[K12学习]2018版高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系学案 苏教版选

3．2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系
[学习目标] 1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．
知识点 空间垂直关系的向量表示
1．用向量法如何证明线面垂直？
答案 证直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．平面α上的向量a 与平面β上的向量b 垂直，能判断α⊥β吗？ 答案 不能．
题型一 证明线线垂直问题
例1 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，
E ，
F 分别为AC ，DC 的中点．求证：EF ⊥BC .
证明 由题意，以点B 为坐标原点，在平面DBC 内过点B 作垂直于BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过点B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B (0,0,0)，A (0，－1，3)，D (3，－1,0)，C (0,2,0)， 因而E (0，12，32)，F (32，1
2，0)，
所以EF →＝(32，0，－32
)，BC →
＝(0,2,0)，
因此EF →·BC →
＝0.
从而EF →⊥BC →
，所以EF ⊥BC .
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，垂足为A ，AB ⊥AD 于A ，AC ⊥CD 于C ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证AE ⊥CD . 证明 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 设PA ＝AB ＝BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,1)．
∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形． ∴C (12，32，0)，E (14，34，12)．
设D (0，y,0)，由AC ⊥CD 得AC →·CD →
＝0， 即y ＝233，则D (0，233，0)，
∴CD →
＝(－12，36，0)．
又AE →＝(1
4，34，12
)，
∴AE →·CD →
＝－12×14＋36×34＝0，
∴AE →⊥CD →
，即AE ⊥CD . 题型二 证明线面垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .
证明 方法一 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，
E (2,2,1)，
F (1,1,2)．
∴EF →
＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)．
AB 1→
＝(2,2,2)－(2,0,0)
＝(0,2,2)， AC →
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
而EF →·AB 1→
＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.
EF →·AC →
＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .
又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .
方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→
＝b ，
则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→
)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，
∵ AB 1→＝AB →＋AA 1→
＝a ＋b .
∴EF →·AB 1→＝1
2(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )
＝12(b 2－a 2
＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2
＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→
，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C .
又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .
反思与感悟 本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .
证明 方法一 如图取D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为
x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，
则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，
G (0,2,1)，B (2,2,0)， D (0,0,0)，
∴OA 1→＝(1，－1,2)，OB →＝(1,1,0)，BG →
＝(－2,0,1)， 而OA 1→·OB →＝1－1＋0＝0，OA 1→·BG →
＝－2＋0＋2＝0. ∴OA 1→⊥OB →，OA 1→⊥BG →， 即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，
而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .
方法二 同方法一建系后，设面GBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨
⎪⎧
BG →·n ＝0，
BD →·n ＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2x ＋z ＝0，
－2x －2y ＝0.
令x ＝1得z ＝2，y ＝－1，
∴平面GBD 的一个法向量为(1，－1,2)， 显然A 1O →
＝(－1,1，－2)＝－n ， ∴A 1O →
∥n ，∴A 1O ⊥平面GBD . 题型三 证明面面垂直问题
例3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .
证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A －
xyz ，
则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E (12，12，1
2)，连结AC ，
设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为(12，1
2，0)．
因为AS →＝(0,0,1)，OE →
＝(0,0，12)，
所以OE →＝12
AS →，所以OE →∥AS →.
又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .
反思与感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
跟踪训练3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为
BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为原点，分别以BA ，
BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E (0,0，12
)，
故AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →
＝(－2,0，12)．
设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧ n 1·AA 1→＝0，
n 1·AC →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝0，
－2x ＋2y ＝0.
令x ＝1，得y ＝1，故n ＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·AC 1→＝0，
n 2·AE →＝0，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋1
2c ＝0.
令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1. 故n 2＝(1，－1,4)．
因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， 所以n 1⊥n 2.
所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
1．已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝________. 答案 －5
解析 ∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0，∴k ＝－5.
2．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 10
解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0， ∴－2×3－2×2＋m ＝0，∴m ＝10.
3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________．(填序号) ①n 1＝(1,2,1)，n 2＝(－3,1,1) ②n 1＝(1,1,2)，n 2＝(－2,1,1) ③n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,2,1) ④n 1＝(1,2,1)，n 2＝(0，－2，－2) 答案 ①
解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，
∴n1·n2＝0，故填①.
4．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l 与平面α的位置关系为________．
答案l⊥α
解析∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
5．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.
答案－4
解析∵α⊥β，∴a·b＝0，
∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
正确应用向量方法解决空间中的垂直关系
(1)线线垂直
设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只要证明a⊥b，即a·b＝0.
(2)线面垂直
①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥α，只需证明a∥u.
②根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．即：
设a、b在平面α内(或与平面α平行)且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则l⊥α⇔c⊥a且c⊥b⇔a·c＝b·c＝0.
(3)面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．。