江苏省扬州市高中数学平面向量多选题专题复习及答案

江苏省扬州市高中数学平面向量多选题专题复习及答案
一、平面向量多选题
1．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ） A ．1233
PC PA PB =
+ B ．111
333
OP OA OB OC =
++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=
【答案】AB 【分析】
根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面
(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项
逐一分析，即可得到答案. 【详解】 对于A ，由1233
PC PA PB =+，12
133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.
对于B ，由111
333
OP OA OB OC =
++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.
对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】
关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)
PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，
考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.
2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，
2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．0OC EO +=
B ．0AB CE ⋅=
C ．3OA OB OC O
D +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为
7
6
【答案】BD 【分析】
可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】
因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，
所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则()0,0E ，()1,0A -，()10
B ,，(3
C ， 由2A
D DC =可得2
22333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭
， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且1
2
GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,
2O ⎛ ⎝⎭
， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；
对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭
，
所以1
3,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以2
3
OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以ED 在BC 方向上的投影为1
2
7326BC ED BC
+⋅==，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2
133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =
【答案】BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
4．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫
≠
⎪⎝
⎭
角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
【答案】AD 【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==，故D 正确.
【详解】
()(
)
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
2254cos
33
a e e π
=
+=+=B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误； 由于()
2
2
2
27b e e =-=a 在b 上的投影为3
372147a b b
-
⋅==-
，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD 【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，
2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所
以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；
对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
7．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()cos ,
2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
222
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
8．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD 【分析】
通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有
3
26
k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，
a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，
22(
)()()()110||||||||||||
a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．
9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC
C ．a b ⊥
D ．()
6a b BC +⊥
【答案】ABD 【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判
断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()
6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=
，则1
13
a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a
b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正
确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π
⋅=
⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()
22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，
()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )
A ．0OA OC O
B ++=
B ．()()0OA AF EF D
C -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅
D ．OF OD FA OD CB +=+-
【答案】BC
【分析】
利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】
对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；
对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则1
11cos1202
OA AF ⋅=⋅⋅=-
，
111cos602
AF BC ⋅=⋅⋅=
， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅11
22
BC OA ⇔-
=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，
||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；
故选：BC. 【点睛】
本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。