2018版高中数学北师大版必修四学案第一章章末复习课[001]全面版

学习目标 1.理解任意角的三角函数的看法.2.掌握三角函数引诱公式.3.能画出 y＝ sin x，y＝cos x， y＝ tan x 的图像 .4.理解三角函数y＝ sin x， y＝cos x，y＝ tan x 的性质 .5.认识函数y＝Asin(ωx＋φ)的实质意义，掌握函数y＝ Asin( ωx＋φ)图像的变换．
1．任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
(1)y 叫作α的 ________，记作 ________，即 ________；
(2)x 叫作α的 ________，记作 ________，即 ________；
(3)y
x叫作α的 ________，记作 ________，即 ____________________ ．
2．引诱公式
π
六组引诱公式能够一致概括为“k·2±α(k∈Z )〞的引诱公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当 k 为奇数时，函数名改变，尔后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限〞．
3．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
函数y＝sin x y＝ cos x y＝ tan x
图像
π
{ x|x∈R且 x≠ kπ＋，定义域R R2
k∈Z }
值域
对称性
奇偶性周期性
单调性最值对称轴： x＝ kπ＋
π
2
(k∈Z )；对称中心：
(kπ， 0)(k∈Z )
最小正周期：
________
π
在－＋
2
π
2kπ，2＋ 2kπ(k∈Z)
上是增加的；在
π3π
2
＋2kπ，
2＋2kπ]
(k∈Z )上是减少的
在 x＝________( k∈Z )
时，y max＝ 1；在 x＝－
π
2＋ 2kπ(k∈Z)时， y min
＝－ 1
对称轴： x＝ kπ(k∈Z) ；
对称中心：
π
kπ＋2， 0
( k∈Z )
最小正周期：________
在 [ －π＋ 2kπ，2kπ](k∈Z)
上是增加的；在 [2kπ，π
＋ 2kπ](k∈Z ) 上是减少的
在 x＝ 2kπ(k∈Z )时， y max
＝ 1；在 x＝π＋ 2kπ(k∈
Z) 时， y min＝－ 1
对称中心：
kπ
2， 0 (k∈Z)，
无对称轴
最小正周期：____
ππ
在开区间 ( kπ－2，kπ＋2)
(k∈Z )上是增加的
无最值
种类一三角函数的看法
例 1角θ的极点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．假设P(4，y)是角θ终边上一点，且
sin θ＝－2
5
5
，那么 y＝ ________.
反思与感悟(1)角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
① 先利用直线与单位圆订交，求出交点坐标，尔后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点 P(x，y)， P 到原点的距离为
y x r( r＞0) ．那么 sin α＝，cos α＝. α
r r
的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要依照问题的实质情况对参数进行分类谈论．追踪训练1角α的终边上有一点P(24k,7k)， k≠0，求 sin α， cos α， tan α的值．
种类二三角函数的图像与性质
例2将函数 y＝ f(x)的图像向左平移 1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的π倍，3
尔后向上平移 1 个单位长度，获取函数y＝ 3sin x 的图像．
(1)求 f( x)的最小正周期和递加区间；
(2)假设函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝ 2 对称，求当 x∈[0,1] 时，函数 y＝ g( x)的最小值和最大值．
反思与感悟研究y＝ Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决．
追踪训练2函数
π
f(x)＝ 3sin 2x＋ 6 的局部图像以以下图．
(1)写出 f(x) 的最小正周期及图中 x0，y0的值；
ππ
(2)求 f( x)在区间－2，－12上的最大值和最小值．
种类三三角函数的最值和值域
命题角度1可化为y＝Asinωx＋φ＋k型
π
例 3求函数y＝－2sin(x＋6)＋3，x∈ [0，π]的最大值和最小值．
反思与感悟利用 y＝ Asin(ωx＋φ)＋ k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．
追踪训练 3函数
ππ
y＝ asin(2x＋ )＋ b 在 x∈ [0， ] 上的值域为 [－5,1] ，求 a，b 的值．62
命题角度 2可化为 sin x 或 cos x 的二次函数型
π2
例 4 |x|≤，求函数f(x)＝ cos x＋sin x 的最小值．
4
反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否那么极易出错．
追踪训练 4函数 f(x)＝－ sin2x－asin x＋b＋ 1 的最大值为0，最小值为－ 4，假设实数a>0，
求 a，b 的值．
命题角度3分式型函数利用有界性求值域
例 5 求函数 y＝2cos x＋1
的值域．2cos x－ 1
反思与感悟在三角函数中，正弦函数和余弦函数有一个重要的特色——有界性，利用三角函数的有界性能够求解三角函数的值域问题．
追踪训练 5求函数 y＝3sin x＋1
的最大值和最小值．sin x＋ 2
种类四数形结合思想在三角函数中的应用
例 6方程
πm在 [0，π]上有两个解，求实数
m 的取值范围．sin(x＋ )＝
32
反思与感悟数形结合思想贯穿了三角函数的向来，关于与方程解有关的问题以及在研究y ＝ Asin( ωx＋φ)(A＞ 0，ω＞ 0)的性质和由性质研究图像时，常利用数形结合思想．
追踪训练 6
π π设函数 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数， A＞ 0，ω＞0)．假设 f(x)在区间 [，]
62π2ππ
上拥有单调性，且 f()＝f(
3)＝－ f( )，那么 f( x)的最小正周期为 ________．
26
3
，那么 a 的值为 ()
1．假设一个 α角的终边上有一点 P(－ 4，a) ，且 sin α·cos α＝ 4 A ． 4 3
B ． ±4 3
4 3
C ．－ 4 3或－ 3 D. 3 sin π－ αcos 2π－ α 31π 2． f(α)＝ cos － π－αtan α ，那么 f(－
3
)的值为 ()
1 1 1 1 A.
2 B ．－
3 C ．－ 2 D. 3
3．函数 y ＝ |sin x|＋ sin|x|的值域为 ( )
A ． [－ 2,2]
B ． [ － 1,1]
C ． [0,2]
D ． [0,1]
4．函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋φ) ω＞0，－ π π
＜ φ＜
的局部图像以以下图， 那么 ω，φ的值分别是 ()
2 2
π
π π π
A ．2，－ 3
B ． 2，－ 6
C ． 4，－ 6
D ． 4，3
2
17
对所有 x ∈ R 恒成立，求实数 a 的取值范
5．函数 f(x)＝－ sin x ＋ sin x ＋ a ，假设 1≤ f( x)≤
4
围．
三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性获取函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获取函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图像，这样既有利于掌握函数的图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法．
答案精析
知识梳理
y
1． (1)正弦 sin α sin α＝ y (2)余弦 cos α cos α＝ x
(3)正切 tan α tan α＝ x (x ≠ 0)
π
3． [－ 1,1]
[ －1,1] R 奇函数 偶函数 奇函数 2π 2π π ＋ 2k π
2
题型研究
例1 －8
追踪训练 1 解 当 k>0 时，令 x ＝24k ， y ＝ 7k ，
那么有 r ＝ 24k 2＋ 7k 2
＝25k ，
∴ sin α＝ y r ＝ 257，cos α＝x r ＝ 2425， tan α＝ y x ＝ 247
.
当 k<0 时，令 x ＝24k ， y ＝7k ，那么有 r ＝－ 25k ，
∴ sin α＝ y ＝－ 7 ， cos α＝ x ＝－
24
，tan α＝y ＝ 7
.
rx25r25 24
例 2 解 (1) 函数 y ＝ 3 sin x 的图像向下平移 1 个单位长度得
y ＝ 3sin x － 1，再将获取的
图像上的点的横坐标伸长为原来的
3
倍，获取 y ＝ π
1 个单位 3sin x － 1 的图像， 尔后向右平移
π 3
长度，获取
y ＝
π π
T ＝ 2π 3sin( x － 3 )－ 1 的图像， ∴ 函数 y ＝ f(x) 的最小正周期为
＝ 6.
3 π
3
π π π π 1≤ x ≤6k ＋ 5
， k ∈ Z ，
由 2k π－ ≤ x － ≤2k π＋ ， k ∈ Z ，得 6k －
2 3
3
2
2
2
∴ 函数 y ＝ f(x)的递加区间是 [6 k －1
， 6k ＋5
] ， k ∈ Z .
2 2
(2)∵ 函数 y ＝g( x)与 y ＝ f(x)的图像关于直线 x ＝ 2 对称，
∴ 当 x ∈ [0,1] 时， y ＝ g(x)的最值即为 x ∈ [3,4] 时， y ＝ f( x)的最值．
π π 2π
∵ 当 x ∈ [3,4] 时， x － ∈ [
， π]，
3
3
3
π π 3 ]，
∴ sin( x －
3 )∈[0，
2
3
∴ f(x) ∈[ －1， 1
2]．
∴ 当 x ∈ [0,1] 时， y ＝ g(x)的最小值是－ 1，最大值为 1
2.
7π
追踪训练 2 解 (1) f(x)的最小正周期为
π，x 0＝
， y 0＝ 3.
6
(2)因为 x ∈ π π
π
－
5π π π － ，－ ，因此 2x ＋ ∈
， 0 ，于是，当 2x ＋ ＝ 0，即 x ＝－
时， f(x)
2 12
6
6
6
12
π π π
获取最大值 0；当 2x ＋ 6＝－ 2，即 x ＝－ 3时， f(x)获取最小值－ 3.
例 3 解 ∵ x ∈ [0， π]，
π π 7π
∴ x ＋ ∈
[ ，
6
6
6 ]，
π
∴ －1
≤ sin(x ＋
)≤ 1.
2
6
π π
当 sin(x ＋ )＝ 1，即 x ＝ 时， y 获取最小值 1.
6
3
π 1 获取最大值 4.
当 sin(x ＋ )＝－
，即 x ＝ π时， y
6
2
∴ 函数 y ＝－ 2sin(x ＋
π
， π]的最大值为 4，最小值为 1.
)＋ 3， x ∈[0
6
追踪训练 3
解
π
∵ x ∈ [0，
] ，
2 π π
π
．
∴ 2x ＋ ∈ [
6 ， 7
π]，sin(2x ＋ )∈ [－ 1
， 1]
6
6
6
2
a ＋
b ＝ 1，
∴ 当 a ＞ 0 时， － a ＋ b ＝－ 5，
2
a ＝ 4，
解得
b ＝－ 3；
当 a ＜0 时，
－
a
2＋ b ＝ 1，
a ＋
b ＝－ 5，
a ＝－ 4， 解得
b ＝－ 1.
∴ a ，b 的取值分别是 4，－ 3 或－ 4，－ 1.
例 4
解
y ＝ f(x)＝ cos 2 x ＋ sin x ＝－ sin 2 x ＋sin x ＋ 1.
π 令 t ＝ sin x ， ∵ |x|≤ ，
4
2
2
∴ － 2 ≤ sin x ≤ 2
.
2
1 2
5 2 2
那么 y ＝－ t ＋ t ＋ 1＝－ (t － ) ＋ (－
≤ t ≤
2)，
2 4
2
∴ 当 t ＝－
π
)2
＋ 5
＝
1－ 2
.
2
，即 x ＝－ 时， f(x)有最小值，且最小值为－ (－ 2
－
1
2
2 4
2 2
4
追踪训练 4 解 令 t ＝ sin x ，那么
g(t) ＝－ t 2－ at ＋ b ＋ 1
2
＝－ t ＋ a 2＋ a
＋ b ＋ 1，
2 4
且 t ∈ [－ 1,1] ．依照对称轴 t 0＝－ a
2与区间 [ －1,1] 的地址关系进行分类谈论．
a
① 当－ ≤ － 1，即 a ≥ 2 时， y max ＝ g － 1 ＝ a ＋ b ＝ 0，
y min ＝g 1 ＝－ a ＋ b ＝－ 4，
a ＝ 2， 解得
b ＝－ 2.
a
② 当－ 1< － 2<0 ，即 0<a<2 时，
y max ＝g －
a
2
＝ a
＋b ＋ 1＝ 0，
2 4
y min ＝ g 1 ＝－ a ＋b ＝－ 4，
a ＝ 2， a ＝－ 6， (舍 )，
解得
(舍 )或
b ＝－ 2
b ＝－ 10
综上所述， a ＝ 2， b ＝－ 2.
2
例 5
解 方法一 原函数变形为 y ＝ 1＋
，
2cos x －1
∵ |cos x|≤ 1，∴ － 3≤ 2cos x － 1≤ 1 且 2cos x － 1≠0，
2
∴
≥ 2 或 2cos x － 1
2
2cos x － 1
≤ －2，
3
那么函数的值域为
{ y|y ≥ 3 或 y ≤
1
3} ．
方法二
原函数变形为 cos x ＝
y ＋ 1
，
2 y － 1
∵ |cos x|≤ 1，
∴ | y ＋ 1 |≤1 且| y ＋ 1 |≠ 1，
2 y － 1 2 y － 1 2
1
∴ 函数的值域为 { y|y ≥ 3 或 y ≤ 3} ．
追踪训练 5 解
y ＝ 3sin x ＋ 1
sin x ＋ 2
＝ 3 sin x ＋ 2 ＋ 1－ 6＝ 3－
5
sin x ＋ 2
sin x ＋ 2.
∵ － 1≤ sin x ≤1， ∴ 当 sin x ＝1 时，
5
4
y max ＝ 3－ ＝ ，
当 sin x ＝－ 1 时，
y min ＝ 3－
5 ＝－ 2，
－1＋ 2 ∴ 函数 y ＝ 3sin x ＋ 1
的最大值为 4
，最小值为－ 2.
sin x ＋ 2
3
例 6 解
π
π m
， π]上有两
函数 y ＝ sin(x ＋
)， x ∈ [0，π]的图像以以下图，方程
sin(x ＋ )＝ 在 [0
3 3 2
个解等价于函数
π
[0，π]上有两个不同样
y 1＝ sin(x ＋ )， y 2＝ m
在同一平面直角坐标系中的图像在
3 2
3 m 的交点，因此
2 ≤
2＜1，即 3≤ m ＜ 2.
追踪训练 6
π
当堂训练
1．
5． 解 令 t ＝ sin x ，那么 t ∈ [ － 1,1]，
2
＝－ (t － 1)2
＋ a ＋ 1
.
2 4
当 t ＝ 1 时， f(t)max ＝ a ＋ 1
，
2 4
即 f(x)max ＝ a ＋ 1
；
4
当 t ＝－ 1 时， f(t)min ＝ a － 2，
即 f(x)min ＝a － 2.
1
故函数 f(x)的值域为 [a － 2， a ＋ ]．
a ＋ 1≤17，
因此
4 4
解得 3≤a ≤ 4.
a － 2≥ 1，
故实数 a 的取值范围为 [3,4] ．
只要我们坚持了，就没有战胜不了的困难。

也许，为了将来，为了自己的睁开，我们会把一件事情想得特别透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都未曾错过，其目的也只但是是 不让自己随时坠入困境与失去那种面对困难未曾信服的精神。

但有时，
“千里之行，始于足下。

〞我们更需要用时间长远的专心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破打破
自己那本以为能够高枕无忧十分酣畅的地域，强迫强迫自己一刻不停的马不停蹄的素来向前走，向前看，向前进。

所有的将来，都是靠脚步去丈量。

没有走，怎么知道，不能能；没有去努力，
又怎么知道不能够实现？幸福都是奋斗出来的。

那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的〞完完好全彻完好底的浸透我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去觉察这一种灵魂深
处的平和，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。

但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我〞，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗
出来的〞深处又会是如何？生命不单，奋斗不息！又也许，关于好多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也可是人家的起点。

但是，这微缺乏道的进步，关于我们来说，倒是幸
福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，朦模糊胧的感觉到自己的人生正掌握在自己手中，并且这所有还是经过我们自己勤勤劳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自寒冷来。

〞当我们爽快接受这人生的终局，也许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真切的幸福、真切的清香也就今后真切的绚烂了我们的人生。

一世有多少属于我
们的岁月？陌上的花，落了又开了，开了又落了。

无数个岁月就这样在悄无声息的岁月里静静的流逝。

童年的玩伴，从前的天真，只幸亏梦里回味，每回梦醒时分，总是多了好多伤感。

不知不
觉中，走过了青春年少，走过了人人间风风雨雨。

爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐理解，离合悲欢咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。

因此，面对生活中经历的所有顺境和逆
境都学会了爽快承受，面对突但是至的灾祸多了一份沉稳和沉稳。

这世上没有什么不能够承受的，只要你有足够的刚毅！这世上没有什么不能够放下的，只要你有足够的胸襟！一世有多少属于我们的岁月？当你为今天的斜阳而感触呜咽的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，冷淡了对将来美好生活的神往。

没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。

波平浪静的人生太无聊，抑郁伤心的人生少欢欣，风雨过后的彩虹最绚烂，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。

见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏
实；有的喧华，有的落寞；有的激扬，有的低回。

肉体凡胎的我们之因此烦恼或欢乐，多半是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。

也许我们能挺得过物质生活的困穷，却不能够抵挡
住心里的各样纠结。

其实幸福和欢欣大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己优秀的乾坤。

若是想到我们终有一天会灰飞烟灭，所有
象风同样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼模糊又是谁？一世真的没有多少岁月，何必要和生活过不去，
和自己过不去呢。

你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要连续。

岁月不会因你而停留，你却会随着岁月而老去。

有些事情注定会发生，有的结局早已就预示，那么就改变你能够改变的，适应你必定去适应的。

面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思想，也许心空就不再充满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。

一世能有多少属于我们的岁月，好多事情，好多人已经渐渐模糊。

而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘记的，必然是触动心灵，甚至是镂心刻骨的，无论是伤痛是欢愉。

人生无论是欢乐还是
失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，斜阳的绚烂，暮色中的模糊。

经历过好多世态炎凉此后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身
无长物的走开，你在世上获取的，失去的，最后都会化作尘埃。

原来就未曾带来什么，因此也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小
的不如意或是飞来横祸就能爽快接受，知道人有朝夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒对待。

花不常开，人不常在。

再喧杂
华美的舞台也有谢幕的时候；再豪华的宴席，委婉的乐曲，总有曲终人散的时辰。

春去秋来，我们无法让季节停留；同样仿佛季节同样无法挽留的还有我们赶忙的人生。

谁会在乎你？生养我们
的父亲母亲。

纵使我们有百般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父亲母亲会依旧在乎！为你愁，为你笑，为你挂念，为你知足。

这风云变化的世界，除了父亲母亲，不敢在断言还会有谁会永远的
在乎你！
看惯太多海枯石烂的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。

你春风欢乐时前呼后应的都来如虎生翼；你落寞孤寂时，曾见几人忧虑赶来为你雪中送炭。

其实，谁会在乎你？除
了父亲母亲，只有你自己。

父亲母亲待你再好，总要有走开的时间；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就仿佛你和父亲母亲；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的丹诚相许，从古到此
刻有几人？
不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得珍爱自己。

不敬羡如转瞬即逝的的流星，诚然绚烂，倒是惊鸿一瞥；情愿做一颗小小的黯淡的星子，即便不能够同日月争辉，
也有自己无可取代的地址其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完好同样的树叶。

大家生活得都不简单，都有自己方向。

认识就是缘分吧，在一起的
时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去获取和索取。

与人为善，以直报怨，我们就会心里多一份沉寂，生活多一份友善没有谁会在乎你的时候，要学会不时辰刻的在乎自己。

在
不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。

年幼不知的年龄，做出了一件件此刻想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；风萧
萧兮，期望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的?童年?，希望着做那个高年级的师兄；一每天地梦想，生活能浩浩荡荡。

没有刀光剑影，没有寻死觅活，青春就在稀里糊涂、懵懵懂懂中静静
滑过。

等到觉察逝去的美好，年光的难得，已经被力所不及地推到了滔滔红尘。

今后，青春就一去不回头。

没有了梦想和激动，日子就像白开水同样平凡，孤单地走过一每天，一年年。

涉世之
初，还有几分棱角，有几许激情。

在碰了壁，折了腰此后，终于理解，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原来是一张白纸似的人生，开始被染上了斑驳陆离的色彩。

你情愿也罢，
被情愿也罢，生计，就要适应身不由己，言不由衷的生活。

人到中年，突然理解了好多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一刹时；世事难猜想，是
至理名言，这一辈子，你碰到了谁，擦肩而过了谁，谁会是你诚意的良朋良朋，谁会和你牵手相伴一世，都是最初估计不到的；没有跨但是去的坎，只有走不出的心。

人生天地间，细小的如蝼
蚁、草芥，即即是气壮河山的伟人，安息之处亦但是是黄土一抔。

纠结不清的是感情，放不下手的是名利，放手西归，所有皆是转瞬即逝。

为情苦，为名困，为物役，多少参不透生活的人为此
劳碌一世，辛苦一世。

走过了无数个平凡的日子，见惯了生离死其余迷茫，知道了“生亦何欢，死亦何惧〞其实就是活着的一种最正确姿态。

你无所惧怕了，命运就该向你低头了，活着，就好好
活。

愁闷恼的时候听听歌，天空不会总充满阴霾，风雨此后的彩虹更美丽；心情不错的日子走一走，看看每天的日升日落，那是自然给生命的美好馈送。

花谢了，有再开的时候；草枯了，还
有再荣的时候。

青春呢？生命呢？是不是还可以够再重新拥有一回？感谢爹娘，给了我生命，诚然历经了风雨，却依旧能感觉到生命的厚重和可贵；感谢生活，尝尽了离合悲欢咸，依旧还会充满
动人和感恩；感谢岁月，让我在红尘里褪尽铅华，返璞归真。

珍爱自己，珍爱生活。

对别人多一份理解和博爱，活着，就好好活。

一世能有多少属于我们的岁月？在平凡的日子里，在沉寂的生
活中，且行且珍惜吧。

一个人的幸福感，不是来自饱食暖衣，而是来自心里丰盈。

饱食暖衣，获取的是人生的扎实感；心里丰盈，获取的是灵魂的归属感。

前者让人沉稳赶路，后者给人在路的
前面点灯。

人的悲伤，有时不是看不到，而是看到的太多了。

每天挣100 块钱的，其实其实不敬羡挣120 的。

问题是，当突然看到有人能够每天挣到上千块，便开始方寸大乱。

不平衡，才是一
个人心里宕动和迷乱的根本。

无法布置的，永远不是身体，而是一颗野了的心大学谈恋爱，对将来的设想，但是是有一间房子，只要能盛得下两个人的欢愉就行。

此后发现，我们需要的不能是
一间房子，而是好多房产。

当我们把这些概括为生活所需的时候，其实已陷在世俗深重的背影里了。

尔后，在虚荣的路上越走越远，被虚荣长距离放逐，再被虚荣一步一个足迹地打这个世界，
快乐最多的地方，不在富豪大贾那处，也不在权倾一方的人那处。

恰巧是这些人，阴沉稳脸，个个蹙眉紧锁。

他们的幸福。

2021版高中数学北师大版必修四教学设计第一章章末复习课[001]全面版。