面积问题
4．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC，交BC 于点D ，在线段AD 上任取一点P(点A 除外)，过点P 作EF∥AB，分别交AC ，BC 于点E ，F ，作PM∥AC，交AB 于点M ，连结ME.
(1)求证：四边形AEPM 为菱形．
(2)当点P 在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？请说明理由．
(第4题)
答案
专训1
1．解：由折叠的性质知AH ＝HM ，∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF ＝∠HEM＋∠FEM＝1
2×180°＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四
边形EFGH 为矩形．∴HG∥FE，HG ＝FE.∴∠GHN＝∠EFM.
又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME.∴HN＝MF.又∵HN＝HD ，∴HD ＝MF.∴AD＝AH ＋HD ＝HM ＋MF ＝HF.∵HF＝EH 2＋EF 2＝32＋42＝5(cm )，∴AD＝5
cm .
点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH 为矩形，然后利用三角形全等来证明HN ＝MF ，进而证明HD ＝MF ，从而将AD 转化为直角三角形EFH 的斜边HF ，进而得解，体现了转化思想．
(第2题)
2．解：PE ＋PF ＝AB.理由：过点P 作PG⊥AB 于G ，交BD 于O ，如图所示． ∵PG⊥AB，PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.∴四边形AGPF 是矩形．∴AG＝PF ，PG∥AC.∴∠C＝∠GPB.
又∵BD＝DC ，∴∠C＝∠DBP. ∴∠GPB＝∠DBP. ∴OB＝OP.
∵PG⊥AB，PE⊥BD， ∴∠BGO＝∠PEO＝90°. 在△BGO 和△PEO 中，
⎩⎨⎧∠BGO＝∠PEO，∠GOB＝∠EOP，OB ＝OP ，
∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE. ∴AB＝BG ＋AG ＝PE ＋PF.
3．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BE∥DF.又∵BE＝DF ， ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°. ∴四边形BFDE 是矩形．
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC，AD ＝BC. ∴∠DFA＝∠FAB.
由(1)易得△BCF 为直角三角形， 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得 BC ＝CF 2＋BF 2＝32＋42＝5， ∴AD＝BC ＝DF ＝5. ∴∠DAF＝∠DFA. ∴∠DAF＝∠FAB，
即AF 平分∠DAB.
4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF. 又∵点E 为BC 的中点，∴BE＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，
∵⎩⎨⎧∠ABE＝∠FCE，BE ＝CE ，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.
又AB∥CF，∴四边形ABFC 为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC＝∠ABE＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABE，
∴∠ABE＝∠EAB. ∴AE＝BE.
∴AE＋EF ＝BE ＋EC ，即AF ＝BC. ∴四边形ABFC 为矩形． (2)解：∵四边形ABFC 是矩形，
∴AC⊥DF.又∵△AFD 是等边三角形，∴CF ＝CD ＝DF
2＝2.
∴AC＝42
－22
＝12. ∴S 四边形ABFC ＝12×2＝212. 专训2
1．(1)证明：∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，
BC ＝DC ，AC ＝AC ，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC. ∵在△ABF 和△ADF 中，
⎩⎨⎧AB ＝AD
∠BAF＝∠DAF，AF ＝AF ，
∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD. ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠AFD＝∠CFE.
(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD. ∵AB＝AD ，CB ＝CD ， ∴AB＝CB ＝CD ＝AD ， ∴四边形ABCD 是菱形．
(3)解：当EB⊥CD 时，∠EFD＝∠BCD.
理由：由(2)易知BC ＝DC ，∠BCF＝∠DCF.在△BCF 和△DCF 中，
⎩⎨⎧BC ＝DC ，
∠BCF＝∠DCF，CF ＝CF ，
∴△BCF≌△DCF(S .A .S .)， ∴∠CDF＝∠CBF.∵BE⊥CD， ∴∠DEF＝∠BEC＝90°， ∴∠EFD＝∠BCD.
2．证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF 为平行四边形．
又∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF.∵DE∥AC， ∴∠DAF＝∠ADE，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE ， ∴四边形AEDF 为菱形，∴AD⊥EF.
点拨：菱形的对角线互相垂直是证明线段垂直关系的重要方法． 3．(1)证明：如图，由折叠可得：∠1＝∠2，ED ＝EF ，GD ＝GF. ∵FG∥CD，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴FE＝FG.
(第3题)
方法一：∴ED＝EF ＝GD ＝GF ，
∴四边形DEFG 为菱形． 方法二：∴ED＝FG. 又∵ED∥FG，
∴四边形DEFG 为平行四边形． 又∵FE＝FG ，
∴四边形DEFG 为菱形．
(2)解：设DE ＝x ，则FE ＝DE ＝x ，EC ＝8－x. 在Rt △EFC 中，FC 2＋EC 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2. 解得：x ＝5，∴CE＝8－x ＝3. ∴CE DE ＝35
. 4．(1)证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM 为平行四边形． ∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA， ∴∠CAD＝∠EPA，∴EA＝EP ， ∴四边形AEPM 为菱形．
(第4题)
(2)解：当点P 为EF 的中点时，S 菱形AEPM ＝1
2S 四边形EFBM .理由如下：∵四边形AEPM
为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC ，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC，∴EM∥BC.
又∵EF∥AB，∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN⊥AB 于点N ，如图，则S 菱形AEPM ＝AM·EN＝EP·EN＝12EF·EN＝1
2S 四边形EFBM .
专训1 正方形性质与判定的灵活运用名师点金：
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．
利用正方形的性质解决线段和差问题
1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN 绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
(第1题)
利用正方形的性质证明线段位置关系
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
(第2题)
正方形性质与判定的综合运用
3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.
(1)不管滚动多长时间，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？并说明理由．
(第3题)
专训2 特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：
特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加一些条件进行判定．
矩形的综合性问题
a．矩形性质的应用
1．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点(不与A，C重合)，PG⊥AE 于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值．
(第1题)
b．矩形判定的应用
2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：
(1)四边形OCED是矩形；
(2)OE＝BC.
(第2题)
c．矩形性质和判定的应用
3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(第3题)
菱形的综合性问题
a．菱形性质的应用
4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD 于点E，连结EC.
(1)求证：AE＝EC.
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．
b．菱形判定的应用
5．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线．AF∥CD交CE于点F，FG∥AC
交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．
c.菱形性质和判定的应用
＝15.
6．(中考·江西)(1)如图①，平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S
▱ABCD
过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼
成四边形AE E′D，则四边形AEE′D的形状为( )
A．平行四边形B．菱形
C．矩形D．正方形
(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝
4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证：四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
(第6题)
正方形的综合性问题
a．正方形性质的应用
7．(中考·凉山州)如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．
(第7题)
b．正方形判定的应用
8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α度，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连结AE，CG，求证：△AED≌△GCD；
(2)当α＝45时(如图③)，求证：四边形MHND是正方形．
(第8题)
答案
专训1
1．解：(1)BM＋DN＝MN成立．证明如下：如图①，过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN，∴BE＝DN，AE＝AN. 又∵∠NAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又∵AM＝AM，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE＋BM ＝DN＋BM ，∴BM＋DN＝MN .
(2)DN－BM＝MN.证明如下：如图②，在DN上截取DE＝BM，连结AE.∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠D＝90°，AB＝AD.
又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.
∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.
∴∠BAM＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB＝∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°.
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝45°.∴∠MAN＝∠EAN.
又∵AM＝AE，AN＝AN，
∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.
∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN.
∴DN－BM＝MN.
①
②
(第1题)
2．证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC ＝OB.∵DE＝CF，∴OE＝OF.
在△AOE与△DOF中，
⎩⎨⎧OA ＝OD ，
∠AOE＝∠DOF＝90°，OE ＝OF ，
∴△AOE≌△DOF.∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠ODF ＝90°.∴∠DFO＋∠OAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.
∴PS＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS 总是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS 总是正方形．
(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD 的面积．
(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 四边中点时，四边形PQRS 的面积是正方形ABCD 面积的一半．
理由：设正方形ABCD 的边长为a.
当PS 2
＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP.
由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝1
2a 2，
解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝1
2
a.
∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为正方形ABCD 面积的一半．
专训2
1．解：(1)△AED≌△CEB′. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC＝DA ，∠B＝∠D.
由折叠可知BC ＝B′C，∠B＝∠B′， ∴B′C＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中，
⎩⎨⎧∠DEA＝∠B′EC，∠D＝∠B′，DA ＝B′C，
∴△AED≌△CEB′.
(第1题)
(2)如图，延长HP 交AB 于点M ，则PM⊥AB. ∵∠1＝∠2，PG⊥AB′，PM⊥AB，∴PM＝PG. ∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ∴AE＝CE ＝8－3＝5.
在Rt △ADE 中，DE ＝3，AE ＝5， ∴AD＝52－32＝4.
∵PM＋PH ＝AD ，∴PG＋PH ＝AD ＝4. 2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD. ∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC＝CD.
∵四边形OCED 是矩形，∴OE＝CD ， ∴OE＝BC.
(第3题)
3．(1)证明：如图，过点B 作BH⊥FP 交FP 的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH 是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠C.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.
又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.
∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.
(2)解：不成立．
理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD ＝HF.∴PE＝FH＋PF＝BD＋PF.
(第4题)
4．(1)证明：连结AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC.
(2)解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，
∴∠EAC＝30°，
∴∠EAC＝∠EAB.
∴AF是△ABC的角平分线．
∴BF＝CF.
∴点F是线段BC的中点．
(第5题)
5．证明：如图，∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF是平行四边形．
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2.
∵AF∥CD，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴AF＝AC.
∴四边形ACGF是菱形．
6．(1)C
DF′，
(2)①证明：由平移可知AF
∴四边形AFF′D是平行四边形．
∵S
＝AD·AE＝15，AD＝5，
▱ABCD
∴AE＝3.
∵AE＝3，EF＝4，∠E＝90°，
∴AF＝AE2＋EF2＝32＋42＝5.
∵AD＝5，∴AD＝AF，
∴四边形AFF′D是菱形．
②解：如图，连结AF′，DF，
在Rt△AEF′中，AE＝3，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，
∴AF′＝90.
在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，
DE′＝AE＝3，
∴DF＝10，
∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是90和10.
(第6题)
7．解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系是AF＝BF＋EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°.
∴∠DAE＋∠BAF＝90°.
∵DE⊥AG 于E ，BF∥DE 交AG 于F ， ∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中，
⎩⎨⎧∠BAF＝∠ADE，∠AFB＝∠DEA，AB ＝DA ，
∴△ABF≌△DAE. ∴BF＝AE.
∵AF＝AE ＋EF ，∴AF＝BF ＋EF. 8．证明：(1)∵CD＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.
又∵四边形ABCD 和四边形EFGH 是矩形， ∴∠ADC＝∠GDE＝90°，
∴∠ADE＝∠GDC＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎨⎧AD ＝GD ，
∠ADE＝∠GDC，DE ＝DC ，
∴△AED≌△GCD. (2)∵α＝45，
∴∠NCE＝∠NEC＝45°， ∴∠CNE＝90°，CN ＝NE ， ∴∠HND＝90°.
∴∠H＝∠D＝∠HND＝90°， ∴四边形MHND 是矩形． 又∵CD＝HE ，CN ＝NE ，∴ND＝HN. ∴四边形MHND 是正方形．
专训1 利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：
四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．
平行四边形的折叠问题
1．如图，将平行四边形纸片ABCD沿AC折叠，点D落在点E处，AE恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．
(第1题)
矩形的折叠问题
2．(中考·衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．
(第2题)
菱形的折叠问题
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的F点，连结CF，那么∠BFC的度数是( ) A．60° B．70° C．75° D．80°
(第3题)
(第4题)
正方形的折叠问题
4．如图，正方形纸片ABCD的边长AB＝12，E是DC上一点，CE＝5，折叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG，则FG的长为________．5．(中考·德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连结BP，BH.
(1)求证：∠APB＝∠BPH.【导学号：71412046】
(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
(第5题)
专训2 利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金：
利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点，再运用从特殊
．．．
到一般的思想
．．．．．．，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
平行四边形中的动点问题
1．如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F两点不重合)，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．
(第1题)
矩形中的动点问题
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.连结AF，CE.
(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
(第2题)
菱形中的动点问题
3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
(第3题)
正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
(第4题)
专训3 全章热门考点整合应用
名师点金：
本章内容是中考的必考内容，主要考查与矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：三个图形，三个技巧．
三个图形
图形1矩形
1．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连结AF，CE.
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)连结AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．
(第1题)
图形2菱形
2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，得到△EDC，连结BD，交AC于F.
(1)猜想AC与BD的位置关系，并给予证明；
(2)求线段BD的长．
(第2题)
图形3正方形
3．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF；
(2)将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前图形中的点E之间的距离．
(第3题)
4．如图①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，DC 上的点，且AF⊥BE. (1)求证：AF ＝BE.
(2)如图②，在正方形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且MP⊥NQ.MP 与NQ 是否相等？并说明理由．
(第4题)
三个技巧
技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
5．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，求阴影部分的周长．
(第5题)
技巧2 解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．
(第6题)
技巧3 解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)
7．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0≤t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，且DF ＝12DC ，
连结EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )
(第7题)
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
8．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，对角线BD ＝16，对角线AC ，BD 相交于点G ，点O 是直线BD 上的动点，OE⊥AB 于E ，OF⊥AD 于F.
(1)求对角线AC 的长及菱形ABCD 的面积．
(2)如图①，当点O 在对角线BD 上运动时，OE ＋OF 的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O 在对角线BD 的延长线上时，OE ＋OF 的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE ，OF 之间的数量关系，并说明理由．
(第8题)
答案
专训1
(第1题)
1．解：设AE 与BC 相交于点F ，如图． ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.
∵平行四边形纸片ABCD 沿AC 折叠，点D 落在点E 处， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2. ∴FC＝FA.
∵F 为BC 边的中点，BC ＝6， ∴AF＝CF ＝BF ＝1
2
×6＝3.
又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°.
(第2题)
2．(1)证明：由折叠知A′E＝AE＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC.
易得四边形AEA′D是正方形，
∴A′E＝AD.
∴EG＝CH.
(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，
∴DG＝FG＝AF＝ 2.由勾股定理得DF＝2.
∴AD＝2＋ 2.
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠3.
由(1)知，AE＝BC.
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△EFA≌△CEB.
∴AF＝BE.
∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋2 2.
3．C点拨：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴BF＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.
4．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连结BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，
∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠1＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.
(第4题)
5．(1)证明：由折叠知PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EBP＝∠EPB.
∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，
即∠BPH＝∠PBC.
又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∴∠APB＝∠BPH.
(2)解：△PDH的周长不发生变化．
证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．
由(1)知∠APB＝∠QPB，
又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP.
∴AP＝QP，AB＝BQ.
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋CH＝AD＋CD＝8(定值)．
(第5题)
专训2
1．解：AE ＝CF ，AE∥CF.证明如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD ，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 在△ABE 和△CDF 中，
∵AB＝CD ，∠ABE＝∠CDF，BE ＝DF ， ∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF ，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠A ED ＝∠CFD＋∠CFB＝180°， ∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF. 2．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO. ∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ， ∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF. ∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE 为菱形． 设AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，
(第2题)
在Rt △ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5. ∴AF＝5 cm .
(2)显然当P 点在AF 上，Q 点在CD 上时，A ，C ，P ，Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上，Q 点在DE 或CE 上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上，Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，连结AP ，CQ ，则以A ，C ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC ＝QA.∵点P 的速度为5 cm /s ，点Q 的速度为4 cm /s ，运动时间为t s ，
∴PC＝5t cm ，QA ＝(12－4t)cm . ∴5t＝12－4t ，解得t ＝4
3
.
∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝4
3 .
3．证明：(1)如图①，连结AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
(第3题)
(2)如图②，连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.
又∵∠EAF＝60°，
∴∠B AE＝∠CAF.
由(1)知∠BCD＝120°.
又∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
(第4题)
4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠EBF＝∠C＝∠GDH＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是正方形．
(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连结BD，DE，BG.设EG 与BD交于O点．
∵BE
瘙綊DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD与EG互相平分．∴BO＝OD.
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
专训3
1．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DA.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA(S.A.S.)．
(2)解：四边形AECF是矩形，理由：
∵AE＝1
2
AB，CF＝
1
2
CD，AB＝CD，
∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CA＝CB，E为AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
2．解：(1)AC⊥BD.
证明：连结AD，由题意知，△ABC≌△EDC，∠ACE＝120°.∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝DC，∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AD＝AC＝AB＝BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
(2)由(1)知，四边形ABCD为菱形，
∴∠DBC＝1
2
∠ABC＝30°.
∵BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，
∴∠BDE＝30°＋60°＝90°. ∵∠ACE＋∠A CB ＝180°， ∴B，C ，E 三点在一条直线上， ∴BE＝2.
∴BD＝BE 2－DE 2＝22－12＝ 3. 3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠BAD＝∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠EAD＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，
∴∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴∠AED＝∠BFA. 在△AED 和△BFA 中，
∵⎩⎨⎧∠AED＝∠BFA，∠ADE＝∠BAF，AD ＝BA ，
∴△AED≌△BFA(A .A .S .)． ∴BF＝AE. ∵AF－AE ＝EF ， ∴AF－BF ＝EF.
(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连结F′E，由(1)易得DE ＝AF.
(第3题)
根据题意知：∠F′AE＝90°，DE ＝AF ＝AF′， ∴∠F′AE＝∠AED＝90°. 即∠F′AE＋∠AED＝180°. ∴AF′∥DE.
∴四边形AEDF′为平行四边形．
又∠AED＝90°，
∴四边形AEDF′是矩形．
∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.
4．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠D＝∠BAE＝90°，
∴∠DAF＋∠BAF＝90°.
∵AF⊥BE，
∴∠ABE＋∠BAF＝90°.
∴∠DAF＝∠ABE.
∴△DAF≌△ABE.
∴AF＝BE.
(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵MP⊥NQ，∴AF⊥BE，由(1)知AF＝BE.易证四边形AMPF，四边形BNQE都是平行四边形，∴AF＝MP，BE＝NQ，∴MP＝NQ.
5．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A
1，D
1
处，根据轴对称的性质可得，A
1E＝AE，A
1
D
1
＝AD，D
1
F＝DF.
设线段D
1
F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为
(A
1E＋EM＋MD
1
＋A
1
D
1
)＋(MB＋MF＋FC＋CB)
＝AE＋EM＋MD
1
＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB
＝(AE＋EM＋MB)＋(MD
1
＋MF＋FC)＋AD＋CB
＝AB＋(FD
1
＋FC)＋10
＝AB＋(FD＋FC)＋10
＝10＋10＋10＝30.
点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．
6．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是1
4
.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .
∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC . ∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1. ∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝1
4
.
∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是1
4
.
7．B 点拨：因为DF ＝1
2DC ，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm .又因为AE ＝2t cm ，
所以AE ＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.解得t ＝10.所以当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．
8．解：(1)在菱形ABCD 中，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝1
2×16＝8，
由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6， ∴AC＝2AG ＝2×6＝12.
∴菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝1
2
×12×16＝96.
(第8题)
(2)OE ＋OF 的值不发生变化．理由：如图①，连结AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，
所以1
2
BD·AG＝
1
2
AB·OE＋
1
2
AD·OF，
即1
2
×16×6＝
1
2
×10·OE＋
1
2
×10·OF，
解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．
(3)OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：
如图②，连结AO，则S
△ABD ＝S
△ABO
－S
△AOD
，
所以1
2
BD·AG＝
1
2
AB·OE－
1
2
AD·OF，
即1
2
×16×6＝
1
2
×10·O E－
1
2
×10·OF，
解得OE－OF＝9.6.。